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1、固体物理测试卷（3）一、 （6题，每题5分，共30分）简要回答下列问题：1. 解释费米面（Ferimi surface）【解答】绝对零度下（T=0k）,晶体中电子在k空间中占据态与未占据态的分界面。在非零温度下指电子占据几率为1/2的状态所构成的面。2. 解释布里渊区和第一布里渊区（Brillourin Zone, First Brillourin Zone）【解答】在倒格子空间，以一格点为原点，此格子与其余格点连线的垂直平分面所围成的区域称为布里渊区。其中包含原点在内的最小封闭区域（WS原胞）为第一布里渊区，与第一布里渊区连通的区域（三维时面连通，二维时线连通）为第二布里渊区。3. 试用能带
2、论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。【解答】金属或导体中的价电子没有把价带（最高填充带）填满，此为导带。绝缘体中的价电子正好把价带填满，且更高的许可带（空带）与价带间相隔较宽的禁带。半导体和绝缘体相似，但禁带较窄。4. 解释朗道能级（Landan level）【解答】在垂直与恒定磁场的平面内，电子的圆周运动对应于以一种简谐运动，其能量是量子化的：(v=1,2,3.)这些量子化的能级称为朗道能级。5. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何区别？【解答】长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的
3、不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但见到晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。6. 为什么价电子的浓度越高，电导率越高？【解答】电导是金属导电能力的量度。导电能力取决于单位时间内通过切面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附件的电子。费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多。费米球的大小取决于费米半径可见电子浓度n越高，费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。图-1二、 （15分）图B3-1表示一个由两种不同元素的原子所形成的二维层状晶体，其中
4、正三边形的边长为a。请分析并找出其基元，画出其Bravais 格子、初基元胞和W-S元胞，并写出基矢在适当直角坐标系中的表达式。【解答】基元：Bravais格子初基元胞W-S元胞基矢：！注意：从第三 .1题和第三 .2题中选做其中一个题三、 1（10分）原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附件，液体的密度为。计算费米能量和费米温度。原子的质量为。【解答】的自旋为1/2，是费米子，其质量。在密度的液体中，单位体积中的数目为:其费米能为：将n , m值带入；得到:其费米温度为：三2（10分）求出bcc Bravais 格子（110）晶面族的晶面上的格点数密度和面距离。【解答】晶 面格 点 数
5、面 密 度面 距 离bccbcc100四、 (15分)考虑晶格常数为a和c的三维简单六角晶体的第一布里渊区。令为平行于晶格c轴的最短倒格矢。（） 证明对于六角密堆积结构，晶体势场的傅里叶分量为零。（） 是否也为零？（） 为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？（） 为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？【解答】（1） 证：由教材p61(3.2.30)和（3.2.31）两式，对于基元中原子数p1的复式晶格，且由同种原子组成的基元，有：Hcp结构初基矢量的一种取法其中：是复式晶格的某一倒格矢的傅里叶分量。是同种原子组成的基元的几何结构因子。由式可知，对于复式晶格的某一倒
6、格矢，如结构因子为零，则周期势相应的傅里叶分量也为零。因此，来计算对于六角密堆积结构：六角密堆积结构的布喇菲点阵是简单六角，相应的基元包括两个同种原子，它们的坐标是，如图所示：将以上关系代入结构因子的表达式中，得：据题意，本题中 代入得:故对于六角密堆积结构，晶体势场的傅里叶分量为零。（2） 解：代入（1）问式中，得：故：不为零。（3） 对处于简单六角点阵阵点上的二价原子构成的晶体，每个单胞有两个价电子，N个单胞有2N个价电子，刚好可以填满第一布里渊区（一个能带），故原则上可以形成绝缘体（如果没有能带交迭）。（4） 对于单价原子的六角密堆积结构，虽然每个单胞也有两个价电子，N个单胞有2N个价电
