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1、第三节 梁横截面上的正应力和梁的正应力强度条件,2010.10,工程实例,工程实例,工程实例,工程实例,工程实例,工程实例,工程实例,6-3 梁横截面上的正应力和梁的正应力强度条件,在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时 ， 要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 FS 。,只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩,只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力,所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力,一、纯弯曲正应力公式,推导过程演示,I、试验与假设,假设
2、,平截面假设,单向受力假设,中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。 中性轴：横截面与中性层的交线。,1.几何条件,2.物理条件(虎克定律),3.静力学条件,中性轴通过截面形心,梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：,抗弯截面模量。,4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：,距中性层y处的应力,5.横截面上正应力的画法：,线弹性范围正应力小于比例极限sp； 精确适用于纯弯曲梁； 对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。,6.公式适用范围：,1.矩形截面,三种典型截面对中性轴的惯性矩,2.实心圆截面
3、,3.截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:,弯曲正应力分布,弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲最大正应力,二、横力弯曲正应力,例6-18 图示矩形截面悬臂梁，承受均布载荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm。b=20mm，h=30mm。试求B截面上c、d两点的正应力。,解：（1）求B截面上的弯矩,（2）求B截面上c、d处的正应力,例619求图示铸铁悬臂梁内最大拉应力及最大压应力。F=20KN，Iz=10200cm4。,解：1、画弯矩图，确定危险面。,2、确定危险点，计算最大拉应
4、力与最大压应力。,弯矩图看出，A、B两截面均可能为危险面。,梁内最大拉应力发生在A截面下边缘各点处，其值为：,对A、B两截面，需经计算，才能得知哪个截面上的最大压应力更大：,习题 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax 和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa 。,解：1、作弯矩图如上，,2、查型钢表得,56号工字钢,3、求正应力为,或根据正应力沿梁高的线性分布关系的,习题 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。,解： 1确定截面形心位置 选参考坐标系zoy如图示，将截面分解
5、为I和II两部分，形心C的纵坐标为:,2计算截面惯性矩,3 计算最大弯曲正应力 截面BB的弯矩为:,在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：,习题 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）11截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。,解：画M图求截面弯矩,求应力,求曲率半径,III、梁的正应力强度条件,1.弯矩最大的截面上,2.离中性轴最远处,4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,3.变截面梁要综合考虑 与,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,例620一矩
6、形截面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m。弯曲时木材的许用正应力s10MPa，试校核该梁的强度。并求该梁能承受的最大荷载qmax。,解：1、画弯矩图。 2、校核梁的强度,梁满足强度要求。 3、求最大荷载qmax,代人数据得,例621一原起重量为50KN的单梁吊车，其跨度l=10.5m（其计算简图如图），由45a号工字钢制成。而现拟将其重量提高到Q=70KN，试校核梁的强度。若强度不够，再计算其可能承受的起重量。梁的材料为Q235钢，许用应力=140MPa；电葫芦自重G=15KN，暂不考虑梁的自重。,解：（1）做弯矩图，确定危险面,（2
7、）计算最大弯曲正应力,由型钢表查得45a号工字钢的抗弯截面模量,故梁内最大工作正应力为,（3）依据强度条件，进行强度计算 梁的最大承载能力：,因此，梁的最大起重量为61.3KN。,例622图所示外伸梁，用铸铁制成，截面为T字形。已知梁的载荷F110kN，F24kN,铸铁的许用应力st=30MPa，sC=100MPa。截面的尺寸如图所示试校核此梁。,解：作弯矩图,确定截面形心位置并计算形心轴惯性矩,B截面：,C截面：,所以，铸铁梁的拉伸强度不满足，即AB梁是不安全的。,分别校核铸铁梁的拉伸和压缩强度,例623 受均布载荷q作用的矩形截面梁AD，左端铰支，B处由直径为d的圆杆BC悬吊，测得圆杆BC
8、的轴向线应变为501106，试求梁AD的最大弯曲正应力。已知：d10mm，E200GPa，q3.5kN/m，b=40mm，h=60mm。,解：求BC杆的内力,利用平衡方程求出B点的位置,绘制AD梁的弯矩图。 求AD梁上最大正应力为,习题 两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1P2？,解：,分析：该题的关键：两种梁的最大弯曲正应力相等且等于许用应力。,由弯曲正应力计算公式,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,习题 图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力 =160MPa，校核该梁的强度。,习题 简支梁在跨中受集中
