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1、第二节 不定积分的计算(),一、简单无理函数的不定积分,二、三角函数有理式的不定积分,2019/10/27,1,福州大学数学与计算机学院,2019/10/27,福州大学数学与计算机学院,2,二、简单无理函数的不定积分,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换化为有理函数的积分.,讨论类型 (主要三种),2019/10/27,福州大学数学与计算机学院,3,例1 求积分,解,原式,例2 求积分,解 令,原式,2019/10/27,4,福州大学数学与计算机学院,2019/10/27,福州大学数学与计算机学院,5,例3 求积分,解,原式,2019/10/27,6,福州大学数学与计算机学院,201
2、9/10/27,7,福州大学数学与计算机学院,2019/10/27,8,福州大学数学与计算机学院,2019/10/27,9,福州大学数学与计算机学院,2019/10/27,10,福州大学数学与计算机学院,2019/10/27,福州大学数学与计算机学院,11,被积函数为二次根式的有理式 , 可通过配方根、再用基本公式或三角代换方法化为有理函数的积分.,讨论类型,2019/10/27,福州大学数学与计算机学院,12,例4 求积分,解,原式,2019/10/27,福州大学数学与计算机学院,13,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式.,三、三角函数有理式的不定积分,一般记为
3、R(sin x , cos x) .,(万能代换公式),化为了 u 的有理函数的积分.,例1 求积分,解,由万能代换公式,2019/10/27,14,福州大学数学与计算机学院,2019/10/27,15,福州大学数学与计算机学院,例2 求积分,解（一）,2019/10/27,16,福州大学数学与计算机学院,解（二）,修改万能置换公式,令,2019/10/27,17,福州大学数学与计算机学院,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法, 便知万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换.,2019/10/27,18,福州大学数学与计算机学院,
4、例4 求积分,解,2019/10/27,19,福州大学数学与计算机学院,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,2019/10/27,20,福州大学数学与计算机学院,例5 求积分,解,2019/10/27,21,福州大学数学与计算机学院,例6.求不定积分,解：,原式 =,前式令,; 后式凑微分,2019/10/27,22,福州大学数学与计算机学院,2019/10/27,23,福州大学数学与计算机学院,2019/10/27,福州大学数学与计算机学院,24,1. 有理函数分解成部分分式之和的积分.,( 注意：必须化成真分式 ),四、小结,2. 简单无理函数的积分.,(用根式代换化为有理函数的积分),3. 三角函数有理式的积分. (万能代换公式),(注意：万能公式并不万能),思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,解答,分解后的部分分式必须是最简分式.,2019/10/27,25,福州大学数学与计算机学院,
