《同济第3版-高数-(4.4)-第四节-几种特殊类型的函数的积分.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济第3版-高数-(4.4)-第四节-几种特殊类型的函数的积分.ppt（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 几种特殊类型函数的积分,本节概要,了解各类可积函数的形式不仅建立可积函 数积分的一般方法，也可为其它类型的函数的 积分和变形提供一种解决问题的途经，即可设 法通过各种形式的代换和恒等变形使之化为可 积函数类的积分。有理函数就是一类可积函 数，且其积分是有一般方法的。,有理函数又称有理分函数是指由两个多项式之商所 构成的函数，它具有如下形式： 其中，当 n m 时称之为有理真分式，当 n m 时称之 为有理假分式。,(1) 有理函数的定义,(2) 有理函数的分解问题,有理函数可看成简单有理式通分而成的，对微积分 的讨论而言，需考虑的常是如何将有理函数分解为简单 有理分式的和。 有理函数的
2、分解可看成是通分运算的逆运算。由通 分运算规则知，若将有理函数分 解为若干项简单有理分式的和， 其项数取决于分母多项式的因式 分解式，而各项分子的确定则需 进行较复杂的计算，通常可由待 定系数法确定。,多项式的因式分解与方程根的关系,方程 f( x )= 0 有根 x = a 的充要条件是函数 f( x )含 有因子 x - a ，即 f( x )=( x - a )f 1( x ). 于是对于高次多项式的因式 分解，可通过相应的方程求根 转化为较低次的多项式的分解， 直至完成高次多项式在实数 范围内的因式分解。,多项式方程的复根总成对出现，即若 x = + i 是 多项式方程 Q n( x
3、)= 0 的根，则 x = - i 也是该方程的 根。于是在多项式 Q n( x )实数范围内的分解式中必出 现因子 x -( + i ) x -( - i )= x 2 + p x + q， 其中 p 2 - 4q =( - 2 )2 - 4( 2 + 2)= - 4 2 0 . 此 Q n( x )在实数范围内可唯一地分解为如下形式 Q n( x )=( x -a 1 )k1( x -a 2 )k2 ( x -a i )ki ( x 2 + p1 x + q1 )l1( x 2 + p 2 x + q 2 )l2 ( x 2 + p j x + q j )l j. 其中 pj2 - 4q
4、j 0 .,多项式在实数范围内的因式分解式,有理函数为两个多项式之商，故总可通过多项式除 法将有理函数化为一个多项式与一个有理真分式之和。 例如，设有有理假分式 由多项式除法有 于是有,有理函数总可化为多项式与真分式之和,有理真分式的分解,设有有理真分式 F( x )= P m( x )/Q n( x )，其分母 多项式 Q n( x )在实数范围内的因式分解式为 Q n( x )=( x -a 1 )( x -a i )k ( x 2 + p1 x + q1 )l1 ( x 2 + p j x + q j )l j ，其中 pi 2 - 4q i 0 . 则该有理真分式 F( x )必是由以
5、 Q n( x )的因子为分母的 一些最简分式通分而得的，因而可对真分式 F( x )作相 应的分解。 由通分运算的规则知：F( x )的分解式与其分母 Q n( x )的因式的对应关系遵从以下规则：,Qn( x )的因子,F( x )分解式中对应的项,一次单因式 x -a 1 一次重因式 ( x -ai )k 二次单因式 x 2 + p1 x + q1 二次重因式 ( x 2 + p j x + q j )l,(1) 有理函数的积分可归结为四种积分,(2) 最简分式的积分,第一类最简分式的积分,第二类最简分式的积分,第三类最简分式的积分,先考虑较特殊情形，即 M = 2,N = p 时的积分
