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1、第 ? ?卷 第 , 期 一 ? ? 年 ? 月 地球 物 理 学 报 ? ? ? ? ?人? ? ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? , ? 最大嫡时域逆散射层析成像的研究 尹 峰 王 俊生 ?东南大学物理系 , 南京 ? ? ? 摘要 用最大嫡 求解二维时域逆散射问题的层析成像算法反演井间 、 ? ? 和 ? ? ? 中的 二维介 质波速分布 。 首先给出时域散射场与介质扰动的关系式 , 然后 , 应用最大嫡 剑桥算法 从所有满 足时域散射数据的模型中挑选图像嫡最大的模型作为反演结果 , 并给出了该 算法的实现步骤 ? 数值试 验的结果表 明 , 本文算法用于反演含噪 声 , 不完全的
2、时域波场数据时 , 十分有效 ? 关锐词 层析成像 , 井间 , ? ? , ? , 时域逆散射 , 最大摘剑桥算法 ? 一 己?侣岁 、 ? ? 近年来地球物理层析成像技术发 展 十分迅速 , 有关地球物理 ? ? 技术应用 结果 的报 道日益增多? ? , 刀, 在这些技术中 , 因基于波动方程反演的层 析成像方法可得到 比射线方法 分辨率高得多的层析图像 , 因此 , 它在薄互层油储地球物理 勘探等领域具有重要的 、 有价 值的应 用前景 ?,? 然而 , 波动方程反演层析成像方法中 , 不 适定问题通常是由于反演数据 不全 、信噪 比低 、反 演积分方程本 身病态所引起的 ? 以往频域
3、方 法 只利用了波形数据中一 个频率分量进行反演 , 为 了克服不适 定问题 , 采用正则化方法 , 加人 先期条 件等 , 如 ? 假定 反演解是平滑的 , 从众多的满足数据的解中 , 挑选一平滑解作为反演结果 ? ? ? 这样做必然 使分辨率降低许多 , 若正 则因子 选择不当还会导致反演迭代发散 , 另外 , 在这种方法中 , 噪 声还会被当成有用信号进 行 反演 , 使图像野值 ? ? ? ? 。? ?增多 ? 为了能够克服地球物 理波动方程层析成像方法的不 适定 问题 , 作者认为有必要从时 域波形着手进 行反演成像 , 不但可直接用波形数据反演 , 还可充分利 用时域波形中包含的
4、各个频率分量的信息 , 从而尽可 能地提高反演图像 的质量 , 以 克 服频域反演方法中数据不 全给反演带来的 不适定等问题 ? 用几何光学和 ? ? ? 近似下进行反 演成像的研究取得了 一定的进展 ? ,? 最大嫡方法特 别适 用于从不 完全的和 含有噪声的数据中恢复 图像参数 , 而且具有很好 的 收敛性 ? ? “?。 本文采用 最大嫡方法中的剑桥算 法? ? , 即在 由三个搜索方向 所组成的 子空 间中选择寻优方向进 行 优化运算 ? 国家 自然科学基金 会 、中国科学 院、中国石 油天然气总公 司、大庆石油管理局联合 资助的课题 ? 本文 ? 年?月?日收到 , ?年? 月? ?
