群论-群论与量子力学

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1、物理学中的群论物理学中的群论 群论与量子力学群论与量子力学 主讲翦知渐 群论-群论与量子力学 第五章群论与量子力学第五章群论与量子力学 量子力学中的群论应用量子力学中的群论应用 5.1 哈密顿算符群和相关定理 量子力学中的群论应用量子力学中的群论应用 哈密顿算符群和相关定 5 2微扰引起的能级分裂5.2 微扰引起的能级分裂 5.3 久期行列式的块对角化 5.4 矩阵元定理与选择定则 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 5.1哈密顿算符群和相关定理 量子体系对称性的表达 量子体系的许多内在性质与其对称性是联系在一起的 通过剖析量子体系的对称群，可以将量子力学的许多问题 1哈密顿算符群

2、通过剖析量子体系的对称群，可以将量子力学的许多问题 用群论来处理 1哈密顿算符群 ? 哈密顿算符的对称性哈密顿算符的对称性：设 (r)为哈密顿算符，g为同一坐哈密顿算符的对称性哈密顿算符的对称性：设 (r)为哈密顿算符，g为同坐 标中的线性变换，Pg为与之对应的函数变换算符： P f(r) = f(g-1r)，Pgf(r) f(g r)， f(r)为任意函数，有 ( )( )( )( )()()()( ) 11 HfP P HfP H gf gP H gPf=rrrrrrrr 故有（因f(r)为任意函数） ( )( )( )( )()()()( ) 11 ggg gg HfP P HfP H

3、gf gP H gPf rrrrrrrr ( )() ( )() 1 g g HP H gP =rr 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 若坐标经过变换g作用后哈密顿算符的形式不变若坐标经过变换g作用后，哈密顿算符的形式不变 即：假定r = gr，而有 (gr) = (r) = (r) ，则可得 ( )( ) HP HP 即当哈密顿算符(r)在函数变换算符 的作用下不变时，则(r) ( )( ) 1 g g HP HP =rr 即当哈密顿算符(r)在函数变换算符 的作用下不变时，则(r) 与Pg对易对易： 0H P 例如氢原子的哈密顿算符在绕过原点的任意轴转动时保持 ,0 g H P

4、= 例如，氢原子的哈密顿算符在绕过原点的任意轴转动时保持 不变，但在平移变换下会发生改变； 晶体的单电子哈密顿算符，在周期性平移算符作用下不变 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 ? 哈密顿算符群哈密顿算符群? 哈密顿算符群哈密顿算符群 定义定义5.1 所有保持一个系统的哈密顿算符 (r)不变的变换 g组成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符的对称群哈密顿算符的对称群，g成的集合构成个群称为该哈密顿算符的对称群哈密顿算符的对称群 或薛定谔方程的对称群： ()( ) | H Gg H gH=rr 很容易证明这确实是一个群。 ()( ) | H Gg H gHrr 1) 存在逆元：?gGH

5、，有 令r = gr则r= g-1r代入得 ()( ) H gH=rr 令r = gr，则r= g r，代入得 ，故g -1GH 2) 封闭性：?g g G有 ( ) 1 ()H gH =rr 2) 封闭性：?g ,g GH，有 3) 结合律和单位元 ()()( )()( ) 11 1 gg gg H ggPH gPPHPH gH =rrrrr 3) 结合律和单位元 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 定义定义5 2 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合定义定义5.2 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合 构成群，称为哈密顿算符群哈密顿算符群或薛定谔方程群薛定谔方程群

6、，记为： PG= Pg| gGH 。 G g | g H 函数变换算符集Pg与g是一一对应的，也保持同态关系， 所以构成个群而且与同构所以Pg构成一个群，而且Pg 与g 同构 这个群中的任意元素与哈密顿算符对易对易这个群中的任意元素与哈密顿算符对易对易 ? 哈密顿算符的本征函数与基函数哈密顿算符的本征函数与基函数 以下三个定理揭示了群的表示理论与量子力学的内在联系。 定理定理5.1 哈密顿算符 的具有相同本征能量的本征函数，构 成薛定谔方程群表示的基函数成薛定谔方程群表示的基函数 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 证明：设哈密顿算符 的本征能量E 为l重简并证明：设哈密顿算符 的本

7、征能量En为l重简并 则存在l个线性无关的本征函数i，(i = 1，2，l)，以它们以它们则存在 个线性无关的本征函数i()以它们以它们 为基构成复数域上的线性空间为基构成复数域上的线性空间，记为WH 可以证明W 为哈密顿算符群的表示空间可以证明WH为哈密顿算符群的表示空间 ?PgPG，有Pg (r)i(r) = PgEni(r) 由Pg = Pg，可得： (r)P i(r) = E P i(r)，(r)Pgi(r) EnPgi(r)， 这说明Pgi(r)仍旧为本征值En的本征函数Wigner定理 因此以用 个基数展即因此Pgi(r)可以用l个基函数展开，即 ( )( )( ) l PD rr

8、( )( ) 1 ( ) gijij j PDg = = rr 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 上式确定了l2个D(g)即组成了一个方阵D(g)上式确定了l2个Dmn(g)，即组成了个方阵D(g) 这样得到的矩阵群 D(g)是薛定谔方程群的一个表示样得到的矩阵群(g)是薛定谔方程群的个表示 只要证明矩阵乘法的同态关系即可：若PsPt= Pst，则 易证D(s)D(t) = D(st) 易证 l个基矢张成的本征函数空间可以作为哈密顿算符群的表示l个基矢张成的本征函数空间可以作为哈密顿算符群的表示 空间，它们生成了群表示D(g)，本征函数i(i = 1，2， l)，为表示空间的基函数

