Witt型与Virasoro型Lie双代数的对偶

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1、宋光艾等:witt型与Virasoro型Lie双代数的对偶 2 预备知识 若无特别说明,本文中用F记特征为零的代数闭域所有的向量空间假定是域上的用z,z 和N分别记整数集、非负整数集和正整数集首先回顾一下Lie双代数的相关概念,更详细的内容参 见文献【1,15】 定义21 (1)称三元组( , 】, )为一个Lie双代数,如果满足 (i)(L, )是Lie代数; (ii)(L, )是Lie余代数; (iii) ,Y=X ( )一Y5(x)对所有的X,YL, 这里 (Y Z)=X,YO z+Y X, 】对于X,Y, L (2)Lie双代数( , 】, )称为上边缘的,如果 是上边缘的,即存在rL

2、L记为r=r r21 使得 ( )=zr,对所有的 L成立 (3)一个上边缘的Lie双代数( , 】, )称为三角的,如果r满足经典的Yang-Baxter方程 (CYBE), c(r)=r12,r13】+r12,r23+r13,r23=0, (21) 这里f12=r 】 r o 1,rl3=r 1 r【2】r23=r 1 r 是 ( ) ( )o ( )中的元 素,U(L)是Lie代数 的普遍包络代数 称Lie双代数(g, , )和(g , , )是一对偶对,如果它们的双代数关系为 (If,hi ,)=(f h, ),( , 叩)=(f, ,叩), f,hg ,叩g, (22) 这里(,)是

3、定义在g g上的非退化双线性型,它自然的扩张成(g g )(g g)上的非退化双线 性型特别地,如果作为向量空间g =g,则称为自对偶的Lie双代数 命题22 f。】 令(g,】, )为有限维的Lie双代数,则由对偶性知,其线性对偶空间 g :=Hom(0,) 也是Lie双代数,即(g , 】 , )是由(22)定义的Lie双代数,此时,g =g 特别地,g和g 是一对 偶对 因此,有限维的Lie双代数(g,】, )总是自对偶的,因为存在向量空间g g 的同构,将g 上 的Lie双代数结构拉回到g上,得到g上的另一种Lie双代数结构,如此一来,它就是自对偶的而与 有限维的情况形成鲜明对比的是,

4、无限维Lie双代数一般不是白对偶的 为方便起见,作如下约定,用 记Lie代数(g, )的方括号运算,视其为线性映射 :g gg 令 :g _(g g) 为 的对偶映射 定义23 f 】令(g, )为定义在域F上的Lie代数称g 的一个子空间 是g 的一个好子空 间,如果满足 ( )c V 记 =f I 是g 的好子空间,则 g。= (23) V搋 也是g 的一个好子空间,显然也是g 的最大好子空间 命题24 IS对于g 的任意一个好子空间V,二元组( )是一个Lie余代数特别地,(g。, ) 是一个Lie余代数 1094 中国科学:数学第43卷第11期 显然,若g是有限维的Lie代数,必有g。

5、=g 然而,若g是无限维的Lie代数,则一般情况下有 g。C g 对于任意的Lie代数g,对偶空间g 有自然的右g一模结构,其定义如下:对于,g , g, (厂- )( )=,( , 】), V g 记fg=spany I g),g中的元素在,上的平移作用作成的空间 我们归纳文献2-5中的某些结果如下: 命题25令g是Lie代数,则 (1)g。=,g I,g是有限维的) (2)g。=( ) (g g ),是g 0 g 在g 中的原像 对于结合代数来说,也可以类似给出好子空间的概念在下面两节的内容中,本文将对某些结合 代数或Lie代数,探讨g。的结构 3 , 一 。的结构 令( , ,叼)是具有

6、单位元的结合F一代数,这里 和叩分别表示它的乘法运算 : 4_ 和 单位叩:F- ,满足 O(id 0 )= O( 0 id): 0 _ , (叩 id)(k 0 n)=(id 0叩)(0 0后):F圆 F 对于任意的 F,n,b,C 成立而余结合的余代数是三元组(C,A,E),它可以由反转结合代数定 义中的箭头方向得到,即:c_C 和e:_C分别表示 的余乘法和余单位,满足 ( id)O A=(id A)O A:CC O , (E id)O=(id E)O A: -c C_F c C F c 对于任意的向量空间 ,存在一个自然的嵌入映射P: _( ) ,其定义为P(Y,9)(n,b) =(厂

7、,0)(9,b)对所有的厂,9 ,0,b, 成立在 是有限维的情形,P是同构映射对于任意代 数( , ),其乘法为 : 0 ,它自然诱导一个映射 : -+ ) 若 是有限维的,则同 构P确保( , ,E )是余代数,为简便起见,用 记复合映射: ( ) o 但是, 如果 是无限维的,其情形就不同了 令 =F 】(相应地,F ,X-1)表示关于一个变元 的多项式(相应地,Laurent多项式)代数 作为向量空间,我们有 = (相应地,F E-1】)j它是由关于 (相应地, ,C- )的形式幂级数 构成的向量空间,其中E 表示 i的对偶元素,即( , ):= (xJ)= , ,t,Jz+(相应地,

8、t,Jz) 这样一来,对于任意的l厂=t (可以是无限和)和任意的9=j9jz3 (有限和),有 (,9)= )= (Ei,9)= ( , )=五夕J ( ):,j9J, (31) i i,j i,j j 等式的右边是有限项的和 我们将文献12】的结果归纳如下 1095 宋光艾等:Witt型与Virasoro型Lie双代数的对偶 命题31 I12】 对于任意的厂= 0 F 】,五F, fF 。兮 rN使得 :hi,nl+ 2 一2+ ,n一 , 对于某些特定的ht,以及所有的nr成立 下面将上述结果推广到Laurent多项式F X- 的情形 定理32 对于任意的厂= 一o。 E F , E F

