《多元变量最值问题解法探析_方立新》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元变量最值问题解法探析_方立新（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015 年第 8 期 多变量函数最值问题因形式活泼、题型新颖、蕴含着丰富 的思想方法，一直深受命题者的青睐。这类问题，能较好地考 查学生对基础知识、数学思想方法的掌握程度，检验学生思维 灵活性，因此正逐渐成为考试或竞赛的热点问题。但由于其综 合性强、解法灵活多变的特点，从而也是学生的难点问题，正 确率较低。文章就高中阶段常见多变量最值问题的解法举例进 行阐述。 一、均值定理法 当题目是已知和 （ 积 ） 为定值求积 （ 和 ） 的最值时，往往 可以用均值定理来求解，高中阶段主要是借助于二元的均值定 理即基本不等式来解决。如果遇到多元的时候，则用多元均值 定理、柯西不等式或者消元后用基本不等式
2、。 例 1已知 a，b，c （0，+ ），3a - 2b + c = 0，则 ac姨 b 的最大值为 _。 解：a，b，c （0，+ ），由已知条件等式得 2b = 3a + c 23ac姨，所以 ac姨 b 1 3姨 。 例 2设正实数 x，y，z 满足 x2- 3xy + 4y2- z = 0，则当 xy z 取得最大值时， 2 x + 1 y - 2 z 的最大值为 _。 解：由 x2- 3xy + 4y2- z = 0，可得 z = x2- 3xy + 4y2， 故 xy z = xy x2- 3xy + 4y2 = 1 x y + 4y x - 3 1 24姨- 3 = 1， 当且仅
3、当 x y = 4y x ，即 x = 2y 时等号成立。 此时，z = 2y2，故2 x + 1 y - 2 z = -1 y2 + 2 y = - 1 y - 22 1 2 + 1， 因此，当 y = 1 时， 2 x + 1 y - 2 z 22 max= 1。 【 评析 】 此题消元后化为学生熟悉的二次函数的最值问题， 将均值不等式的应用与二次函数的最值问题有机结合起来，一 气呵成，浑然一体。 二、减元消元法 多元变量的最值问题，消元是最朴素的方法。当题目中出 现两个及其以上的变量时，可利用已知条件消去一些未知数， 使未知数的个数减少，直到能够解决为止。 例 3若实数 a，b 满足 a
4、b - 4a - b + 1 = 0（a 0 ） ，则（a + 1 ） （b + 2 ） 的最小值为 _。 解：因为 ab - 4a - b + 1 = 0，所以 b = 4a - 1 a - 1 。 所以 （a + 1 ） （b + 2 ）=（a + 1 ） 4a - 1 a - 1 + 22 2。 令 t=a-1，则上式可化为 （t+2 ） 3 t + 22 6=15+ 6 t +6t27。 【 评析 】 此题通过消元法，将二元变量问题转化为一元变量 问题来解决。当然，多元变量问题也可以通过消元转化为二元 问题或者是一元问题。 例 4已知对任意实数 x，二次函数 f （x ）= ax2+
5、bx + c 0 恒成立，且 a 0，且 b2- 4ac 0，所以 c b2 4a 。 令 b a = t 1，则 a + b + c b - a a + b + b2 4a b - a = 4 + 4t + t2 4 （t - 1 ） = 1 4 （t - 1 ）+ 9 t - 1 + 22 6 3。 三、整体换元法 解决多变量最值问题的过程中，整体换元可将变量个数减 少或将不易求最值的式子划为便于用一些基本不等式来解答的 形式，从而使问题得到解答。 例 5设 x，y 为实数，若 4x2+ y2+ xy = 1，则 2x + y 的最大 值为 _。 解：4x2+ y2+ xy = 1，所以
6、（2x + y ） 2- 3xy = 1。 令 2x + y = t，则 2xy 2x + y 2 22 2，即 xy t2 8 ，所以 t2- 1 3 8 t2。 即 t2 8 5 ，- 210姨 5 t 210姨 5 。 所以 2x + y 的最大值为 210姨 5 。 【 评析 】 根据条件形式，将目标 2x + y 看成是一个整体，是 多 元 变 量 最 值 问 题 解 法 探 析 方立新 （ 江苏省扬中市外国语中学 ） 解题研究 43 2015 年第 8 期 解决本例的关键所在。 例 6已知 x，y 为正数，则 x 3x + y + y x + 2y 的最大值为 _。 解：设 3x
7、+ y = m，x + 2y = n，则 x = 2m - n 5 ，y = 3n - m 5 。 所以 x 3x+y + y x+2y = 2m-n 5m + 3n-m 5n = 1 - n 5m - m 5n 1 - 2 5 = 3 5 。 所以 x 3x + y + y x + 2y 的最大值为 3 5 。 【 评析 】 将所求表达式的两个分母分别看成是两个整体，先 用换元法，将条件中的 x，y 用所设的变量表示，后用基本不等 式求解。 四、三角代换法 例 7已知 a，b，c 是正实数，且 abc + a + c = b，设 p = 2 a2+ 1 - 2 b2+ 1 + 3 c2+ 1
