数学骗分导论

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1、1 骗分导论 Introduction to Score-cheating on Mathematical Olympiad 第三版 2009-01-30 李 博 杰 （石家庄二中 2007 级 19 班Website:博杰学习网 http:/lbj.80.hk/） 0 0 骗骗分分导导论论修修订订引引言言 数学竞赛三十年风风雨雨，今天终于日趋成熟。而就在 2009 年伊始之时，数学竞赛的 题型有了较大规模的变动。首先，选择题被取消，填空题增加一道，一试变成了 100 分；其 次， 解答题增加了一道， 二试变成了200分。 这种题型的调整， 说明了联赛的题型在向CMO、 IMO 靠拢，难度也会

2、逐渐加大。增多的二试题，将更加注重数论、组合的考察；去除的选 择题，不利于“骗分”的实施。 尽管如此，我们仍然不能放弃“骗分”的希望。 骗分导论 ，这个来源于信息学竞赛同 名文章的题目，吸引了众多学生、教练的关注，我感到有责任将这项工作继续进行下去。前 版骗分导论只有薄薄的 21 页，今天的骗分导论经过全面修订、扩充，达到了 81 页，更加异彩纷呈。针对修改后的题型，第三版骗分导论提出更多有价值的数学竞赛多 得分的方案。根据读者的建议，本版骗分导论更加注重对题目的解析。在此，我谨向各 位提出宝贵意见建议的忠实读者致谢。 在以前版本的骗分导论中，更多注重的是省内初赛、全国联赛难度的题目，而由于

3、水平所限，未曾涉足 CMO、IMO 难度的题目。如今竞赛水平有所提高，只局限于联赛未免 “低龄化” ， 于是添加了适量高难度的题目， 部分内容可能涉及高等数学， 供读者选择阅读。 我最近参加了 2009 全国信息学竞赛冬令营，见到了很多“大牛” ，深有感触。在这个牛 年说牛的日子里，为了让更多的竞赛大牛出现，我决定大规模添加内容，写一篇名副其实的 关于骗分的导论。信息学竞赛与数学竞赛很多时候是相通的，一些数学命题的发现，往往与 计算机有关， 而一些计算机中的算法， 也许能启迪数学题的思路。 我始终坚信， 各学科竞赛， 乃至高考学科，都是互相联系的。本文为了更加突出这种联系，有时会引用其他学科竞

4、赛的 试题，或用其他学科的知识求解，希望给读者一些启发。 学科竞赛的保送，自 2002 年开始至今，已走过了八年进程。数万学子通过这一途径， 进入理想的大学。今天，这个正在成长的制度可能走向她生命中的终结。各种信息显示，自 2010 年起，可能将不再有省一等奖的保送生，也就是说，只有进入省队，才有可能获得竞 赛的保送资格。事实上，没有保送的竞赛才回归自然。这样，更多的选手参加竞赛是真正出 于对数学的兴趣， 而不是功利的目的。 这样， 我们的竞赛才回归它本身的意义。 我衷心希望， 各位读者能细细品味数学竞赛中的美感，陶冶科学世界的情操。 本版骗分导论的主要内容有： （由于内容经常修订，难以确定目

5、录页码） 第一节 得分最大化骗分的目的 第二节 表达规范骗分的基础 第三节 变形构造骗分的前期准备 第四节 特殊值法骗分的核心技巧 4.1 什么是特殊值法 4.2 特殊值法的理论依据 4.3 特殊值法在函数不等式中的应用 2 4.4 特殊值法在几何问题中的应用 4.5 特殊值法在组合问题中的应用 第五节 试探法骗分的一般策略 5.1 什么是试探法 5.2 留心试探中的关系 5.3 试探法在数列问题中的应用 5.4 试探法在函数方程中的应用 5.5 试探法在组合问题中的应用 5.6 试探法在数论问题中的应用 5.7 试探法在平面几何中的应用 第六节 高效骗分“秒杀”选择题 第七节 高效骗分提高填

6、空题正确率 第八节 抓住解答题的每一分 8.1 减少低级错误 8.2 尽可能寻找思路 8.3 踩准采分点 第九节 高效骗分破解难题 9.1 调整法不等式的终结者 9.2 二进制追溯数字的本源 9.3 反证法草船借箭的妙用 9.4 算两次换个角度看问题 9.5 归纳法三生万物的玄机 第十节 瞒天过海骗分的必杀绝技 10.0 瞒天过海不露马脚 10.1 角度变换笑里藏刀 10.2 全等相似暗藏杀机 10.3 作图诡计增兵添将 10.4 不等变形藏龙卧虎 10.5 直觉推断兵不血刃 10.6 巧用方程一语攻心 10.7 文字描述避开逻辑 10.8 曲解定理狐假虎威 10.9 先猜结论令敌失色 10.