6、，此 时由凑微分法可求得 再考虑一般情形。为利用上述结果可将此积分分为 两项考虑：,对第一项积分，由上述结果有 对第二项积分，由积分 想到可考虑设法消去分母中的一次项,其中，,第四类最简分式的积分,对于最后一个积分，考虑采用分部积分法计算： 记： ，则当 l 1时有 即有 于是求得,(3) 有理函数是可积函数类,由于有理函数的积分总可归结为四种最简分式的积 分，而这四种最简分式都是可积的，因此有理函数总是 可积的。 由于有理函数是可积函数类， 因此可将有理函数作为一种积 分平台，其它形式的函数若 能通过适当的变形和转换化 为有理函数，则该类函数也 是可积的，且可通过有理函数 的积分法积出。,由
7、于有理函数的积分可转化为最简分式计算，而最 简分式的积分相对简单和固定。因此，有理函数的积分 计算关键在于有理真式的分解。 有理函数的积分可按如下步骤进行： 将有理假分式写成多项式与真分式之和 F( x )= R k( x )+ P m( x )/ Q n( x ). 有理真分式分母的因式分解 Q n( x )=( x -a1 )k1 ( x -a i )k i ( x 2 + p j x + q j )l j , 其中 pj2 - 4q j 0 .,由分母多项式分解式写出真分式形式分解式 由分子多项式的系数确定真分式分解式系数 将有理真分式的形式分解式通分，再由比较系数法 或赋值法计算有理真
8、分式形式分解式中的各项系数，以 确定有理真分式的完整的分解形式。 计算各项的积分,例：求积分 Q 3( x )= x 3 + x 2 + x = x( x 2 + x + 1 ). 将上分解式通分得,写出分母的因式分解式,写出真分式的形式分解式,确定真分式分解式系数,将分子合并同类项有 A( x 2 + x + 1 )+ x( B x + C )=( A + B )x 2 +( A + C )x + A = 1 . 比较同次项系数有 求得有理式分解式为 于是所求积分化为,计算各最简分式的积分,对第一个积分，易求得 第二个积分属于第三类最简分式的积分，故宜考虑 按拆项、配方的方法计算：,因此求得
9、,本题确定最简分式系数的方法称为比较系数法。 通过比较分子多项式系数确定一个线性方程组，解线 性方程组确定各系数的值。比较系数法的原理是两多 项相等的充要条件是同次项系数对应相等。 比较系数法的优点是具有一般性，任一有理真分 式分解总可通过该方法求出其分解式的系数。 其缺点是需进行合并同类项及解线性方程组的计 算。当分母多项式次数较高时，相应有理真分式的待 定系数较多，计算量就相当大。因此当分母多项式次 数较高时一般不采用这种方法确定其分解式的系数。,例：求积分 将上分解式通分得 由此求得分子关系式 x 2 + 1 = A( x + 1 )2 + B( x - 1)+ C( x -1 )( x
10、 + 1 ).,写出真分式的形式分解式,确定真分式分解式系数,x 2 + 1 = A( x + 1 )2 + B( x - 1)+ C( x -1 )( x + 1 ). 此分子关系是是一恒等式，它对一切 x 成立，故可 取 x 为特殊值建立方程，确定系数 A、B、C . 令: x = 1 有，12 + 1= 4A，解得 A = 1/2 . 令: x = - 1 有，( -1 )2 + 1= -2B，解得 B = -1 . 令: x = 0 有，1 = A - B - C ，解得 C = 1/2 . 故有,计算各最简分式的积分,本题确定最简分式系数的方法称为赋值法。赋值 法通过选取分母多项式在
11、某些特殊点的值来建立待定 系数的方程，这些特殊点一般选择分母多项式零点。 赋值法的优点是简便，因为它不需要进行合并同 类项计算，且其相应的待定系数方程要简单的多。 赋值法的不足之处是它对分母多项式的因式均为 单因式的情形较为方便，而对分母多项式的因式含重 因式的情形并不特别适合。,例：求积分 此有理式积分的被积函数分母为二次不可约二重因 式，属第四类最简分式的积分，宜考虑按拆项、配方的 方法计算：,对第一个积分，由凑微分法易求得 第二个积分可通过去除分母二次重因式的一次项， 使其化为形如 的积分进行计算。 对上式的积分可有两种基本算法：,由最简分式的微分性质想到可通过分部积分将此积 分化为第三
