话说微积分讲义

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1、话说微积分,制作人：项晶菁,数学的核心领域是：,代数学研究数的理论； 几何学研究形的理论； 分析学沟通形与数且涉及极限运算的部分。,旧三高(高等分析、高等代数、高等几何) 数学分析权威R柯朗所指出的，“微积分乃是一种震撼人心灵的智力奋斗的结晶”。 现代微积分有时作为“数学分析”的同义语，一般来说数学分析包括微积分、函数论（突变、复变、实变）、微分方程、积分方程、变分法、泛函分析、非标准分析等 。 在古典意义下，微积分是微分学和积分学的合称。,1.1微积分的萌芽（15世纪以前）,1.1.1（公元前）东西方 1.古代中国 战国时代的庄子天下篇中，“一尺之锤，日取其半，万世不竭。” ， “至大无外，

2、谓之大一；至小无内，谓之小一，”-惠施（约公元前370公元前310） 墨经中不仅对有穷与无穷作了明确的区分，而且也有丰富的微分思想。,2.古希腊罗马,如何求圆的面积是数学对人类智慧的一次考验，也是极限诞生的种子。 大约在公元前400年古希腊人提出了三大几何难题，其中之一是“化圆为方”即指用圆规与无刻度的直尺求与一圆等面积的正方形。直到19世纪，它才被人们证明它为尺规作图不能问题。 公元前5世纪的古希腊智者安提丰与布拉森分别用圆的内接多边形以及外切正多边形的边数不断加倍的办法来接近圆的面积，他们认为圆的面积可以取作边数不断增加时他的内接和外切正多边形的面积的平均值。,对这一思想做出重大发展的是欧

3、多克斯（公元前408公元前355），相应的方法被后人称为“穷竭法”。这一方法被欧几里得记述在几何原本第12章中。 阿基米德（公元前287公元前212）对穷竭法做出了重要贡献，这位“数学之神”证明了,还算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积等。,1.1.2 十五世纪以前的东西方,我国三国时期（公元后3世纪）的数学家刘徽在九章算术的注文中，第一次把庄子中的极限思想用于算“圆天”和“弧天”的面积，创立了一种推求圆周率的方法，即“割圆术”。 刘徽先在圆内作内接正6边形S6， S6的面积不难算出。再继续算出正12边形，正24边形,。他指出：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无

4、所失矣。”这等同于现代微积分中的极限思想。他得出了徽率。 古印度的数学家，对圆却采用了类似切西瓜的方法，把圆切成许多小瓣，再把这些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。,1.2微积分的先驱工作（16世纪左右）,1.2.1圆的面积之迷的继续探寻（17世纪） 1615年出版了葡萄酒桶的立体几何一书，书中介绍了一种他独创的求面积的新方法：把圆分割成许多小扇形，不同的是他一上来就把圆分成无穷多个小扇形，因为太小了，所以小扇形又可用小等腰三角形来代替。 利用阿基米德的“穷竭法”求出387种旋转体的体积。,开普勒(德，1571-1630),意大利物理学家迦利略的学生卡瓦列里深入研究了上述求积方

5、法，认为这每一小扇形的面积到底等不等于零，就不好确定了。他想：开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？陷入深思之中的卡瓦利里从衣服的布和一本书的构造上得了启示，经过反复琢磨，提出了求面积和体积的新方法“不可分元法”，并于1635年在意大利出版了不可分量几何学一书。,1.2.2微分学的先驱工作（17世纪）,微分学主要与以下两个问题相联系： 1.求曲线在任意一点的切线； 2.求变量的极值。,1650年左右，法国数学界3巨头：罗伯瓦尔(Gilles Persone de Roberval,16021675)、费马(Pierre de Fermat,16011665)