5、日收到修改稿 ? 地球 物 理学报 ? ? 卷 二 、 散射场的时域表示 由频域声波方程 , 有 ? 二 ? ? 湍? ? ? ? 一占?一 ? , ? , ? 式中 , 。 为角频率 , 城 ? ?为介质中 ? 处的波速 , ? ? 为声压 , ? , 为源的位置 ? 令 ? “? ? ? “,? ? , 占? , ? ? ? ? 落一 ? 言? ,? ? , ? 式中 ? , 为 背景介质的折射率 , 。 乙? 七 一 ? “, ? ? ? 为一常速度 ? 将式? ?代人式? , 有积分方程 ? 。? ? 一 , , 一 , ? ?。 。? , ? ? , ? ? , ? 式中 , ? 为
6、成像目标域 , 及 。 一 。 ? ?。, ? ? ? 为目标域内 ? , 处的总 场 , ? ?】 ? 一 ? ? ,二 , ? 满 足 式中 , 心一鱿此? ? ? 二 月毛 , ?及 。? 一 ? ? , ? 为 ? , 十心?一 ? , 】 , ? 一占? ? 一 ? ?, ? 在均匀背景介质中 , 。 ? ? , ? ?一 ? , ? , , ? ? 。? ? ? 一 ? , ? 一 丫不 , ?舒 , ?幻 为第一类零阶 ? ? ?函数 ? 这时总场可表示 ? ? ? 一 ? ? ? 一? ? ? 。? ? 一 ?”一?一,? , ? 式中 , 占? , ? ? ? ? 一 ? ,
7、 ? ? ? , ?, ? ? ?一? , ,? ? , 称为扰动函数 ? 将 ? 划分为?个网格 , 并记 刀, 为第 ?个网格的面元 , 则有 ? 一 ? ? ? ? ? ? ? ? 、, ? , 门? , 一 ? , ?笋及? ? 我们用冲激函数作为 基函数 , 采用矩量法 【 ? ? 对式?进行数值计算 , 得到成像目标域 外的?个测量点处 的散射数据为 ? , ? 。? 一 艺 ?, , ? 。, ? ? ? , ? ?蕊 ? ? ? ? 式中 , 酬? ? 。户 表示在 ?, 处 的接收器测 到的频率分量为 。, 的散射场 , ? 数 占。,? ? ?在第 ? 个象素的 值 , ?
8、, , ? 。, ?为 才, ? 一一二 , 及 。? ? ? 。? ?及 。?。 ?毛 , ?及 。,? ? , ? 为扰动函 ? ? 式中 , ? ? 。 ? ? ?, 一 ? 。 ? ,?。 为 与 刀 ? 面 积相等的等效圆半径 , ? 。 为总场 ? ? 在第 。 个象素的离散值 ? 对式?作离散反傅里叶变换 , 便可得到散射场 在时域的 表达 式为 。? ? ? , 卜 鑫 。, ? ? 加一 ?羹?重当 一 ? ? ? ? ? 期 尹 峰等 ? 最大嫡时域逆散射层析成像的研究 式中 , ?, 表示时域散射数据布时间轴上 的第 ? 个采样点 , ? 为时 域散射波 形中的总采样 点
9、数 , ?, ? ? ?, ?为 ?, ? ?, , ?一 艺 ?, 二?。 。 ? ? 一矛荃 灸 ?攫?镇 ? 一 ? ? ? 式?可简记为 、 、? ? 产 夕? ? 工 ? ? ?工崔 厂 镇 ? ? ?岌卜镇卜 ? 石才? 色、 、 州护一艺 ?, 。, ? ? 将式? ?与 式?比较 , 可知这时反演数据已从原来的?个增至 目前的? ? 个 , 即反 演的约束条件已达到? ? 个 , 充分地利用了时域波形数据 , 尽可能地弥补了频域反演 方法中数据 不 完全问题 ? 三 、 最大嫡时域逆散射层析成像 由式 ? ? , 可将包含有噪声的散射数据 表示 为 ?, 一 万 ?, 。?。
10、? 。灸, ?友蕊材 ?乙? ? ? 式中 , 么 一州?, , 爪 。 一 定义反演的图像墒为 月? ? ?, 二, 反一? ? ? ? ?一 。, 为零均值 、 非相关 、 方 差为 以 的噪声项 ? 一艺, ? ? ? , ( 1 3 ) ( 1 4 ) a ! 艺 户 / / a 一一 久 若我们 采用一般 的非 线性求极方 法从所有满足 约束条件 (12 )的模型中挑选墒函数 S(a) 最大的 模型 时 , 需引人 M X L 个拉格 朗日因子t l 1 , 12, 这样将使计算复杂程度增加 , 而且计算量巨大 . 为 了有效地求取最大墒时域逆 散射解 , 应用最大墒剑桥算法来实现
