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1、太原理工大学 硕士学位论文 独立同分布随机环境控制分枝过程 姓名：武利芳 申请学位级别：硕士 专业： 指导教师：卢准炜 太原理工大学硕士研究生学位论文 I 独立同分布随机环境控制分枝过程 摘 要 本文首先介绍了从 GW 分枝过程到随机环境控制分枝过程的发展,GW 分 枝过程的理论基础,随机环境分枝过程的一些主要结果.其次分别介绍了 GW 分枝过程、独立同分布随机环境分枝过程及随机环境控制分枝过程的灭绝 时的研究以及取得的主要结果.在此基础上,本文主要做了以下工作: （1） 本文定义了随机环境控制分枝过程模型,它是较一般意义下的随机 环境中的分枝过程,可以更合理的刻画自然界中各种生物在繁衍过程中
2、的 不同现象. （2） 本文主要是在独立同分布的随机环境条件下,研究了其灭绝概率问 题.通过对控制函数和概率母函数作适当的假设,得到了一些判断过程灭绝 的准则. （I）假设 0 ,0NN当 0 nN有( )nn,且 =L 且 =L and ,即 k q趋于 0 的渐近行为除相差一个取对数 log 后 比logk低阶的因子外大致与 0 k 相当; 在(B)类有: log limlog,(01) ii k k q xx k = 且对于 0 ,sup |0 n t NP ZN Zm=,则1 m q =L或中的一个，则1 m q =对某个 m 成立; (2) 如果,( ). . ii NnNnn a
3、s，则1 m q , 则对于M,存在充分大的n, 使得 0 | 2 n ZM Zm =, 但是由Chebyshev不等式知 0 0 (|) | n n E ZZm ZM Zm M = =, 由（3.2）式知, 上式右边对于充分大的M可任意小, 与假设矛盾,故结论成立. 推论3.2.2在定理3.2.1 的条件下, 设( log(0) n E L, 则 0 lim0|1 mn n qZZm = = . 证明: 假定1 m q =, 由于 0 0 1 010 0 0|0|,0 N Nnn n ZZmZZm Z + = = , 太原理工大学硕士研究生学位论文 12 故 10 lim 0|,01 nn
4、n ZZm Z + = , 否则 0=. 在推论3.2.1中取M ,使得 0 (|) 2 n E ZZm M = ，故有 0 |1 2 n ZM Zm , 则 00 0 0 |0| 0|,0 0| nn nn n ZM ZmZZm ZM Zm Z ZZm = 1(1) 1 2 1 22 n nn = , 而 10 0|,0 nn ZZm Z + = = 1010 0,0|,00,|,0 nnnnnn ZZM Zm ZZZM Zm Z + = 100 0 0|0, 0|,0 |,0 nnnn nn ZZM ZmZM Zm Z ZM Zm Z + () 000 (1() 0|,0|,0 M nnn
5、nn EpZM Zm ZZM Zm Z 1 = = = * 1 l q= . 故只需证，对 * 1, 1 l lNq =. 由（3.3）式知， *( ) ,1,2,Annn =L 故 * 1 () * 001101 1 (|)( (|,)( ()|,) n Z nnnjnn j E ZZlE E ZZl FE EXZl F = = * 110110 0 ()|)( )| nnnn k EZAZlEAkZk Zl = = * 1010 0 ( )|(|) nn k AkZk ZlE ZZl = = , 重复上式知， * 0 (|) n E ZZll=, 由Chebyshev不等式知 * * 0
6、0 (|) | n n E ZZll ZM Zl MM = =, 对0, 取充分大的M使得 * 0 |,0,1,2, 2 n ZM Zln =，由（3） 、 （4）构造的辅助过程 * n Z有 *( ) ,nnn 当1n =时, * 00 00 ()() * 10000 11 (|)(|)( (|,) ZZ ii ii E ZZlEXZlE EXZl F = = * 0000 (|)E AZZllEA= , 假设上式在n时也成立,即 1 * 0 0 (|) n nk k E ZZllEA = = , （3.5） 在1n+时有: * ()() * 1000 11 (|)(|)( (|,) nn
7、nn ZZ niin ii E ZZlEXZlE EXZl F + = = * 0 0 (|) n nnk k EAE ZZllEA = = , 故由归纳法知（3.5）式成立. 令 1 0 log, n kknk k YASY = =, 因为1, n EAn，故log0 kk EYEA=，且01 k Y= ，则 T 为一停时，故1 T =L有( )nn, 如果 0 ( log(1(0),E =L且 0 ( log(1(0),E = =, 若假定0 l r =,则由定理3.2.2的前半部分证明知: * 0 1, l qlN= , 与上面得出的结论相矛盾,故0 l r ,即 0 0|0, nl Z
