《2017-2018学年高中数学 课后提升训练十九 2.3 数学归纳法 新人教a版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 课后提升训练十九 2.3 数学归纳法 新人教a版选修2-2（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课后提升训练 十九数学归纳法(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立,若已假设n=k(k2为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.相邻的两个偶数,若前一个为k,则下一个为k+2.2.(2017海口高二检测)用数学归纳法证明+1(nN*),在验证n=1时,左边的代数式为()A.+B.+C.D.1【解析】选A.在+1(nN*)中,当n=1时,3n+1=4,故n=1时,等式左边的项为:+.【补偿训练】(2017长春高二检测
2、)用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(nN*)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4【解析】选D.在等式1+2+3+(n+3)=(nN*)中,当n=1时,n+3=4,而等式左边是起始为1的连续的正整数的和,故当n=1时,等式左边的项为1+2+3+4.3.观察下列各式:已知a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则归纳猜测a7+b7=()A.26B.27C.28D.29【解析】选D.观察发现,1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,所以a7+b7=29.4.(201
3、7潍坊高一检测)若把正整数按如图所示的规律排序,则从2016到2018的箭头顺序方向依次为()A.B.C.D.【解析】选B.从题图可看出是以4为周期的循环,2016能被4整除,因此2016201720185.下列四个判断中,正确的是()A.式子1+k+k2+kn(kN*,nN*)中,当n=1时式子值为1B.式子1+k+k2+kn-1(kN*,nN*)中,当n=1时式子值为1+kC.式子1+(nN*)中,当n=1时式子值为1+D.设f(k)=+(kN*),则f(k+1)=f(k)+【解析】选C.A错,n=1时式子值为1+k;B错,n=1时式子值为k0=1;C正确;D错,f(k+1)=f(k)+-
4、.6.设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+_.()A.2B.C.D.【解析】选B.将k+1边形A1A2AkAk+1的顶点A1与Ak相连,则原多边形被分割为k边形A1A2Ak与三角形A1AkAk+1,其内角和f(k+1)是k边形的内角和f(k)与三角形A1AkAk+1的内角和的和.7.设f(n)=1+(nN*),那么f(n+1)-f(n)等于()A.B.+C.+D.+【解析】选D.因为f(n)=1+,f(n+1)=1+,所以f(n+1)-f(n)=+.【补偿训练】用数学归纳法证明不等式+的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是_.【解析
5、】不等式的左边增加的式子是+-=.答案:8.(2017衡水高二检测)用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为()A.(5k-2k)+45k-2kB.5(5k-2k)+32kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-35k【解析】选B.5k+1-2k+1=5k5-2k2=5k5-2k5+2k5-2k2=5(5k-2k)+32k.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017合肥高二检测)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为_.【解析】令f(n
6、)=(n+1)(n+2)(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2),所以=2(2k+1).答案:2(2k+1)【补偿训练】(2017武汉高二检测)用数学归纳法证明12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=(nN*)时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应增加的式子是_.【解析】根据等式左边的特点,各数是先递增再递减,由于n=k,左边=12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12,n=k+1时,左边=12+22+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+ (k-1)2+22+12,
7、比较两式,可知等式左边应增加的式子是(k+1)2+k2.答案:(k+1)2+k210.对任意nN*,34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a=_.【解析】当n=1时,36+a3能被14整除的数为a=3或5,当a=3且n=2时,310+35不能被14整除,故a=5.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)11.用数学归纳法证明:1+2-(n2,nN*).【解题指南】按照数学归纳法的步骤证明,由n=k到n=k+1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化.【证明】(1)当n=2时,1+=2-=,不等式成立,(2)假设当n=k(k2,kN*)时不等式成立,即1+2-,当n=k+1时,1
8、+2-+2-+=2-+-=2-,所以当n=k+1时不等式成立.由(1),(2)知原不等式在n2,nN*时均成立.【拓展探究】将本题所证明的不等式改为:1+1),如何证明?【证明】(1)当n=2时,左边=1+,右边=2,左边1,kN*)时,不等式成立,即1+k,则当n=k+1时,有1+k+0(nN*),(1)求a1,a2,a3的值,并猜想数列an的通项公式.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【解析】(1)由2Sn=+n得当n=1时,2a1=+1,所以a1=1.当n=2时,2S2=+2,所以a2=2.当n=3时,2S3=+3,所以a3=3.猜想:数列an的通项公式为an=n.(2)当n=1时,
9、a1=1满足2S1=+1,所以an=n成立.假设n=k(k1,kN*)时,ak=k成立,则当n=k+1时,2Sk+1=+k+1.所以2(a1+a2+ak+ak+1)=+k+1,2(1+2+3+k+ak+1)=+k+1,2+2ak+1=+k+1,整理得-2ak+1+(k+1)(1-k)=0,即ak+1-(k+1)ak+1-(1-k)=0.因为an0,所以ak+1=k+1,所以当n=k+1时,等式成立.由知对nN*,an=n成立.【拓展延伸】“观察归纳猜想证明”模式的题目的解法(1)观察:由已知条件写出前几项.(2)归纳:找出前几项的规律,找到项与项数的关系.(3)猜想:猜想出通项公式.(4)证明
10、:用数学归纳法证明猜想的形式,因为猜想不一定正确,所以要通过数学归纳法给出证明.【能力挑战题】等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=tx+r(t0且t1,t,r均为常数)的图象上.(1)求r的值.(2)当t=2时,记bn=2(log2an+1)(nN*),证明:对任意的nN*,不等式成立.【解析】(1)由题意:Sn=tn+r,当n2时,Sn-1=tn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=tn-1(t-1),由于t0且t1,所以n2时,an是以t为公比的等比数列.又a1=t+r,a2=t(t-1),=t,即=t,解得r=-1.(2)当t=2时,由(1)知an=
11、2n-1,因此bn=2n(nN*),所证不等式为.当n=1时,左式=,右式=.左式右式,所以结论成立,假设当n=k(kN*)时结论成立,即,则当n=k+1时,=.要证当n=k+1时结论成立,只需证,即证,由基本不等式=成立,故成立,所以当n=k+1时,结论成立.由可知,nN*时,不等式成立.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间- 7 -
