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1、. . . .高考复习专题：平面向量第1节 平面向量的概念及其线性运算向量专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化：与共线的单位向量是.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。（5）平行向量又叫共线向量，记作：.向量与共线，则有且仅有唯一一个实数，使；规定：零向量和任何向量平行；两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（6）向量的加法和减法满足平行四
2、边形法则或三角形法则；（6）2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设，则；（2）设，则；（3）设、两点的坐标分别为，则=；（4）设，向量平行；（5）设两个非零向量，则，所以；（6）若，则；（7）定比分点：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点；当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为.注意：设、，分有向线段所成的比为，则， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.当时，就得到线段的中点公式.的符
3、号与分点的位置之间的关系：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；当点在线段的反向延长线上时；3.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量、，作，称为向量、的夹角。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量、，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。（3）在上的投影为，投影是一个实数，不一定大于0.（4）的几何意义：数量积等于与在上的投影的乘积。（5）向量数量积的应用：设两个非零向量、，其夹角为，则，当时，为直角；当时，为锐角或同向；当时，为钝角或反向；（6）向量三角不等式：当同向
4、，；当反向，；当不共线；4.平面向量的分解定理（1）平面向量分解定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使成立，我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。（2）O为平面任意一点，A、B、C为平面另外三点，则A、B、C三点共线且.5.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x，y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。如，若、三个向量共面，则.同时，对于空间任意一点O，存在，其中_1_考点一：向量的概念例1给出下列四个命题：若|a|b|，则a
5、b或ab； 若，则四边形ABCD为平行四边形；若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线其中假命题的个数为() A1 B2 C3 D4答案D.下列说法中错误的是()A有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D方向相反的两个非零向量必不相等 答案C例2(1)(2014金华模拟)已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是() Aab Bab C|a|b| Dabab(2)(2013四川高考)如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则 _.(3)(20
6、13江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若 (1，2为实数)，则12的值为_答案(1)B(2)2(3)1在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 ()A.ab B.ab C.ab D.ab 易误警示(四)平面向量线性运算中的易误点典例(2013广东高考)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使ab c；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命
7、题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B下列命题中正确的是()A向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使baB在ABC中，C不等式|a|ab|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立D向量a，b不共线，则向量ab与向量ab必不共线第二节 平面向量基本定理及坐标表示1两个向量的夹角(1) 定义：已知两个非零向量a和b，作则AOB叫做向量a与b的夹角(2)范围：向量夹角的范围是0，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.(3)向量垂直：如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作ab.2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果
8、e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标3平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x
9、2，y1y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (x2x1，y2y1)；(3)若a(x，y)，则a(x，y)；(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y1.例1在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若其中，R，则_. 答案：在本例条件下，若试用c，d表示：如图，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若则_.答案：1(2014福建高考)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2) Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2
10、(2,3)解析：选B例3(1)(2013陕西高考)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于()AB. C或 D0(2)(2014丽水模拟)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_(3)(2014台州模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值等于_答案(1)C(2)(4，2)(3)1(2013辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A. B. C. D.2已知向量a(m，1)，b(1，2)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.答案：3已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6
11、)，则AC与OB的交点P的坐标为_答案：(3,3) 易误警示(五)平面向量坐标运算中的易误点用平面向量解决相关问题时，在便于建立平面直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的坐标运算更简便一些典例(2013北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.答案4答案：2第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用1平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos ，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc
12、.3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20例1(1)(2014天津高考)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F 分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若则 的值为_(2)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若、答案(1)2(2)：在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求的值及的最大值答案：1.1若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x_.答案：42已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_答案：例2(1)(2014湖南高考)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足 ()A 4,6 B1，1 C2，2 D1，1(2)(2014四川高考)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.答案(1)D(2)21若a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A B. C. D.解析：选C2已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向