11、。 W ernec k e 等人 , , ,应 用 中心极限定 理 zim 土 K,。 K 万 粤 之=10葵 ( 1 5 ) 将M x L 个约束条 件的 最大 墒求极目标函数 化 为带一个 约束条件 的目标函 数.此目标 函数为 z(a)一s(a ) 一又Q ( a ) , ( 16 ) 约 束为 八 / _、 M XL 甘戈a 少 一_ _2 (17) 式中 , 地 球 物理学报 37 卷 Q(a,一 含蕙 六 ( 客 “走 一 走 ) ( 18 ) 应用一般 的非 线性求极方 法 , 如最速下 降法 , 共 扼梯度法 , 也可 求解 满 足约束(17)的式 (1的的最大 墒 问题.但是
12、 , 因为式(16)是 高度非 线性函数 , 确定拉格 朗日因子 又存在着 较 大困难 . 为了 有效 求解 式(16)的最大墒解 , J . S k i l l i n g 等人 t l,采 用 了三 个搜索方 向 , 以 它们 为 基组成 一个子 空间 , 在此子空间中找 寻 优方 向 , 求最大嫡解 , 即 “(q十 ) 一 。(q) + 占。(q) 占a(,) 式 中的 x ( i一1 , 2 , 3 )为待定 系数 , ( e l ) 。 ( e Z ) 。 一 xlel + xZeZ 十 x3e3, e 以友一 l , 2 , 3 )为三个搜索方 向 , 定 义为 OS (19)
13、(20) 一 a 。 百下 V住 月 ( 21 ) ( 22 ) ( e 3 ) 一 里g - 。, 卫二 O气d傲 己气 (23) a 、 艺 一一 这里 (24) E 、 J . / 仍 d 一 a 门 E ! 艺 t r / 、 1 礁一 L 、月. 11 卫卫 一 、 Oa 。 口 , Q 口a 。口a* OJ Oa* 上式中的 又可令 V J一。 , 求得 又奥: 。, : 。* , 二艺首几 (2 5) aS Oa , 一、二 里 己a乏 ( 2 6 ) /今 。 厂丝丫、 告 ,忿 一 而 。 / l 又一le s, ; 一- - - - - 一一二,二, - l l夸 。 了
14、卫竺丫, 、 忠 一 、。 a 。 / / ( 27 ) 在式(20)中的 三个搜索方 向 e*(及一 l , 2 , 3 ) 的物理 含义分别是 :e, 方向保证 朝着嫡 函 数 s最大方向搜索; 。2 方 向保证约束Q朝 些 笙望二 , 方 向搜索;在 。; 和 。2 表 达式中的 。 2 的作用是使算法作用集中于 分布参数 的高值 区 ; e, 在 假定用一7甲S作为子空 间的度规 时 , 它的方向相 当于J的 共扼梯度极 大所 作的 初始 校正 , 从而 达到 最速下降方 向7J . 为 了消 除三个搜索方 向间的 某些 相关性 , 简化度规一甲7 5和7 7Q的运算 , 剑桥算 法作
15、了简化 运算 . 一般函数可 采用二 次模 型函数近似 , 而 且 越接近极值点 , 近似程度越 好 , 该算法采用了二 次模型函 数来近似 表示嫡函数 s及 约束 Q , 并经 过一系列 线性变 换t , 将 s和口在x一 (x: , x Z, x 3 )空间的表 示变 换到 u = (u , , 。2,u , ) 空 间 , 即 、(u)一 : + 女: 。 一生 夕 “ : 东 二 ” 2夏二; ( 2 8) 尹 峰等:最大嫡时域逆散射层析成像的研究 Q , u , + 生 2 艺 ;,u ; , ( 29 ) 式中 , 伙一 (7 5 献7和 15. 久司 一 Q十 艺 ,e , ) , Q , 一(7Q , e * ) , u 一 ( u:,u Z ,二3 )与 x = (xL , x Z, x , )的 关 系见 文 用一甲甲S作为 子空间 的度规时 , 迭代修正量 6a 的长度可表 示 为 一 了 一 丫郭 ( 3 0 ) 我们从式(2 0)可 以 看到 , 在 搜索最大嫡解时 , 有 两个重要 的因素 , 一个为 搜索 方向 , 一 个为搜索步长 . 若搜索方向选得不 好 , 则算法需花费大量时 间寻求极点 , 甚至找不到极值 点 ;若搜索步长选得不 当 , 特别是在 极 点附 近
