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1、第 三 节 变换的不变量与矩阵的特征向量,1.矩阵的特征值与特征向量的定义 对于矩阵 实数及非零向量 ，,特征值,特征向量,2.特征向量的性质 (1)设 是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对于任 意的非零常数k，_也是矩阵A的属于特征值的特征向量. (2)属于矩阵的不同特征值的特征向量_. (3)求矩阵 的特征值、特征向量的步骤： 第一步：列特征多项式f()=_. 第二步：求f()=0的根，即特征值. 第三步：针对不同的特征值，解相应的线性方程组，得一个非 零解，即特征向量.,不共线,3.特征向量的应用 (1)设A是一个二阶矩阵， 是矩阵A的属于特征值的任意一 个特征向量，则 _ (nN*
2、) (2)性质1：设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值 是矩阵A的分别属于特征值1，2的特征向量，对于任意 的非零平面向量 ，设 (其中t1,t2为实数),则对 任意的正整数n，有 _.,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)任意向量都可以作为特征向量.( ) (2)矩阵A的属于特征值的特征向量是唯一的.( ) (3)每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量.( ) (4)矩阵A的属于特征值的特征向量共线.( ) (5)矩阵A的特征向量分别为 任意非零向量 均可 以用 表示.( ),【解析】(1)错误，特征向量必须是非零向量. (2)错误，矩阵A的属于特征值的特征向量有无数个. (
3、3)错误，如矩阵 就没有特征值，也就没有特征 向量. (4)正确，若 是矩阵A的特征向量，则 都是矩阵 A的特征向量，显然是共线向量. (5)正确，都可以表示为 (其中t1，t2为实数)的 形式. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),考向1 矩阵特征值、特征向量的求法 【典例1】(2012江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A-1= 求矩阵A的特征值 【思路点拨】首先求出矩阵A，再按照求矩阵特征值的步骤求 矩阵A的特征值.,【规范解答】A-1A=E2，A=(A-1)-1. 矩阵A的特征多项式为 令 f()=0，解得矩阵A的特征值1=-1,2=4.,【互动探究】本例中条件不变，试求矩阵A的属于
4、每个特征值的一个特征向量. 【解析】对于特征值1=-1，解相应的线性方程组 是矩阵A的属于特征值1=-1的一个特征向量；,对于特征值2=4，解相应的线性方程组 是矩阵A的属于特征值2=4的一个特征向量.,【拓展提升】 求矩阵特征值、特征向量的四个注意点 (1)求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行. (2)特征值与特征向量相对应,属于不同特征值的特征向量一般不共线. (3)将特征值代入后得到的方程组若某一变量缺失,实质其系数为0,该变量可任意取值. (4)求出特征值是唯一的，而特征向量是不唯一的，但属于同一特征值的特征向量都应该是共线向量.,【变式备选】设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标
5、伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换 (1)求矩阵M. (2)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 【解析】(1)由条件得矩阵 (2)因为矩阵 的特征多项式为 令f()=0，解得特征值为1=1，2=2，,设属于特征值1的矩阵M的一个特征向量为e1= 则由线性方程-y=0，得 同理，对于特征值2， 得一个特征向量为 所以 是矩阵M属于特征值1=1的一个特征向量， 是矩阵M属于特征值2=2的一个特征向量,考向2 矩阵的特征值、特征向量的应用 【典例2】已知矩阵 A的一个特征值=2，属 于的特征向量是 (1)求矩阵A. (2)求直线y=2x在矩阵A所对应的线性变换下的像的方程. 【
6、思路点拨】利用特征值、特征向量的定义式 列出 关于a,b的关系式，即可求出a,b，即得矩阵A，再利用图形变换的坐标变换公式，求变换后的方程.,【规范解答】(1)由题意 解得a=2,b=4，所以 (2) 代入到直线y=2x中得7x=5y, 故变换后的方程是7x-5y=0.,【拓展提升】利用特征值、特征向量求矩阵的关注点 (1)利用特征值、特征向量求矩阵用待定系数法，列相应关系的依据是特征值、特征向量的定义. (2)在解题的过程中，还是要注意相关方程组的准确求解. (3)此类问题往往与图形变换等知识综合考查.,【变式训练】(2013福建高考)已知直线l：ax+y=1在矩阵A = 对应的变换作用下变
7、为直线l：x+by=1. (1)求实数a,b的值. (2)若点P(x0,y0)在直线l上，且 求点P的坐标. 【解析】(1)设直线l：ax+y=1上任意一点M(x,y)在矩阵A对 应的变换作用下的像是M(x,y) 由 得,又点M(x,y)在l上，所以x+by=1， 即x+(b+2)y=1， 依题意 解得 (2)由 得 解得y0=0. 又点P(x0,y0)在直线l上，所以x0=1. 故点P的坐标为(1,0).,考向3 的简单表示 【典例3】已知矩阵 的一个特征值为1. (1)求矩阵M的另一个特征值. (2)设 【思路点拨】(1)列出矩阵M的特征多项式f()，利用1是 f()=0的根求a及另一个特
8、征值. (2)将向量 表示为 的形式，再利用公式,【规范解答】(1)矩阵M的特征多项式 又矩阵M的一个特征值为1， f(1)=0，a=0， 由f()=(-3)+2=0，得1=1,2=2， 所以矩阵M的另一个特征值为2.,(2)矩阵M的一个特征值为1=1，对应的一个特征向量为 另一个特征值为2=2，对应的一个特征向量为,【拓展提升】表示 的三个步骤 第一步：求出矩阵A的特征值1,2，对应的特征向量 第二步：设 利用向量相等列方程组求t1,t2. 第三步：代入 【提醒】 的对应 要准确，避免对应错误.,【变式训练】已知矩阵M有特征值14及对应的一个特征向 量 并有特征值21及对应的一个特征向量 求矩阵M及M2 013e2.,【解析】 由得a1，b3，c2，d2，,
