《一元函数积分学.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元函数积分学.ppt（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,山东交通学院高等数学教研室,一元函数积分学,一、 知识要点,二、典型例题,1、原函数和不定积分的概念, 不定积分的基本性质、,2、定积分的概念和基本性质,一、知识要点,基本积分公式 (13+9),积分中值定理:,则至少,使,上连续,注:,称为,3、积分上限的函数及其导数:,5、不定积分和定积分的求法,凑微分法,变量代换法,根式代换、,三角代换,指数代换,反对幂三指,反对幂指三,倒代换、,换元法,分部积分法：,6、有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.,7、反常积分,积分区间无限,被积函数无界,4、牛顿-莱布尼茨公式:,8、常用的结论,当 f (x)为偶函数时,当 f (x)为奇函数时
2、,I. 奇偶性,II. 周期性,若,则,III. 关于三角函数的结论,设,在0, 1上连续,则:,n 为偶数,n 为奇数,P248 例6,P252 例12,9、定积分在几何和物理上的应用,例如, 平面图形的面积：,平行截面面积为已知的立体体积:,旋转体的体积和侧面积：,平面图形绕 x 轴旋转一周,平面图形绕 y 轴旋转一周,体积为,侧面积为,则旋转体的,则旋转体的体积为,平面曲线的弧长:,变力所作的功、引力及压力等物理应用,另外,曲线弧 L:,则对应弧长,二、典型例题,例 利用定积分求下列极限：,原式,解: (1),(2) 原式,例 设函数,解:,A为常数,并讨论在,处的连续性.,由题意知,由
3、导数定义知,连续,从而 在 处连续.,综上可知,处的连续性.,例1,解:,在上式两边积分得,二、典型例题,设 f (x) 是连续函数, 且满足,练习,(1) 已知函数 f (x) 满足方程,(2) 设连续函数 f (x) 满足,(2),提示:,(1),例2 计算定积分,解:,例3,解:,则,计算 其中,练习,(1) 已知,(2) 设,提示：,利用分部积分法,(1),(2),例4 已知 g(x) 是以T 为周期的连续函数, 且 g(0)=1,解：,已知 g(x) 是以T 为周期的连续函数, 且 g(0)=1,由题意知,g (t) 以T 为周期,则*,例4,解:,例5,证明:,从而有反函数.,则由
4、反函数求导法,则,由 知,例6,解:,另一方面,则,因此最小的实数,例6,解:,解得,设函数,在点 处连续,问常数 取何值时,取最小值, 并求之.,即,则,从而,从而,处取得最小值.,处取得最小值.,此时最小值为,下面计算最小值,(瑕积分),P137 例7,例7,设 在 可微，并有,证明：存在至少 使得,证：,则,由积分中值定理知,而,所以,满足罗尔定理的条件, 可得,使得,即,令,至少存在一点,而,练习,(1) 设 f (x) 在 上可导,证明: 在 (0,1) 内至少存在一点,证明：,对 G(x) 在 上用罗尔定理得,至少存在一点,例8,解:,因抛物线过原点,故 c = 1.,由题意知,而
5、此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为:,抛物线为:,解得,体积有极小值,也是最小值.,例9,曲线 y = f (x) 满足 f (0) =1 ,对于任意的t 曲线是严格,递增的,在 x 轴上 t 0,该曲线与,围成一个曲边梯形.,该曲边梯形绕 x轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,若 f (x) 二阶可导,求曲线 y = f (x).,解:,旋转体的体积:,旋转体的侧面积:,由题意知,记 y = f (x),化简得,两边对 t 求导得,化简得,两边对 t 再求导得,(二阶常系数齐次线性方程),其特征方程为,从而方程通解为,由题意 f (0) =1,从而,曲线为,特征方程:,以上结论
6、可推广到高阶常系数齐次线性微分方程 .,特征根:,P334,5、二阶常系数齐次线性微分方程:,例10,求从原点到曲线 上一点的弧长,已知该点处,曲线的切线与 x 轴成 角.,解:,设切点 A 的坐标为,由公式可知所求弧长为,在方程两边对x 求导得,则它满足,因此曲线在点 A 处切线斜率:,解得,因此所求弧长为,练习,(1) 已知星形线,求,(1) 它所围的面积;,(2) 它的弧长;,(3) 它绕 x 轴旋转而成的旋转体的表面积;,提示:,(1) 它所围的面积:,(2) 它的弧长:,(3) 它绕 x 轴旋转而成的旋转体的表面积:,练习,(2) 设 f (x) 在a,b 上可导,存在唯一的,提示:
7、 两块区域的面积分别为：,使得由,所围的图形的面积与由,图形的面积之比为 2014.,求证:,所围的,作辅助函数,例11,在点 (0 , h) 处 ( 其中 h 0 ) 有一质量,解:,在 x 轴的x 处取一小段,其质量是,到质点m的距离为,则这一小段,与质点的引力元素是,( 其中G为引力常数 ),这个引力在水平方向的分量为,从而,在竖直方向的分量为,从而,故所求引力向量为,例12,设 在 上连续，证明：,（1）,（2）,设 在 上连续，且严格递增，证明：,（1）令,证明:,则,所以 单调递减，,因此,即,即,（2） 方法同（1）,注：构造积分上限函数作为辅助函数证明不等式,练习：1. 在 区间0,1上可导， ，,试证：,*2.,设函数 在 上具有连续二阶导数，证明:,在 内至少存在一点 ，使得,提示 (1),令,例13,解:,从而,由此得到,例14,证明:,只要证明级数,发散.,发散,由比较审敛法知,发散.,故原广义积分不是绝对收敛的.,课本 P264,只要证,例15,解:,由题意知,例16,解:,
