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1、. . . .高考复习专题:平面向量第1节 平面向量的概念及其线性运算向量专题复习1.向量的有关概念:(1)向量的定义:既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:.(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化:与共线的单位向量是.(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。(5)平行向量又叫共线向量,记作:.向量与共线,则有且仅有唯一一个实数,使;规定:零向量和任何向量平行;两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;(6)向量的加法和减法满足平行四
2、边形法则或三角形法则;(6)2.平面向量的坐标表示及其运算:(1)设,则;(2)设,则;(3)设、两点的坐标分别为,则=;(4)设,向量平行;(5)设两个非零向量,则,所以;(6)若,则;(7)定比分点:设点是直线上异于的任意一点,若存在一个实数,使,则叫做点分有向线段所成的比,点叫做有向线段的以定比为的定比分点;当分有向线段所成的比为,则点分有向线段所成的比为.注意:设、,分有向线段所成的比为,则, 在使用定比分点的坐标公式时,应明确,、的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比.当时,就得到线段的中点公式.的符
3、号与分点的位置之间的关系:当点在线段上时;当点在线段的延长线上时;当点在线段的反向延长线上时;3.平面向量的数量积:(1)两个向量的夹角:对于非零向量、,作,称为向量、的夹角。(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量、,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即.零向量与任一向量的数量积是0,注意:向量的数量积是一个实数,不再是一个向量。(3)在上的投影为,投影是一个实数,不一定大于0.(4)的几何意义:数量积等于与在上的投影的乘积。(5)向量数量积的应用:设两个非零向量、,其夹角为,则,当时,为直角;当时,为锐角或同向;当时,为钝角或反向;(6)向量三角不等式:当同向
4、,;当反向,;当不共线;4.平面向量的分解定理(1)平面向量分解定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数、,使成立,我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。(2)O为平面任意一点,A、B、C为平面另外三点,则A、B、C三点共线且.5.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的,它是三维空间里具有大小和方向的量,它的坐标表示有x,y,z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似,故在学习空间向量时,可进行类比学习。如,若、三个向量共面,则.同时,对于空间任意一点O,存在,其中_1_考点一:向量的概念例1给出下列四个命题:若|a|b|,则a
5、b或ab; 若,则四边形ABCD为平行四边形;若a与b同向,且|a|b|,则ab;,为实数,若ab,则a与b共线其中假命题的个数为() A1 B2 C3 D4答案D.下列说法中错误的是()A有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段B若向量a和b不共线,则a和b都是非零向量C长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D方向相反的两个非零向量必不相等 答案C例2(1)(2014金华模拟)已知两个非零向量a,b满足|ab|ab|,则下面结论正确的是() Aab Bab C|a|b| Dabab(2)(2013四川高考)如图在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,则 _.(3)(20
6、13江苏高考)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,ADAB,BEBC.若 (1,2为实数),则12的值为_答案(1)B(2)2(3)1在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若 ()A.ab B.ab C.ab D.ab 易误警示(四)平面向量线性运算中的易误点典例(2013广东高考)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解,有如下四个命题:给定向量b,总存在向量c,使abc;给定向量b和c,总存在实数和,使ab c;给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使abc;给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使abc.上述命
7、题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B下列命题中正确的是()A向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数,使baB在ABC中,C不等式|a|ab|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D向量a,b不共线,则向量ab与向量ab必不共线第二节 平面向量基本定理及坐标表示1两个向量的夹角(1) 定义:已知两个非零向量a和b,作则AOB叫做向量a与b的夹角(2)范围:向量夹角的范围是0,a与b同向时,夹角0;a与b反向时,夹角.(3)向量垂直:如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作ab.2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理:如果
8、e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得axiyj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标3平面向量的坐标运算(1)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x
9、2,y1y2);(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 (x2x1,y2y1);(3)若a(x,y),则a(x,y);(4)若a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1y2x2y1.例1在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点若其中,R,则_. 答案:在本例条件下,若试用c,d表示:如图,在ABC中,AB2,BC3,ABC60,AHBC于点H,M为AH的中点若则_.答案:1(2014福建高考)在下列向量组中,可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0),e2(1,2) Be1(1,2),e2(5,2)Ce1(3,5),e2(6,10) De1(2,3),e2
10、(2,3)解析:选B例3(1)(2013陕西高考)已知向量a(1,m),b(m,2),若ab,则实数m等于()AB. C或 D0(2)(2014丽水模拟)设向量a,b满足|a|2,b(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为_(3)(2014台州模拟)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线,则的值等于_答案(1)C(2)(4,2)(3)1(2013辽宁高考)已知点A(1,3),B(4,1),则与向量AB同方向的单位向量为()A. B. C. D.2已知向量a(m,1),b(1,2),c(1,2),若(ab)c,则m_.答案:3已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6
11、),则AC与OB的交点P的坐标为_答案:(3,3) 易误警示(五)平面向量坐标运算中的易误点用平面向量解决相关问题时,在便于建立平面直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系,可以使向量的坐标运算更简便一些典例(2013北京高考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示若cab(,R),则_.答案4答案:2第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用1平面向量数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积),记作ab.即ab|a|b|cos ,规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba;(2)(a)b(ab)a(b);(3)(ab)cacbc
12、.3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20例1(1)(2014天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,BAD120,点E,F 分别在边BC,DC上,BC3BE,DCDF.若则 的值为_(2)如图,在矩形ABCD中,AB,BC2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若、答案(1)2(2):在本例(2)中,若四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是AB上的动点,求的值及的最大值答案:1.1若向量a(1,1),b(2,5),c(3,x),满足条件(8ab)c30,则x_.答案:42已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,ae12e2,bke1e2,若ab0,则实数k的值为_答案:例2(1)(2014湖南高考)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足 ()A 4,6 B1,1 C2,2 D1,1(2)(2014四川高考)平面向量a(1,2),b(4,2),cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m_.答案(1)D(2)21若a(1,2),b(1,1),则2ab与ab的夹角等于()A B. C. D.解析:选C2已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量ab与向