7、子，但由于第一布里渊区一个边界面上能隙消失，和第二布里渊区连通，形成一个复合区，可以容纳4N个电子，2N个电子只能填充这个复合区的一半，于是，在外加电场下可以导电。因而单价原子的六角密堆积原则上不可能形成绝缘体。五、 （15分）用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的函数。【解答】（1） 面心立方结构晶体具有12个第一近邻，它们的格矢如下个，个，个于是其中：同理可得：由教材（3.3.10）式及（3.3.13）式可知，S态能带为：（2）体心立方结构晶体具有8个第一近邻，它们的格矢如下仿照面心立方结构的情形有：S态能带为：！注意：从第六 .1题和第六 .2题中选做其中
8、一个题六、 1（15分）计算一维单原子链的动量。应用周期性边界条件，证明波矢时，即声子不携带动量。证明：对于波矢为q,频率为的一维单原子链的格波：原子链上第n个原子的动量为: 原子链的总动量为： 式中N是原子链上的原子数。由周期性边界条件:式化为：利用公式：式化为：当时（即）时，式中的，因而有的模式是描写晶体中所有原子的相对运动的，由于每个原子有一定位相差，原子链的总动量为零，这表明声子是不携带物理动量的。六、2（15分）对于原子间距为a，由N个原子组成的一维单原子链，在德拜近似下（1） 计算晶格振动频谱；（2） 证明低温极限下，比热正比于温度T【解答】图5.4 一维单原子链德拜模型色散关系（
9、1） 按照德拜模型，格波的色散关系，即振动频谱为对于原子间距a为一维单原子链色散曲线如图示：由色散曲线的对称性可以看出，区间对应两个同样大小的波矢区间，区间对应N个振动模式，单位波矢区间对应有个振动模式。范围则包含：个振动模式则有其中是单位频率区间包含的振动模式数目，即模式密度。由式有由式有上两式联合得出将式代入，得（2） 证明：N个原子构成的一维单原子链，晶格振动总的热振动能为其中叫做模式密度，热容量作变量代换得其中在低温极限下，中的被积函数按二项式定理展开成级数则积分由此有固体物理测试卷（4）一、简要回答下列问题：（56=30）1.晶体膨胀时，费米能级如何变化？解答： 费米能级 =,其中n
10、是单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n变小，费米能级降低。2某种晶体的倒格子为体心立方结构 ，该晶体的正格子是什么结构？解答： 面心立方3简述近自由电子近似模型，方法和所得到的主要结论。解答： 考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以用势场的平均值代替离子产生的势场： =v(). 周期性势场的起伏量v()- = 作为微扰来处理。当两个由相互自由的矩阵元状态和=的零级近似能量相等时，一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大。 即 ，或者 ，在布里渊区的边界处，能量发生突变，形成一系列的能带。4.试用能带论简述导体，绝缘体，半导体
11、中电子在能带中填充的特点。解答： 金属或导体中的价电子没有把价带（最高填充带）填满，此为倒带； 绝缘体中的价电子正好把价带填满，且更高的许可带(空带)与价带间相隔较宽的禁带； 半导体和绝缘体相似，但禁带较窄。5.简要阐述固体物理中的Born-Oppenheimer近似（或绝热近似）的内容及物理依据。解答： 原子核（或原子实）质量比电子大上千倍，电子的运动比核快得多，因而可认为电子是在准静态的核构形的势场中运动。从而可把电子与核的运动分开来讨论。即固体的运动简化成相对较简单的电子运动和核的运动。6.什么是声子？解答: 晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同振动频率的模式，称为晶格振动，晶格振动能量
12、可以用声子来描述，把声子看作具有能量(), 动量的玻色子，但声子并不是真正的粒子，声子可以被激发，也可以湮灭，有相互作用时声子数不守恒。图B4-1二（15）图B41表示一个由同种元素的原子所形成的二维层状晶体，其中正六边形的边长为a，请分析并找出其基元，画出其Brawais格子，初基元胞和W-S元胞，并写出基失在适当直角坐标系中的表达式。解答： 基元Bravais格子：初基原胞：Y 2a 2a XW-S 原胞：基失： , 三，（10）求出bcc Bravais格子（110）晶面族的晶面上的格点数和面间距。解答：晶面格点数面密度面间距bccbcc100四（15）设一维晶体中的单电子势（即晶体势能场）为, na-b 0, 其中，a=4b,w为常数。（1）画出此势能曲线，计算势能的平均值；（2）根据近自由电子近似方法，求出晶体中第一个以及第二个禁带的宽度。解答： 势能曲线：V(x)0 b a 2a x由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均值即可： = =禁带宽度的表示为：=2其中是周期势场傅立叶级数的系数：第一禁带宽度为： =2 =2
