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1、工程电磁场数值分析（4） （电磁场有限元法）,华中科技大学电机与控制工程系 陈德智 Email: dzhchen Tel: 13277069433 Office: Room 108, 电机楼 2010.12,第4章 电磁场有限元法 （Finite Element Method, FEM）,有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。,第4章 电磁场有限元法（FEM）,有限元基本原理与实施步骤：1D FEM 有限元基本原理与实施步骤：2D FEM 有限元方程组的
2、求解 二维有限元工程应用 三维有限元原理与工程应用 矢量有限元,加权余量法回顾： 对算子方程 用 作为该方程的近似解（试探解）： 代入方程得余量：,1. 有限元法基本原理与实施步骤：一维问题,在有限元法中，基函数一般用 表示。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交化：,设L为线性算子，代入 ，得,或,记,得代数方程组：,加权余量法回顾（续）,利用有限元法求解一维边值问题： （1）单元剖分 如图5个单元，6个节点 （2）选取基函数,（3）方程离散 （计算系数阵 K 和右端项 b） 基函数 Ni 只是一阶可导 的，不能严格满足微分方 程，称为“弱解”。,（3）方程离散,第一项
3、在 xj 处为0，在 xi 处的值 被来自 (i-1) 单元的贡献抵消，故只剩下第二项。,由于基函数 Ni 局域支撑，显见只有 不为0。 使用分步积分：,（3）方程离散,故,类似，当 j = i 时,右端项：,总体方程,强加边界条件：u1 = 0, u6 = 0,（4）求解方程,思考：（1）有限元的解跟有限差分法的解有何根本不同？ （2）有限元的系数阵总是对称的吗？,与有限差分法（FDM）相比，有限差分法是对点的离散，得到一系列离散点上的解；而有限元（FEM）是对区域的离散（单元），尽管所求的是节点上的自由度，但它的解在场域中每一个点上都有定义。 所以，即是有限元节点上的解是精确的，有限元的整
4、个解仍然是近似的。好的数据处理技术可以从该近似解中提取更精确的分析结果。 线性单元中，如果所求的自由度是电位j，单元中的电场 E是场量；节点上的 E 取邻近单元的平均。,一些补充说明： 关于有限元的解,计算系数阵是有限元分析的主要工作量。所涉及到的积分，如果不是解析可积的，通常要用到数值积分。其中最常用的数值积分方法是Gauss数值积分。,一些补充说明： 高斯数值积分,先将积分区间变换到-1,1上；按照固定的积分点计算若干函数值 P(xi), 以固定权值 wi 累加即可。具(2n+1)阶精度。,n=4 x(1)= 0.861136311594053d0 x(2)= 0.339981043584
5、856d0 w(1)= 0.347854845137454d0 w(2)= 0.652145154862546d0 n=5 x(1)= 0.906179845938664d0 x(2)= 0.538469310105683d0 x(3)= 0.0d0 w(1)= 0.236926885056189d0 w(2)= 0.478628670499366d0 w(3)= 0.568888888888889d0 n=6 x(1)= 0.932469514203152d0 x(2)= 0.661209386466265d0 x(3)= 0.238619186083197d0 w(1)= 0.171324
6、492379170d0 w(2)= 0.360761573048139d0 w(3)= 0.467913934572691d0,n=16 x(1) = 0.9894003948d0 x(2) = 0.9445750231d0 x(3) = 0.8656312024d0 x(4) = 0.7554044084d0 x(5) = 0.6178762444d0 x(6) = 0.4580167777d0 x(7) = 0.2816035508d0 x(8) = 0.0950125098d0 w(1) = 0.0271524594d0 w(2) = 0.0622535239d0 w(3) = 0.09
7、51585117d0 w(4) = 0.1246289713d0 w(5) = 0.1495959888d0 w(6) = 0.1691565194d0 w(7) = 0.1826034150d0 w(8) = 0.1894506105d0,一些Gauss积分点和权值： （关于x=0对称，只给出一半）,为提高有限元分析精度，有两种方法： 其一：增加节点，细化网格称为h方法。 其二：增加有限元的阶数称为p方法。,一些补充说明： 线性单元与高阶单元,一些补充说明： 二阶单元,一些补充说明： 三阶单元,h方法和p方法的求解精度,By Jianming Jin. The Finite Element
8、Method in Electromagnetics, 2nd Ed., 2002,作业：要独立完成，凡雷同者没分！,编写有限元程序，计算一维边值问题。改变剖分单元数目，观察解的精度变化。（建议也同时做一个有限差分法的程序，比较二者的精度差别）,以二维静电场泊松方程的求解为例。,2. 有限元法基本原理与实施步骤： 二维问题,目标：依据加权余量法，利用分域基，建立离散的代数方程组，即确定系数Kij 和bi。,场域离散 二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。,单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。 节点：网格的交点，待求变量的设置点。,该步骤需要记