8、Zlr= 故 0 1, l qlN时，有0a. 此引理及其证明可参见文献19. 定 理4.2.2 假 定 有 一 正 的 非 增 函 数)(x满 足)(k n , 对 nn , 2 , 1 , 0,=kkZn, )(xx是 + R上的凸函数, 若+ n n n)( , 则 () + 0 由引理 1 知：aEWn n = lim. 记 i P为当 i ig=),( 00 时 n Z的概率测度 故 , 0lim= in n aWE i 当 0 z i 时 , 由 )(),()( 1 1 xm m Z PPxWP n n jin j j i = 可知 knji kk n WEPmWE j j i =
9、 ),( )( . 1k,使得0),( )( ji k P 对某个 0 z j , 所以存在常数0C，使得 knn WECWE ji = 两边取极限有 0= ji aCa. 故1,0 0 i a. 太原理工大学硕士研究生学位论文 22 ()由定理 4.2.1 立得. 此定理的证明受到文献22的启发. 引理4.2.2 令)(xf是正的非增函数，则对0, 1cm，有 +nmEZ n n , 故 )( 2222 1 n nnn mgEWmEWEW + . 由引理4.2.2及条件+ n n n)( ，+ n n n 2 2 )( 可得 +WP. 此定理及其证明思想来源于文献21. 推 论4.2.1 假
10、 设 定 理4.2.2条 件 满 足 时 ， 则 ,0+ba有, bEWa n n n n mbEZma . 推 论4.2.2 假 设 定 理4.2.3 条 件 满 足 时 ， 则,0+dc有,dDWc n n n n mdDZmc 22 . 太原理工大学硕士研究生学位论文 24 第五章 结论与展望 5.1 结论 本文首先介绍了从GW分枝过程到随机环境分枝过程以及控制分枝过程的发 展,GW分枝过程的理论基础，随机环境分枝过程和控制分枝过程的一些主要结果.其次 介绍GW分枝过程、独立同分布随机环境分枝过程、一类控制分枝过程的灭绝时的研 究以及取得的主要结果. 在此基础上本文重点研究了独立同分布条
11、件下随机环境控制分枝过程的灭绝概率, 通过对控制函数作适当的假设和对概率母函数作适当的限制,利用鞅的收敛性质、凸函 数的Jenson不等式、Chebyshev不等式及独立同分布条件下概率母函数的迭代关系式, 得到了判定过程灭绝的判定准则.最后,本文简单的介绍了带有一个适应域族随机环境 分枝过程的模型,得到了 n W（ n n n m Z W =）在 1 L和 2 L收敛的充分条件,从而当 + n n n)( 和+ n n n 2 2 )( 成立时有 n n n mbEZma , n n n mdDZmc 22 , 其中+ba0,+dc0 ,1supsup= n nn mm n . 5.2 展望
12、 本文只对独立同分布条件下的随机环境控制分枝过程的灭绝概率作了研究,今后我们 可以对独立不同分布或平稳遍历条件下的随机环境控制分枝过程作一些研究,也可以在独 立同分布随机环境控制分枝过程的基础上对控制函数加以环境的限制,不过这样的工作应 该比较艰巨. 太原理工大学硕士研究生学位论文 25 参考文献 1 Smith,W.L., Wilkinson,W.E On a branching process in random environment.Ann.Math. Statist; 1969, Vol. 40(3):814-827. 2 Smith, W.L., Wilkinson,W.E Bra
13、nching processes in Markovian environments.Duke Math.J.;1971(38), 749-763. 3 Athreya, K.B., Karlin,S.; On branching processes with random environment: （） extinction probabilities; Ann. Math. Statist; 1971(42): 1499-1520. 4 Athreya,K.B., Karlin,S.; On branching processes with random environment: （）Li
14、mit theorems;Ann.Math.Statist; 1971(42): 1843-1858. 5 Klebaner, F.C.; On Population- Size-Dependent branching processes. Adv. Appl. Prob.; 1984(16) 30-45. 6 Jagers,P.and LU,Z(2002). Branching processes with deteriorating random environments.J.Appl.Prob.39,pp.395-401. 7 Peter Jagers 241-428. 19 A.M.Zubkov.Analogous between Galton-Watson processes and -branching processesJ. Theroy.Probab.Appl.1974,20;319-339. 20 Harris.T.E(1963),The Theory of Branching Processes，Springer.Berlin. 21 F.C.KLEBANER(1984) Geomet