9、载荷P=30kN，l=8m，120 MPa。试为梁选择工字钢型号。,解：,由强度条件，得,选择工字钢28a,习题 梁AC的截面为10工字钢，B点用圆钢杆BD悬挂，已知圆杆的直径d=20mm，梁及杆的=160MPa，试求许用均布载荷q。,解：由平衡条件,+,+,-,6-4 梁横截面上的切应力和梁的切应力强度条件,一、梁横截面上的切应力公式,1、公式推导：,I、矩形梁横截面上的切应力,横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等。,各点的切应力方向均与截面侧边平行。,FS横截面上的剪力,IS横截面对中性轴的惯性矩,b求应力点处的宽度,S*Z横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩,ty
10、切应力，方向与Fs相同,II、工字形梁横截面上的切应力,分母两项查表。,其他截面的切应力最大值，一般也在中性轴处。,工字钢截面切应力公式推导,III、薄壁环形截面梁,横截面上切应力的大小沿 壁厚无变化。,切应力的方向与圆周相切。,图 5-7 为一段薄壁环形截面梁。环壁厚度为 ,环的平均半径为r0，由于 r0 故可假设,式中,A=2r0为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生 中性轴上，其值为,VI、圆截面梁,式中,为圆截面的面积,最大切应力发生在中性轴上,假设,各点处切应力沿 y 方向的分量 沿宽度相等。,在截面边缘上各点的切应力 的方向与圆周相切。,V、等直梁横截面上最大剪应力的一般公式,
11、对于 等直梁 ，其最大剪应力tmax一定在最大剪力FSmax所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上 。全梁各横截面中最大剪应力可统一表达为,b 横截面在中性轴处的宽度, 全梁的最大剪力, 整个横截面对中性轴的惯性矩, 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩,二、梁的切应力强度条件,梁的切应力强度条件为,在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。,在选择梁的截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条件。 通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。 梁的强度大多由正应力控制，按正应力强度条件选好截面后，一般并不需要再按切应力进行强度校核。 但在以下几种特殊条件下
12、，需校核梁的切应力：,1、梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大； 2、在焊接或铆接的组合截面（如工字钢）钢梁中，当其横截面腹板部分的厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值； 3、由于木材在其顺纹方向的剪切强度较差，木梁在横力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。,例624 圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径dmin。,解：1、画出剪力图和弯矩 2、按正应力强度条件设计,，,，,3、按切应力强度条件设计,所以,例625 如图所示木梁受一可移动的荷载F40kN作用。已知s=10MPa，t=3MPa。木梁的横截面为矩形，其高宽比为
13、h:b=3:2。试选择梁的截面尺寸。,解：解除支座约束，求支座反力,任一横截面上的弯矩为,求M(x)极大值,根据弯曲正应力的强度条件,校核弯曲切应力,例6-26 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,解：,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,例6-27 T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知sy=100MPa，sL=50MPa，t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求：1)C
14、左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。,该梁满足强度要求,习题 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度q3.6kN/m梁的跨长 l=3m ,横截面为bh=120180mm2, 许用弯曲正应力s=7MPa，许用切应力t=0.9MPa, 校核梁的强度。,解：梁的正应力强度校核,最大弯矩发生在跨中截面上，其值为,梁横截面的的抗弯截面系数为,横截面上的最大正应力,梁的切应力强度校核,矩形截面的面积为,梁横截面上的最大剪应力,梁最大的剪力为,所以此木梁是安全的。,梁的合理设计,按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件,一、合理配置梁的荷载和支座,1、将荷载分散,2、合理设置
15、支座位置,二、合理选取截面形状,从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。在一般截面中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。,面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。,同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。,一根钢梁最大弯矩Mmax3.5kNm，许用应力s140MPa，它所要求的抗弯截面系数为：Wz250000mm3。如果采用圆形、矩形和工字形截面，它们所需的尺寸及其相应的比值Wz/A列于下表：,三、合理设计梁的外形（等强度梁）,梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。,各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强的。,谢谢同学们,
