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1、第五章 导数与微分一、填空题1设，其中函数在点的某邻域内具有阶导数，则_2若，则_3若，则_4已知，且，则_5设是可导函数，是自变量在点处的增量，则_6已知在处可导，且，则_7设函数二阶可导，且，则_8设函数处处可导，且有，并对任何实数和，恒有，则_9设是可导函数，且，的反函数是，则_10若，则_11设，则_12设，则_13若，则_14若，则_15设，在处可导，则16已知且，则_16设，其中可微，则_18若，则_19曲线在点处切线的斜率是 ；20曲线在点处的切线斜率是 ；21若函数在点处可导，则它所对应的曲线在点处的切线方程是 ；22过原点且斜率为的曲线方程是 ；23若抛物线与的切线平行，则
2、；24若与相切，则 25曲线在点处的切线方程是 ；26设函数，则 ；27设奇函数在点处可导，且，则 ；28设在处可导，且在处连续，则 ；29当很小时， ；30当很小时， ；二、选择填空题1设函数，则在点处( )A.极限不存在 B.极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导2设函数，则在点处函数，( )A.不连续 B.连续但不可导 C.可导但导数不连续 D.可导且导数连续3设函数在区间内有定义，若当时恒有，则必是的( )A.间断点 B.连续而不可导的点 C.可导的点，且 D.可导的点，且4两曲线在点处相切，则( )A. B. C. D.5设函数，则不存在的最小正整数必为( )A.1 B.2 C
3、.3 D.46设周期函数在内可导，周期为4，又，则曲线在点处的切线的斜率为( )A. B.0 C. D.7若，则( )A.不存在 B. C. D.8若，且知不存在，则必有( )A. B. C. D.9若函数，则在点处( )A.存在但不连续 B.不存在 C.不仅存在而且连续 D.无穷大10若函数对任意实数均满足关系式，且，则必有( )A. B. C. D.11函数不可导的点的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.012若在点可导，则在点处( )A.必可导 B.连续但不一定可导 C.不可导 D.不连续13设，而在处连续但不可导，则在处( )A.连续但不可导 B.可能可导 C.仅有一阶导数 D.可
4、能有二阶导数14在处为二阶可导函数，则( )A. B. C. D.15若函数对任意均满足且有，则( )A. B. C.不存在 D.7曲线与直线相切，平行于轴，则与曲线的切点是（ ） 8设，则（ ） 9抛物线上的点处的切线（ ）； 平行于轴 垂直于轴 与轴正向的夹角为 与轴正向的夹角为10若函数在点可导，则（ ）； 不存在11过曲线上一点的切线斜率是（ ）； 12设，则=（ ）； 13设，则（ ）； 14下列函数中，在处连续但不可导的函数是（ ）； 15设函数可微，则（ ）； 16（ ）； 17设函数可微，则在点 处，是关于的（ ）无穷小高阶 等价 低阶 同阶（不等价）18函数在点处连续是在该点
5、处可微的（ ）条件充分但非必要 必要但非充分充分必要 既非充分也非必要19两条曲线=和在点（2，）处相切，则常数为( )(A)=,= (B) = - ,= (C) =,= (D) =-,=20设，则（ ） 21若在处可导，则的值应为（ ） 22设，而在处连续但不可导，则在处（ ）连续但不可导 可能可导，也可能不可导仅有一阶导数 可能有二阶导数23可导的周期函数其导数（ ）一定仍是周期函数，但周期不一定相同 一定仍是周期函数，且周期相同一定不是周期函数 不一定是周期函数25已知，则（ ） 26已知，则（ ） 27已知，则（ ） 28设若，则（ ） 29设，则在处（ ）左、右导数都存在 左导数存在
6、，但右导数不存在左导数不存在，但右导数存在 左、右导数都不存在三、计算题3设，试求极限。4设 试确定a，b的值，使f在x=3处可导。5试确定曲线上哪些点的切线平行于下列直线：（1）；（2）。6求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程：（1）； （2）。7求下列函数的导函数：（1）； （2）8设函数（m为自然数）。试问：（1）m等于何值时，f在x=0连续；（2）m等何值时，f在x=0可导；（3）m等于何值时，在x=0连续。10设，且， 求。14设有一吊桥，其铁链成一抛物线型，两端系于相距100米高度相同支栓上，铁链之最低点在悬点下10米处，求铁链与支柱所成之角。15在曲线上任取一点p，过p的切线
7、与该曲线交于Q。证明：曲线在Q处的切线斜率正好是p处切线斜率的四倍。1求下列函数的导数：（1）设，求；（2）设，求；（3）设，求。2求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）；（8）； （9）（10）；（11）；（12）3求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6） ；（7）；（8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）；（16）；（17）； （18）；（19）； （20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25）；（26）；4对下列各题计算：（1）； （2）；（3）。5已知g为可导函数，
8、a为已知实数，试求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）。8求下列函数的导数（1） ； （2） ；（3）； （4）。 3 微分1若x=1，而。问对于与dy之差是多少？2求下列函数的微分：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）。3利用微分求近似值：（1）； （2）；（3）； （4）。4为了使计算出球体积准确到1%，问度量半径为r时所允许发生的相对误差至多应是多少？5检验一个半径为2米，中心角为55的工件面积，现可直接测量其中心角或此角所对之弦长，设量角最大误差为0.5，量弦长最大误差为3毫米，试问用哪一种方法检验的结果较为精确。6单摆的周期公式是，这里L是摆长（单位：厘米）
9、，g为重力加速度（980厘米/秒2），设钟摆的周期为1秒，在冬季押长缩短于0.01厘米，问这钟每天大约快多少？ 4 高阶导数与高阶微分1求下列函数在指定点的高阶导数：（1），求；（2），求。3求下列函数的高阶导数：（1）；（2）；（3）；（4）。4设f为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数：（1）； （2），（n为自然数）；（3）。5求下列函数的n阶导数：（1）； （2）（a为非负实数）；（3）； （4）；（5）。6求下列函数的二阶微分（1）； （2）；（3）。7求下列函数的n阶导数：（1）；（2），（a，b为实数）。8研究函数在x=0处的各阶导数。9设函数y=f（x）在点x处二阶可导，且。若这个函数存在反函数，试求。10求下列函数的高阶微分：（1）；（2）设1求下列由参量方程所确定的函数的导数：（1） 在处导数；（2） 在处导数2设，求3求下列由参量方程所确定的函数的二阶导数。（1）， （2）4设曲线方程，求在下列点处的切线方程与法线方程：（1）t=1； （2）。6设，求8求心形线的切线与切点向经之间的夹角。四、证明题9设函数f在点x0存在左右导数，试证f在点x0连续。11设f是定义在R上的函数，且对任何都有，若，证明对任何都有。12证明：若存在，则 13证明：若函数f在a，b上连续，且，则在 （a，b）内至少存在一点，使得。