6、、帕斯卡(Blaise Pascal,16231662)，对这两个问题作了深入的研究。 罗伯瓦尔借助合成运动速度做切线，他从运动的角度出发，将切线看作描绘这曲线的运动在这点的方向；解析几何的焦点重合时的割线；费马则从集合的角度出发，认为切线是当两个交点重合时的割线；费马还借助微小增量作切线，此外他对问题2也提出了较好的方法(即先求，再令解之即为极值点)。,费马(Pierre de Fermat,16011665)被称为“业余数学家之王“,帕斯卡(法, 1623-1662),孕育(16-17世纪) 帕斯卡(法, 1623-1662)的特征三角形,自变量的增量x与函数的增量y为直角边组成的直角三角

7、形,帕斯卡的工作：,16岁时发现了非常有名的“帕斯卡六边形原理”； 1640年出版了圆锥曲线论； 1658完成了摆线论的名著； 19岁时发明了世界第一台机械加法计算机； 23岁时推测大气压的存在，在发现了算术中的“帕斯卡三角形”； 在积分学上他用“无穷小矩形”取代了卡瓦列利的“不可分元”算出了以曲线为一边的曲边形的面积； 在微分学上，他把无穷小概念引入数学，出版了四分之一圆的正弦论（1659）。,瓦里士（John Wallis,16161703）的工作：,瓦里士是英国最富独创性的数学家之一，早年在剑桥学神学，从1649年起是牛津大学的“沙维教授”，瓦里士的算术化工作很有意义。 著作圆锥曲线论与

8、无穷小算术 第一次用符号表示无穷大，用表示无穷小或零量，并把它们与有限数同样看待，一起参加运算，他还引入了“变量极限这是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们之间的差能够小于任何给定的量。”,伊萨克巴罗(英, 1630-1677)的工作：,伊萨克巴罗的主要著作为光学和几何讲义（1669），有意义的贡献是把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来了。,特征三角形与曲线切线(1664) y/x对于决定切线的重要性,1.3微积分的诞生（17世纪后半期）,牛顿(英，1643-1727年),1661年牛顿考入了剑桥大学的三一学院，作为减费生，1664年21岁获学士学位，接着当了研究生。 16651667年

9、，伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭，牛顿回农村住了18个月。在这期间他发现了二项式定理，酝酿了微积分原理，提出了万有引力定律，也研究了光的分析。 1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学，由于他在数学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识已经超过自己，于1669年10月把“路卡斯教授”的职位让给牛顿。,主要著作有三部：运用无穷多项方程的分析学、流数法和无穷参数、自然哲学的数学原理 他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文件中，这一天可作为微积分诞生的日子。,墓志铭： 自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中。上帝说：让牛顿出世吧！于是一切都豁然明朗。 影响: 笛卡儿的几何学(1637), 沃利斯的

10、无穷算术(1656) 第一个创造性成果：二项定理(1665)及无穷级数(1666) 第一篇微积分文献: 流数简论(1666) 发表最重要的著作：自然哲学的数学原理(1687) 一些重要贡献：力学、物理学、天文学、化学、自然哲学.,牛顿(英，1643-1727年),牛顿自然哲学的数学原理1687年,牛顿(英，1643-1727年),柯特弗里德威尔赫莱布尼茨 （Gottfried Will-helm Lleibniz， 16461716），德国,1661年秋天，15岁的他考上了莱比锡大学，攻读法律专业。 由于对欧氏几何的求知欲，于1663年转入耶拿大学跟数学家厄哈德维格尔学习数学， 1666年论组

11、合的艺术 第一篇发表的微分学论文: 一种求极大与极小值和求切线的新方法(1684) 已含有现代微分符号和基本微分法则，还给出了极值的基本条件。但运算规则只含简短的叙述而没有证明，使人很难理解。,莱布尼茨(德，1646-1716),第一篇发表的积分学论文: 深奥的几何与不可分量及无限的分析(1686) 他还是历史上最杰出的符号创造家之一，他所发明的微积分符号，远远优于牛顿的符号，对微积分的发展有重大的影响，现今通用的符号等以及名称微分学和积分学都是莱布尼茨创立的。 一些重要贡献：计算机、物理学、力学、光学、地质学、化学、生物学、心理学、哲学,1697年莱布尼茨著中国新事萃编(Novissima