9、录的信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质,基函数,有限元采用分片逼近的思想，类似于一维情况下使用折线逼近一条任意曲线。 使用分域基Ni，基函数的个数等于节点的个数；每个基函数Ni的作用区域是与该节点i相关联的所有单元。,三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值分别为u1, u2, u3。如果单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意p点的u(x,y)表示为,代入三个顶点的坐标和函数值，可以解出a、b、c。得到,单元节点的编号按逆时针方向排列！,其中，,记住我们的任务 寻找基函数,对比,可得,基函数Ni常被称为插值函数或者形状函数
10、，具有以下性质： （1）是插值的； （2） （3）在相邻单元的公共边界上， Ni是连续的，从而通过Ni构造的逼近函数也是连续的。,在积分 中，对于确定的 i，j的有效取值为i 本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j 为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj才有交叠。,计算系数阵,这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，K01、K00以及b0的计算公式为：,计算系数阵,以下把单元e的贡献记为,这样，就有,每个 或 的计算都在具体的单元内单独考虑（称为单元分析）。,单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。,系数阵元素：,当L为拉普拉斯算子时，由于
11、Ni在单元内是(x, y)的线性函数，经Laplace算子作用后值为0。 但是，在相邻单元的边界上， Ni是连续但是不光滑的，因此对积分的贡献主要来自边界。 为考虑单元边界的影响，需要借助于格林公式：,故 ，,格林公式：,因：,写成一般形式，若一个三角形三个顶点编号为i, j, m（逆时针顺序），则,从而,再看边界部分：,（1）在节点 i 的对边Gjm上，Ni0，故积分贡献为0；,结论：单元边界对积分的贡献为0。所以单元e对系数阵元素的贡献为：,（2）在节点 i 的邻边Gij上，由于计算Kij时需要把具有公共邻边的单元的积分累加，此二单元的Ni是连续的；对于单一均匀媒质，要求相邻单元满足 ，故
12、积分的贡献相互抵消。,由于单元很小，做单元分析时通常可以取 f (e) 为常数值（可以认为等于三个顶点上的平均值）。因此,右端项元素：,公式：,上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐个计算单元系数阵K(e)，然后合成整体系数阵K。单元系数阵K(e)定义为 设 i, j, m 是节点的整体编号，元素Kij在整体矩阵中的实际位置是第i行、j列；因此 必须合成到整体矩阵的第i行、j列元素上。,单元矩阵：,整体矩阵合成：,通过上述过程，对于一个“正常”的内部节点就建立起了一个代数方程。“非正常”的节点包括：媒质交界面衔接条件和场域边界条件。
13、,对于静电场问题，媒质分界面衔接条件为,媒质交界面衔接条件,第一个条件是自动满足的（Why？），无须格外处理。,对于第二个条件，前面计算单元边界上积分 时，默认两边 u 的法向导数相等，使内边界上的积分结果抵消。因此只要把泊松方程写成 或 满足的条件将是 , 从而也无需另行处理。,由于有限元方法能够自动满足媒质交界面条件，因此有限元法特别适合于处理多层复杂媒质问题。这是其它方法无可比拟的。,媒质交界面衔接条件,第一类边界条件（强加边界条件）,第一类边界节点是指边界上函数值 已知。因此处理方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元素置1，其它元素均置零，同时将右端项中对应元素设为已知函数值
14、。,要保持对称性；有更简便的做法,第二类边界条件（自然边界条件）,第二类边界节点是指边界上函数法向导数 已知。对于内部单元，相邻单元边界的积分 相互抵消。但是对于场域边界，如果给定第二类边界条件不为0，则积分结果要计入右端项中。但是若给定的是齐次第二类边界条件，则积分结果为0，无需另行处理，非常方便。,这是ANSYS中自动满足的边界条件。,有限元方法的推导过程虽然看起来有些复杂，但是最终结果是非常简单而且优美的。因为边界条件的处理和媒质交界面条件的处理都非常方便，使得有限元方法在处理复杂媒质问题和复杂场域问题时得心应手，获得了广泛的应用，成为最重要的数值分析手段，广泛应用于各个领域。有人用“功
15、盖四方”来形容有限元，实不为过。 中国人在有限元的发明中有自己独特的贡献。,作业：,(2) 对于研究方向为数值计算的同学： 编写一个二维静电场有限元程序，计算右图所示问题，或其它自己找一个问题。,（1）推导三角形单元的2次和3次插值函数。,3. 有限元方程组的求解,代数方程组求解方法概述 所有的数值方法最终都归结为求解一个代数方程组：,系数阵 A也称系统矩阵或刚度矩阵。不同离散方法得到的系统矩阵具有不同的特点，方程组的解法也就不同。 基于微分方程（如FEM、FDM等）得到的系统矩阵是稀疏的，有时还是对称的； 而基于积分方程得到的系统矩阵则是稠密的，如BEM、模拟电荷法等。,代数方程组的求解是数
16、值计算（计算数学）研究的核心内容。求解代数方程组的方法归纳起来有两类：直接法和迭代法。,3. 有限元方程组的求解,直接法：直接法都是基于高斯消去法，经过确定次数的运算，理论上可以得到方程组的精确解。适用于小型、稠密方程组的计算。,迭代法：是一种间接方法，从某个预定的初值出发，按照一定的迭代步骤，逐渐逼近方程组的真解。得到一个满足给定精度要求的近似解。适用于大型、稀疏方程组的计算。,3. 有限元方程组的求解,直接法（LU分解算法）,LU分解算法：,回带：,消元：,计算量：需要的乘除法次数： O(n3) 稳定性：选主元,迭代法,迭代法的基本思想：,（等价方程组）,从一组猜测的初值 开始迭代,直至 不再变化为止，即为方程组的解（收敛）。
