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1、提纲,不确定关系的物理表述及物理意义,18-6 不确定关系, 自由粒子的波函数,18-7 波函数, 波函数的统计解释, 态的叠加原理, 电子单缝衍射,不确定关系的应用,18-5 物质波（复习）, 物质波的提出, 物质波的实验验证, 自由粒子的薛定谔方程,18-8 薛定谔方程,作业：18-23、25、27,18-5 物质波(复习上讲）, 物质波的提出,在宏观上，如飞行的子弹m=10-2Kg，速度V=5.0102m/s 对应的德布罗意波长为：,在微观上，如电子m=9.110-31Kg，速度V=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为：,太小测不到！,德布罗意提出：把原子定态与驻波联系起来，即把能
2、量 量子化与有限空间驻波的波长和频率联系起来。如电子 绕原子一周，驻波应衔接，所以圆周长应等于波长的整 数倍。,再根据德布罗意关系,得出角动量量子化条件,德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。 光速c是个“大”常数；普朗克常数是个“小”常数。, 物质波的实验验证,戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶， 电子束被散射。,A,其强度分布可用德布罗意关系和 衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。,当加速电压U=54伏，加速电子的能量eU=mv2/2，,电子的德布罗意波长：,再由X射线实验测得镍单晶的晶格常数 求得满足相干条件的角度：,理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引
3、， 在晶体中的波长比在真空中稍小（动量稍大）。经 修正后，理论值与实验结果完全符合。,电子不仅在反射时有衍射现象， 汤姆逊实验证明了电子在穿过 金属片后也象X 射线一样产生 衍射现象。,电子的衍射实验 证明了德布罗意 关系的正确性。,戴维逊和汤姆逊因验证 电子的波动性分享1937 年的物理学诺贝尔奖金,由于电子波长比可见光波长小10-310-5数量级， 从而可大大提高电子显微镜的分辨率。,我国已制成80万倍的电子显微镜， 分辨率为14.4nm.n， 能分辨大个 分子有着广泛的应用前景。,1993年，观测到“量子围栏”。见FPCAI软件,FPCAI,18-6 不确定关系,不确定关系的物理表述及物
4、理意义,x表示粒子在x方向上的位置的不确定 范围，px表示在x方向上动量的不确定 范围，其乘积不得小于一个常数。,若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间为 无限长， t= 。,1927年海森堡提出了不确定关系，它是自然界的 客观规律不是测量技术和主观能力的问题。是量 子理论中的一个重要概念。,例如：小球质量m=10-3千克，速度V=10-1米/秒 x=10-6米，则：,因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的 不确定性远在实验的测量精度之内。,例如：电子质量me=9.110-31千克，在原子中电子的 x10-10米，则：,结果表明：原子中电子速度的不确定量与
5、速度本身 的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可 用不确定关系具体说明。, 电子单缝衍射,例如：在示波管中电子的x10-4米，V107米则：,可见,这时可认为电子的位置和动量能同时确定，电子 具有确定的轨道，可用经典理论来描述。,电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性， 并验证了不确定关系。,根据单缝衍射公式半角宽：,电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少：,电子通过单缝位置的不确定范围,代入德布罗意关系： 得出：,上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的 量值关系。量子力学严格证明给出：,不确定关系的应用,在原子尺度内， 是个良好的近似。, 估算氢原子可能具有的最低能量,电子
6、束缚在半径为r 的球内，所以,按不确定关系,当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：,代入上式得：,基态能应满足：,由此得出基态氢原子半径：,基态氢原子的能量：,与波尔理论结果一致。,本例还说明：量子体系有所谓的零点能。,因为若束缚态动能为零，即速度的不确定 范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大， 即不被束缚。这与事实相左。, 解释谱线的自然宽度,原子中某激发态的平均寿命为,普朗克 能量子假说,不确定关系,谱线的 自然宽度,它能解释谱线的自然宽度,18-7 波函数, 自由粒子的波函数,一个自由粒子有动能E和动量P。对应的德布罗意 波具有频率和波长：,或者用角频率和波矢量表示：,单色平面波的
7、复数形式为：,称它为在坐标表象中动量为 的本征态。, 波函数的统计解释,用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一,波函数模的平方 代表时刻 ，在 处 粒子出现的几率密度。,时刻 粒子出现在 附近 体积内的几率为：,波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅 （几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态,电子衍射表明的波粒两象性，可用波函数解释。,波函数必须满足以下几个条件：,单值、连续、有限、归一化,连续可微，且一阶导数也连续可微,若一个未归一化的波函数 其归一化的形式的 ，它们描述同一个微观状态，则归一化系数：, 态的叠加原理,用电子双缝衍射说明量子力学中态的叠加导致 了在叠加态下观测
8、结果的不确定性。,当双缝同时打开时， 一个电子同时处在 1态和2态。双缝 同时诱导的状态是 它们的线性组合态。,单缝1使通过它 的电子处于1态； 单缝2使其处于 2态。,处于两态的几率分别为：,因为,第三项称为相干项。,量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测 结果的不确定性，出现了干涉图样。,它是由微观粒子波粒两象性所决定的。,处于两态的几率分别为：,双缝同时打开时，电子的几率分布为：,例题18-3 设粒子在一维空间运动，其 状态可用波函数描述为：,其中A为任意常数，E和b均为确定的常数,求：归一化的波函数；几率密度W？,即：,由此可求出归一化的波函数和几率密度,几率密度为：,如图所示，在区间 （b/2,b/2)以外找 不到粒子。在x=0 处找到粒子的几率 最大。,18-8 薛定谔方程, 自由粒子的薛定谔方程,在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数 来描写，状态随时间的变化遵循着一定的规律。,1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理 的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的 又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。,一个动能为E和动量为 ，即波矢为 的自由粒子，在坐标表象的波函数：,显然，对波函数时间、空间求导可得出：,定义算符：,则得：,自由粒子的能量：,