9、) 因此，在不知道能量本征值的具体数值时，我们可以利用 系统的对称性来确定能级的简并度及本征函数的变换性质。 注意：群G的不可约表示的基函数不一定就是哈密顿量的本 征函数征函数 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 定理定理5 2： 如果不存在偶然简并构成哈密顿算符群不可约不可约定理定理5.2： 如果不存在偶然简并，构成哈密顿算符群不可约不可约 表示表示的 的本征函数属于同一能级。 证明：使用反证法。 设 (r)的l个本征函数i () (i = 1，2，l)，构成哈密顿算符 群的第个不可约表示 1) 假定i () (i = 1,2，l ) 分属于l个不同的能级 (12l)则有Ei(i

10、= 1，2，l)，则有： (r)i () (r) = Eii () (r)， 两边以P 作用（P P ）有两边以Pg作用（PgPG），有 Pg (r)i () (r) = EiPgi () (r) = 而 ( ) ()() 1 ( ) l ijij j EDg = r 而 Pg (r)i () = (r)Pgi() j l l =( ) ()() 1 ( ) jij j HDg = r( ) ()() 1 jijj j Dg E = 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 即： ( )( ) ()()()() ( ) ll EDgDg E r 即： 上式两边乘以k()*，并对整个空间积分

11、，利用基函数的正交性 ( )( ) ()()()() 11 ( ) ijijjijj jj EDgDg E = = r 上式两边乘以k，并对整个空间积分，利用基函数的正交性 可得： EiDki()(g) = EkDki()(g)，即 (Ei- Ek) Dki()(g) = 0 iki (g) kki (g)( ik)ki (g) 由于Ei Ek，故Dki()(g) = 0，即D ()(g)为对角矩阵是可约 表示与假设矛盾 故i ()基函数不可能分属于l个不同本征值 2) 若该l个不可约表示基函数分属于个不同的能级同样有2) 若该l个不可约表示基函数分属于 m个不同的能级，同样有 (Ei- Ek

12、) Dki()(g) = 0 它说明矩阵D()(g)为包含m个子矩阵的块对角矩阵因而是可它说明矩阵D()(g)为包含m个子矩阵的块对角矩阵，因而是可 约表示，与假设矛盾与假设矛盾。 由1)和2)，构成哈密顿算符群不可约表示的基函数属同一能级同一能级 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 ? 也可以这样来表述定理5 2? 也可以这样来表述定理5.2： 设某一能级En的简并度是 f，则存在f 个简并本征函数ni，i=1， 2，f，它们可以生成一个f 维的不可约表示2，f，它们可以生成个f 维的不可约表示 为什么表示不可约？ 假如将所有的Pg作用于某个本征函数ni上，得到m个独立的函 数，则

13、 m不能大于f否则与能级是f度简并矛盾m不能大于f，否则与能级是f度简并矛盾； m也不能小于f，否则说明除了g之外还有某个变换h，使得m也不能小于f，否则说明除了g之外还有某个变换h，使得 Phni也是属于能级En的本征函数，而且与以上获得的m个独立 函数是线性无关的，这样h也是体系的一个对称变换，而且 这与体系的全称群矛盾h?g，这与g是体系的全对称群矛盾 所以i=1 2f构成的表示空间没有不变子空间没有不变子空间不可约所以ni, i=1, 2, f构成的表示空间没有不变子空间没有不变子空间：不可约 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 ? 必然简并和偶然简并必然简并和偶然简并：?

14、必然简并和偶然简并必然简并和偶然简并： 必然简并必然简并：由对称性引起的简并称为必然简并，又称为正则简 并，必然简并波函数给出哈密顿群的不可约不可约表示表示；并然简并波函数给顿群表示表示 偶然简并偶然简并：由非对称性因素引起的简并称为偶然简并，偶然简 并波函数给出哈密顿群的可约表示可约表示并波函数给出哈密顿群的可约表示可约表示 例如能级在磁场下产生分裂：例如，能级在磁场下产生分裂： 4) 1)2) 3) 4) 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 1) 无磁场条件下费米子（电子）的两个能级AB上的费米1) 无磁场条件下，费米子（电子）的两个能级A，B上的费米 子可取上、下两个方向，对应

15、两个简并波函数，而能量相同， 这种能级简并是由系统的对称性决定的。为必然简并， 对应种能级简并是由系统的对称性决定的为然简并对应 不可约表示A和B。 加磁场后系统对称性被破坏对称性被破坏费米子取向不同时具有不同能2) 加磁场后系统对称性被破坏对称性被破坏，费米子取向不同时具有不同能 量，能级发生分裂。系统对称性降低导致能级分裂。 3) 随磁场强度变化，A2、B1两能级重叠发生偶然简并。 4) P点为偶然简并点，对应的表示为A2?B1，随着磁场的变化， 偶然简并将会消失，在过程中系统对称性没有发生变化。 简并的波函数，构成不可约表示的基，代表着某种对称性； 偶然简并能级和对称性无关但也许代表着某种未知对称性偶然简并能级，和对称性无关，但也许代表着某种未知对称性 群论-群论与量子力学-哈密顿算符群和相关定理 定理定理5 3 设 (r) (i = 12l )为哈密顿算符群P 表示的基定理定理5.3 设i(r) (i = 1，2，l )为哈密顿算符群PG表示的基， 则以 i(r) (i = 1，2，l )和i(r) (i = 1，2，l )i( ) ()和i( ) () 为基函数得到的群