12、类最简分式的积分计算。 考虑相应的第三类最简分式的积分,因此有 于是求得原积分为,由三角恒等式 tan 2 t + 1 = sec 2 t 想到，此第四类最 简分式的积分可通过三角代换化为三角有理式积分。 令: x + 1 = tan t ，则 d( x + 1 )= d tan t = sec 2 t d t . ( x + 1 )2 + 1 = tan 2 t + 1 = sec 2 t ，于是有,于是求得原积分为 本题的两种解法均可作为第四 类最简分式积分的一般方法。,有理函数积分理论不仅指出一类可积函数，使得人 们可以预先判断给定积分的可积性。同时也提供了一个 积分平台，若某类函数可通
13、过代换化为有理函数，则该 类函数也是可积的。预先判断给定积分的可积性对积分 计算及方法的选择都是重要的。 以下将要讨论的三角有理式 和一些特殊无理式就是这样一些 函数类的例子，它们都可通过代 换法化为有理函数进行积分。,三角有理式是指由三角函数和常数经由有限次四则 运算构成的函数。由于三角函数总可由 sin x ,cos x 的有 有理式表示，故三角有理式就是 sin x ,cos x 的有理式。 由两个变量 u ,v 及常数经四则运算构成的函数总 可表示为 u ,v 的二元多项式之商，因此关于两个变量 有理式总可表为 从而三角有理式总可表为,三角有理式,(1) 三角有理式的概念,是一个三角有
14、理式，而 不是三角有理式。 需注意的是，形如 R( x ,sin x ,cos x )的函数在形式 上和三角有理式很相象，但它们的积分却有很大差别。 由于积分 x/sin x d x 无法积出， 因而形如 R( x ,sin x ,cos x )d x 的积 分很可能不可积。即便在可积的情形 下，其积分方法也常和三角有理式的 积分不同。遇到这类积分时应特别注 意不要和三角有理式的积分相混淆。,由三角学知道，sin x ,cos x 均可表示为 tan x/2 的 有理式，即有 因此，总可通过代换 t = tan x/2 将三角有理式转化 为有理式，故称这一代换为万能代换。,(2) 三角有理式的
15、积分法,万能代换,令: t = tan x/2,( -k t k )，即 x = 2arctan t，则有 于是三角有理式的积分化为,万能代换与三角有理式的积分,由于有理函数经四则运算仍是有理函数，因此， 仍是有理函数，即三角有理式的积分通过万能代换总可 化为有理函数的积分。由于有理函数是可积，故三角有 理式也是可积的，且有,例：求积分 对此三角有理式的积分，由于分子、分母均是一次 三角式，故可考虑用万能代换化为有理式积分。 令：t = tan x/2,t ( -k ,k )，即 x = 2arctan t，则有,例：求积分 对此三角有理式的积分，容易想到用万能代换 计算。由于给定三角式是 s
16、in x ,sin 2 x 的三角式，为作 万能代换还需先将其写成形如 R( sin x ,cos x )的形式。 令：t = tan x/2，t ( -k ,k ),即 x = 2arctan t，则有,用拆项法分解有理式,以有理函数为平台考虑其它可积函数类，容易想到 的另一类可能转化的函数是无理函数，因为简单无理函 数与有理函数仅是指数的分数与整数的差别。因此可考 虑通过代换将无理函数转化为有理函数。 然而，研究结果令人遗憾，并非所有无理函数都可 通过代换化为有理函数，且许多无 理函数还是不可积的。虽然没有得 到无理函数也是可积函数类的结果， 但人们毕竟发现了某些简单无理函 数可以通过代换化为有有理函数。,例：求积分 这是简单无理式的积分，求无理式积分的基本思路 是考虑通过代换将其化为有理式进行计算。设置代换的 一般方法是将简单根式作为一个整体，视作积分变量。 即 x = t 2 + 1，则 d x = 2
