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1、, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十四讲 函数项级数、幂级数,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等
2、函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。,第三章 函数的极限与连续性,第六节 幂 级 数,一. 函数项级数,二. 幂级数及其敛散性,三. 幂级数的运算,1. 函数项级数的定义,设有一函数序列,为定义在区间 I 上的函数项级数.,一、函数项级数,可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数,2. 函数项级数的敛散性,的收敛点 .,的发散点 .,它的收敛域, 记为 D .,它的发散域 .,3. 函数项级数的和函数,为函数项级数的和函数.,称函数项级数的前 n 项之和为其部分和：,均可写出其部分和.,4. 函数项级数敛散性
3、判别,可以适当地运用常数项级数的敛散性,判别法, 判别函数项级数的敛散性.,特别注意比较判别法的应用.,并求其收敛域.,即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.,的敛散性, 并求其收敛域.,这是等比级数.,故该级数的收敛域为:,在级数一致收敛的条件下, 以上两个问题的,答案是: 肯定成立 .,5. 函数项级数的一致收敛性,一致收敛性的定义,由于函数项级数的部分和函数以及和函数都是定义在收敛域 D 上的函数, 故可以运用函数极限中的柯西准则来判别函数项级数的一致收敛性.,请看书中的柯西收敛原理!,魏尔斯特拉斯利用正项级数的比较判别法创建了一个十分有用和十分重要的一致收敛判别法魏尔斯特拉斯判别法.,魏
4、尔斯特拉斯判别法,形如,的级数称为幂级数, 其中,称为幂级数的系数.,1. 幂级数的定义,二. 幂级数及其敛散性,幂级数的一般形式为,当幂级数收敛时, 由,可知, 不论“和函数”多么复杂, 我们可以用多项,式来近似它. 当 n 的值充分大时, 这种代替可达,到相当的精度.,2. 幂级数的敛散性,首先进行分析：,则由收敛的必要条件 , 有,而有极限的量必有界 , 故,它是收敛的,结论:,（,）,以上分析结论的图示:,（,）,不怎么样,则由上面的分析可知, 所有满足,这与假设矛盾. 该矛盾说明: 当,原级数发散 .,由以上的分析发现：,既有,收敛点, 又有发散点, 则从坐标原点开始沿数,轴往右(左
5、)走, 最初只可能遇到它的收敛点 ,然后就会只遇到它的发散点, 这两部分的分界,是关于坐标原点对称的, 幂级数在分,界点处可能收敛, 也可能发散.,现将以上的分析用图表示出来.,（,）,幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间,内收敛, 在此区间外发散 , 在区间端,点处幂级数可能收敛 , 也可能发散 .,当幂级数仅在,阿贝尔定理,幂级数敛散性定理,都存在一个非负,幂级数的收敛半径,我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数,的收敛半径.,求收敛半径的定理,你能证明吗?,有点像达朗贝尔判别法？,由达朗贝尔判别法：,讨,论,要,故此时幂级数发散, 仅当,综上所述, 得:,谁的收敛半径？,由交错级数判别法, 可知此时级数收敛.,由级数收敛的必要条件, 可知,综上所述,这是一个缺项的幂级数, 不能直接运用求幂,级数收敛半径的计算公式. 今后遇到这类级数应,该按照函数项级数的情形处理, 通常是采用达朗,贝尔判别法.,幂级数的运算,幂级数的四则运算,幂级数的解析运算,三. 幂级数的运算,幂级数的四则运算,设有两个幂级数,则有以下运算规则,1. 加、减法,2. 乘 法 ( 对角线法 ),就是说, 在两个幂级数的公共收敛区间上可以像多项式那样进行加、减、乘的运算.,由收敛的必要条件知原级数发散.,