12、Sinica),莱布尼茨(德，1646-1716),“我们从前谁也不信这世界上有比我们的伦理更美满，立身处事之道更进步的民族存在，现在从东方的中国，给我们以一大觉醒！东西双方比较起来，我觉得在工艺技术上，彼此难分高低；关于思想理论方面，我们虽优于东方一筹，而在实践哲学方面，实在不能不承认我们相形见拙。”,发现易图结构可以用二进制数学予以解释，用二进制数学来理解古老的中国文化，收藏了关于中国的书籍50多册，200多封信件中谈到中国。第一位全面认识东方文化尤其是中国文化的西方学者。,1699年，他写出一篇论文论二进制的算术 17141716勃兰斯威克王族的族谱,1.4微积分的蓬勃发展（18世纪）,

13、在英国，英国派的代表人物有乔治贝克莱、瓦里斯、巴罗，他们之后有巴罗的学生牛顿、科林斯、格里高利，牛顿的追随者有泰勒（Brook Taylor，16851731）、麦克劳林（16981764）、托马斯辛普生。 约翰兰登（英皇家学会的会员，残差分析对导数定义提出了代表性方案之一“代数的微分学”）,微积分的发展,泰勒(英, 1685-1731),法学博士，进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会 1715年出版正和反的增量法 与约翰伯努利关于泰勒公式优先权之争,在欧洲大陆：,代表人物有被誉为法国三巨头的：罗伯瓦尔、费马、帕斯卡，更有在帕斯卡的好朋友惠更斯影响下成长起来的莱布尼茨、洛尔、莱布尼茨的

14、朋友伯努利兄弟（雅各布伯努利、约翰伯努利），之后有约翰伯努利的两个儿子（尼古拉、丹尼尔）和学生（欧拉和洛必达），以及在他们的影响下成长起来的达朗贝尔和被誉为“3L”的拉普拉斯，拉格朗日（欧拉的学生），勒让德，让他们的继承人有博里叶，泊松。 产生了常微分方程，偏微分方程，级数论等。,微积分的发展,发展(瑞)伯努利家族,雅格布伯努利 (1654-1705),雅格布伯努利 (1654-1705),17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人 1687年悬链线问题 1691年对数螺线 1694年微分学方法 1698年证明调和级数的发散性.,约翰伯努利 (1667-1748),约翰伯努利 (1667-1

15、748),1694年获医学博士学位 1691年解决悬链线问题 18世纪初分析学的重要奠基者之一 1700年左右发展了积分法 提出洛比达法则 1742年出版积分学教程.,丹尼尔伯努利 (1700-1782),丹尼尔伯努利 (1700-1782),医学博士、植物学教授、生理学教授、物理学教授、哲学教授 第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人 把微积分、微分方程应用到物理学，研究流体力学问题、物体振动和摆动问题，为数学物理方法的奠基人.,达朗贝尔 (法, 1717-1783),达朗贝尔 (法, 1717-1783),自学成才，进入巴黎科学院 “科学处于17世纪的数学时代到18世纪的力学时代，

16、力学应该是数学家的主要兴趣。” 数学分析的重要开拓者之一，其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼尔伯努利 1750年起百科全书 1760年起数学手册.,拉格朗日 (法, 1736-1813),拉格朗日 (法, 1736-1813),数学、力学和天文学中都有重大历史性贡献，分析学仅次于欧位的最大开拓者 1754年(18岁)发现莱布尼茨公式, 1755年任数学教授 1797年解析函数论 “在我看来，似乎数学矿井已挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则势必放弃它”.,1.5微积分现代形式的确立（19世纪）,一、函数概念的发展 首先有博里叶，柯西等冲破函数的解析式，之后狄利克雷，罗巴切夫斯基用对应观点给函数下了定义，最后有黎曼给出了今天的形式。,傅里叶(法, 1768-1830),热传导问题的研究和新的普遍性数学方法的创造 1822年热的解析理论