7、10 铺天盖地绝地反击 第十一节 实战演习骗分的实际应用 11.1 2007 年全国联赛 11.2 2008 年全国联赛 A 卷 11.3 2008 年全国联赛 B 卷 11.4 2009 年中国数学奥林匹克 11.5 2008 年国际数学奥林匹克 第十二节 数学之美数学的广延性 12.1 美妙的自然对数 e 12.2 奇特的黄金分割 12.3 物理中的数学 3 12.4 化学中的数学 12.5 生物中的数学 12.6 信息学中的数学 12.7 巧妙的构造 第十三节 不骗分骗分的最高境界 13.1 骗分的实质 13.2 调整心态，骗分的心理基础 13.3 如何做到不骗分 附录 12009 全国

8、联赛模拟题（原创） 附录 22009 全国联赛大纲 附录 3数学竞赛推荐书目 附录 4竞赛保送指南 附录 5作者简介 1 1 得得分分最最大大化化“骗骗分分”的的目目的的 在数学竞赛中，经常有题目难以解出的情况。此时，轻言放弃，意味着考试的失分， 一道 50 分的二试解答题很可能决定奖项的取得；继续做，又毫无头绪，有可能耽误更多的 时间。此时， “骗分”便成为了我们唯一的出路。 所谓“骗分” ，就是在一时没有好的思路的情况下，尽可能获得思路；即使没有思路， 也能尽可能得到部分分数。 在数学学科竞赛中，分数是最重要的。时常见到，有些同学能力很高，经常解出难题， 但每逢考试，得分却不理想，这不能不

9、说是一种遗憾。而另一些同学平时不见起色，考试却 每每高分，令人费解。对此种矛盾，本文将略谈一二。 本文笔者拟从数学竞赛“骗分”的实用策略谈起，以提高数学竞赛中获得高分的能力。 由于水平有限，难免有错误疏漏之处，敬请读者指教。 2 2 表表达达规规范范“骗骗分分”的的基基础础 表达规范，就是学习标准答案的解题模式。要使解答具有层次性，分条阐述。不要几 个式子加一个得数，这样很容易误判。表达规范，要求书写、卷面“排版”整齐。我们看到， 在标准答案中由于计算机排版，行距列距、字体整齐，利于观看，我们也很容易理解。 笔者初中有评阅数学试卷的历史，同样是一个解答过程，有的试卷愿意阅读，有的只 想尽快阅完

10、放弃。在高中联赛的阅卷过程中，阅卷速度很快，若阅卷人一时无法理解或无法 找到而造成误判，造成的损失是无法弥补的，令人后悔莫及。 统观全局，认为影响解答美观性的因素有： （1）字字体体。竞赛试卷书写不是书法比赛，不能行书草书一起上，要用楷体认真书写，尽 量做到笔画清楚，尤其是数字和符号清晰，不要有模棱两可的数字，不要连笔书写，这样才 方便阅卷。 （2）字字号号。数学专业书籍，如中等数学 ，一般都以五号字为宜，本文就是以五号字 排印的。我们书写竞赛试卷时，尽量模仿，避免过大导致卷面不够用，或过小导致看不清。 （3）分分栏栏。数学试卷的页一般较宽，若通体一栏，既浪费空间，又会导致各行因表达式 长度不

11、同而“错落有致” ，不美观。可以假想在页的竖直中部有一条线， 先写左栏再写右栏， 该换行时及时换行，一个等号占一行，这样显得规范。不到万不得已，不要使用箭头来回拐 弯。 （4）分分式式。对于较大的分式，若与普通字行距相同，必然导致分子分母的字母、数字过 4 小， 难以看清。 当遇到复杂的公式推导时， 最好增加行距， 保证分式的字与一般字体一样大。 （5）标标记记。尽量注明重要推导步骤和中间结论的号码，用（1） （2） （3）表示，一 是方便在中间步骤给分，二是以后引用时注明号码来源，如“由（1）+（2）得” ，逻辑 清晰，阅卷者能迅速找到解题根据，避免误判。 （6）关关联联词词。在解答过程中应