9、, f ,X-1。铮 rN使得=hi 一1+h2 一2+ 厶一 , (32) (33) 对某些特定的hi,以及所有的nz成立 证明 注意到F 】是一个主理想环令厂Fix,X-1】。,由文献16知,Ker(y)D I,其中 是F , 的一个余维数有限的理想因而,一定存在多项式 ( )= 一hi r_。一h Flz1, rN,hi E F使得 =( ( )因此,对于佗E z,有Xr-rh(X)E I Ker(y),故有厂( n-T ( )=0,即 3 一hin一1 h2 一2 +h 一 假定=hi,n一1+h2厶一2+ 厶一 ,对任意的nz成立令 ( ): rhi r_。一h , 则y(xn-7(

10、 )=0,而理想I=( ( )是F , 】的一个余维数有限的理想,并且满足I C Ker(S) 由命题25矢口,厂F ,X-1。 口 注33 注意到F 。与Fx,X-1】。有着根本的区别由(32)容易看出,每一个关于的多项式 都包含在Fix。之中,即F【E1 c 。实际上,可以证明Fix。是一个由零不是有理函数厂( )奇异点 的关于的有理多项式组成的F 】的子空间,即 = F )0) 但是,由(33)可得,若0, ,X-1 则对任意的NN,存在 N和Jr成立 反之,假定l厂()= 0 F 。使得厶= 1一1+ 2,n一2+ ,n一 ,对所有的礼r 成立令 且 0=一1,则,(E)= 口 称序列

11、厶) 一。为一个递归序列,如果满足厶:hi 一1+ 2,n一2+ 厶一 ,对所有的nz 成立满足递归关系的最小值厂称为该递归序列的秩为方便起见,称形式幂级数厂= 一o。,n 为递归幂级数,如果序列厶) 一。是一个递归序列 = 9 中国科学:数学第43卷第儿期 域F上的余代数c称为不可约的,如果 的任意两个非零的子余代数的交都是非零的 的一 个子余代数称为C的一个不可约分支,如果它是 的一个最大的不可约子余代数 命题3416 若 是余交换的余代数,则C可以表示成它的不可约分支的直和 令A=F X 1(或F )对于nF,令L是 中由(Xa)生成的理想,则U=厶1 0aF) (或 =厶l aF)是

12、的由最大理想组成的集合由文献【16知, :=,A l,(厶)=0)是 。 的单的子余代数对于nN,记厶 :( n) )由此,我们得到一4的一个理想链 厶 厶。)3厶t 3 因为每个理想L 都是 的余维数有限的理想,我们有 l C I CC I C 这是 的一个子余代数链记 。 U 珐, n=0 。 则 是 。的最大的不可约子余代数利用类似于文献f91的技巧,我们有定理35 定理35令 如上定义若A=F X-1,则A。=0。F Sa;若A= ,则A。=0 F 证明 我们将对情形A=i , -11给予证明,其他情况类似对于0aF, 显然是 的 最大不可约子余代数若存在a,b E,ab,使得 nSb

13、0,则该交集一定包含 。的一个单的子 余代数因为 是 的唯一的一个单子余代数,必有 c Sa n 同理可得, cn ,因此, =计,与ab矛盾故该和是直和因为 。的不可约直和分支和 的余维数有限的最大理想之 间是一一对应的,由此我们知道, ,0a跑遍了一4o的所有不可约直和分支 口 4 Witt型Lie双代数的对偶 令(g, , )是Lie双代数, :g (g g) 是 的对偶映射由命题24, 诱导的映射 。:= 1g。:g。 g。 g。,使得(g。, 。)为Lie余代数由文献13,命题3知,映射 :g g q(g g) S g 诱导的映射 。:= 。:g。 g。_g。,使得(g。, 。)为L

14、ie代数由此得到的Lie双代数(g。, 。, 。) 称为(g, , )的对偶Lie双代数 约定41 在不引起混淆的情况下,我们将用 】记g或g。中的方括号运算,即 1= 或 。, 并且用记g或0。中的余方括号运算,即= 或 。 若g是无限维的Lie代数,至今仍没有一个有效的方法来描述g。的结构然而,如果Lie代数g是 一个由某些结合代数诱导的Lie代数(在(41)意义下),就有可能利用结合代数的对偶理论来描述g。 为此,令(A, )是交换的结合的F一代数,其乘法运算为 令aDerF( ),为 的一个导子由此, 我们就得到一个定义在空间 上的Lie代数,记为 8,其方括号运算定义为 id aa

15、0 id,即【a,b】=aO(b)一 (o)6对所有的a,bA (41) 如此得到的Lie代数 a通常称为Witt一型Lie代数191 。 1097 宋光艾等:Witt型与Virasoro型Lie双代数的对偶 对于Lie代数 a来说,有两种自然的方法在 的某些子空间上构造Lie余代数,把用这两种方 法得到的Lie余代数分别记为(Ao)。和( )8。 (1)Lie余代数(Ao)。是由(23)(参见命题24)定义的,其余方括号记为8,定义为 Ao(f)=( (id 0一a id) (f)=(id 00 id) (f),f(Ao)。 (2)Lie余代数( 。)a。是定义在空问 。上的,其余方括号记为a。,是通过对余代数诱导得到 的,即 Ao。(f):(id 0。一0。 id) 。(,), f

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