8、 ，求 p 的最大值。 解：设 a = tan ，b = tan ，c = tan ，0， 2 ， 则 p = 2cos2 - 2cos2 + 3cos2 = cos 2 - cos 2 + 3cos2 = 2sin （ + ） sin （ - ）+ 3cos2。 abc + a + c = b， 所以 tan = b = a + c 1 - ac = tan + tan 1 - tan tan = tan （ + ） 。 又 ， 0， 2 tt，所以 = + ，所以 = - 。 所以 p = 2sin （ + ） sin + 3cos2 2sin + 3cos2 = -3sin - 1 3
9、tt 2 + 10 3 10 3 。 所以 p 的最大值为 10 3 。 【 评析 】 此题先进行三角代换，将 p 转化为二次函数利用三 角函数的有界性求最值。 例 8若实数 a，bR，a2+ 2b2= 6，则 b a - 3 的最大值是 _。 解：设 a =6姨cos ，b =3姨sin ， 则 t = b a - 3 = 3姨sin 6姨cos - 3 = sin 2姨cos -3姨 ， 所以 t （2姨cos -3姨）= sin ，2姨tcos - sin =3姨t。 配角得：2t2+ 1姨cos （ + ）=3姨t，其中 tan = 1 2姨t 。 所以 cos （ + ）= 3姨t
10、2t2+ 1姨 ， 所以 cos （ + ） = 3姨t 2t2+ 1姨 1，所以 t2 1。 所以 t 的最大值为 1。 【 评析 】 此题利用三角代换将问题转化为利用三角函数有界 性来解决。当然，此题也可以将条件等式看成是椭圆的标准方 程，因此目标是求点 （a，b ） 与点 （3，0 ） 连线斜率的最大值问题。 五、线性规划法 例 9在ABC 中，已知三边 a，b，c 满足 b + c 2a， c + a 2b ，则 b a 的取值范围是 _。 解：因为 a，b，c 是三角形三边，则 a + b c， a + c b， b + c a ， 将所有的 不等式两边都同除以 a 得： b a +
11、 c a 2， c a + 1 2 b a ， 1 + b a c a ， 1 + c a b a ， b a + c a 1 ， 令 b a = x， c a = y， 则得 x + y 2， y + 1 2x， 1 + xy， 1 + y x， x + y 1 ， 即 y -x + 2， y x - 1， y -x + 1， y 2x - 1 ， 由条件不等式组作出可行域，即可得到其中 x 的范围为 2 3 ， 3 2 t，即所求 b a 的范围为 2 3 ， 3 2 t。 【 评析 】 此题条件形式是 a，b，c 的不等关系，因此可以联 想到线性规划知识通过数形结合来求解。 六、分离参数
12、法 例 10已知点 A（x，y ） 为函数 y = 1 x 图象上在第一象限内 运动，若 x3+ y3 a （x + y ） 2恒成立，则实数 a 的范围是 _。 解：由条件可得：xy=1，x0，y0，所以 x3+y3a（x+y ） 2 恒成立等价于 a x3+ y3 （x + y ） 2 恒成立。 因为 x3+ y3 （x + y ） 2 = （x + y ） （x2- xy + y2） （x + y ） 2 = x2- xy + y2 x + y =（x + y ）- 3xy x + y =（x + y ）- 3 x + y ， 令 t = x + y 2xy姨= 2， 因为 t - 3
13、t 在 2， ） 上单调递增， 所以，当且仅当 t = 2 时，t - 3 t tt min= 1 2 。 因此，a 1 2 。 【 评析 】 此题关键在于参变分离后，将式子中的 x + y 看成 整体 t，然后可用函数的单调性求最值。 例 11已知 a，b，c 为直角三角形的三边，其中 c 是斜 边，若 1 a2 + t b2 - 4 c2 0 恒成立，则实数 t 的取值范围是 _。 解题研究 44 2015 年第 8 期 解：由条件得： t b2 4 c2 - 1 a2 ，即 t b2 4 c2 - 1 a2 22恒成立， 因为 b2= c2- a2， 所以 t （c2- a2） 4 c2
14、 - 1 a2 22。 又因为（c2- a2） 4 c2 - 1 a2 22= 5 - 4a2 c2 + c2 a2 22 1。 所以，所求实数 t 的取值范围是 t 1。 【 评析 】 此题体现了处理恒成立问题时首选参变分离法，多 个变量可用消元法减少变量的个数，然后用基本不等式求得 最值。 七、主元法 例 12不等式 a2+ 8b2 b（a + b ） 对任意的实数 a，bR 恒成立，则实数 的取值范围是 _。 解法 1：将变量 a 看成主元，其他变量看成是常数，则原命 题可转化为不等式 a2- ab +（8 - ） b20 对于任意的实数 a都恒成立。所以 =（-b ） 2 - 4 （8
15、 - ） b2 0 恒成立，即 2 4 （8 ） b2 0 对任意的实数 b 恒成立，所以 2- 4 （8 - ） 0，解得：-8 4。 解法 2：若 b = 0，则 R，当 b0 时，不等式两边同除 以 b2得： a b 2 2 2 + 8 a b + 22 1。 令 t = a b ，得 t2- t + 8 - 0； 由 0 可得：-8 4。 综上，所求实数 的取值范围是 8，4 。 【 评析 】 此例用参变分离较麻烦，用主元思想将所给问题转 化为一元二次不等式的恒成立问题，使得整个问题的求解十分 简洁。 总之，多变量的最值问题所涉及的内容比较广泛，思维灵 活，技巧性强，有利于学生发散思维的培养。因此处理这类问 题，要根据所给条件，通过化归方法，转化为熟悉的二元或一 元问题来求