12、用“只需证” “下面对进行分类讨论” “下面用数学归 纳法证明” “由上式可得” “故” “不妨设” “综上”等关联词语，利于阅卷者迅速把握解题思 路。 （7）缩缩进进。在分类讨论时，可用数字标号（1） （2）等，以提示阅卷者；标号后紧跟条 件“当时” ；类别内的各行讨论，最好从数字标号右侧开始，竖直方向各标号对齐，以 体现层次性和逻辑性。分类讨论结束时， 最好有总结性的结论，并采用 “中间结论标记法” ， 以便以后引用。 （8）注注明明定定理理。有时阅卷人一时不知式子来源，容易误判。在运用重要定理时，注明 在式子的前后， “由柯西不等式得” “由梅涅劳斯定理得” ，逻辑清楚。 （9）引引理理

13、。在解决十分复杂的问题时，若能将中间的重要结论写成“引理” ，完整的表 示出来，再对引理进行证明，会起到强调作用，增强解答的层次性。 （10）修修改改。当部分出现错误时，轻轻用线划掉再重写即可，不影响整体效果。不要在 式子中间进行修改，否则不清楚。在正式书写之前最好在脑中把思路理顺，按照正常逻辑顺 序书写，尽量避免大规模涂改。 （11）推推导导。在较长的式子推导中，最好只保留重要的、有技巧的变形步骤，其他等价 推导可在草稿纸上完成，以节省卷面空间。 （12）结结论论。题目解完后，要有总结性的结论，正面回答题目中的问题。 如此种种，不再赘述。表达规范需要长期积累，水滴石穿，最终受益匪浅。总之，表

14、达 规范，好的书写习惯能令人赏心悦目，同时迅速把握解题思路，是竞赛得分的重要基础。 3 3 变变形形构构造造“骗骗分分”的的前前期期准准备备 众所周知， “变形” “构造”是数学竞赛解题中的“老大难” 。若能巧妙变形、构造，就 能观察出题目内含的等量、不等关系，为本文后面的“特殊值法”和“试探法”奠定基础。 例例 1 1 （经典问题，2008 年安徽初赛）求的小数形式的循环节长度。 解解 2008=23251. 251 的欧拉函数(251)=250. 而 250=253.对250的约数从小到大试 验，知10501（mod 251） 。故 1/2008 的循环节长度为 50. 分析：解答似乎“不

15、知所云” ，因为这涉及到数论知识。首先，10(m)1 (mod m), 是欧 拉函数的性质，在此略去证明。对正整数 n，欧拉函数是不大于 n 的数中与 n 互质的数 的数目。而 1/2008 的循环节长度等于 1/251 的循环节长度，因为循环小数乘除 2 或 5 的任 意幂次，循环节长度不变，乘除的 2、5 在 mod 10 时不会体现。10t1（mod n）与循环小数 的关系，就是 10t被 n 除余数为 1，这样在除法式中，除到第 t 位时余数与开始时相同，这 意味着新的循环开始了，即 t 是循环节长度。而 251 是质数，其欧拉函数为 251-1=250. 由 于 250 必为循环节长

16、度的整数倍，故一个循环节的长度为 250 的约数，对约数从小到大逐一 试验即可。 在本题中，联想 10(m)1 与循环小数的余数，属于“构造”的经典。实际上，循环小 数的循环节长度问题还与著名的“大整数分解问题”有关。关于循环节长度的讨论，目前仅 能就约数一一试验，而没有更好的办法，由于 1/p（p 为素数）的循环节长度难以找到规律。 如果能够解决循环节长度问题，得出大数的约数，解决大数分解问题，RSA 加密体制的安 1 2008 5 全性将受到极大挑战，并引起数论界的一次革命。 例例 2 2 （经典问题）求. 答案：极限为. 分析：曾有一道数学竞赛题，就是证明该式小于2.利用了整数的分拆和放缩。 这是一个不错的构造的例子。但我们想知道，这个“放过头”的结论显然不是上式的确 界。那么如何求极限？ 这个问题莱布尼茨和伯努力都曾经研究过， 但是没有结果， 而欧拉运用他娴熟的数学技 巧给出了如下的算法。他实际上采用了泰勒展开的方法（请