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1、第二章 连续系统的时域分析,本章主要内容：,LTI连续系统的响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 卷积积分的性质,第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应,第二章 连续系统的时域分析,基本思想,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。,一、微分方程的经典解,2.1 LTI连续系统的响应,y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t),n阶常系数线性
2、微分方程：,或缩写为：,2.1 LTI连续系统的响应,微分方程的经典解,y(t) = yh(t) + yp(t),齐次解是齐次微分方程的解： y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；,特解与激励函数的形式有关，称为强迫响应。,2.1 LTI连续系统的响应, 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=
3、0时的全解。,(1) 解: 求齐次解,齐次微分方程：y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 0 其特征方程为：2 + 5+ 6 = 0 其特征根为： 1= 2，2= 3 齐次解为： yh(t) = C1e 2t + C2e 3t（由表2-1）,2.1 LTI连续系统的响应,求特解,由表2-2可知，当f(t) = 2e t时，其特解可设为： yp(t) = Pe t 将其代入微分方程得： Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P=1 ，于是特解为： yp(t) = e t 全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t
4、 + e t 待定常数C1,C2由初始条件确定： y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解： y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0,强迫响应,(2) 解: 齐次解同(1) yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 求特解 由表2-2知，其特解为： yp(t) = Pt e2t 代入微分方程可得： Pe-2t = e2t 所以 P = 1 全解为： y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t 将初始条件代入，得 y(0) = C1 + C2=1 ， y(0)= 2C1 3
5、C2+1=0 解得 C1 = 2 ,C2= 1 最后得全解： y(t) = 2e2t e3t + te2t, t0,2.1 LTI连续系统的响应,强迫响应,2.1 LTI连续系统的响应,二、关于0-和0+初始值,t=0-，激励尚未接入，初始状态y(j)(0-)由系统的储能产生； t=0+，激励接入，初始值y(j)(0+)由系统的储能和激励共同决定。 经典法中待定常数C1,C2由初始值y(j)(0+)确定 一般： y(j)(0+) = y(j)(0-) 特例：当激励中包含冲激函数及其导数时，二者不等，会产生跃变。此时需要：,2.1 LTI连续系统的响应, 描述某系统的微分方程为 y”(t) +
6、2y(t) + y(t) = f” (t) + 2f(t) 已知y(0-)=1，y(0-)= -1，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程，得 y”(t) + 2y(t) + y(t) = ” (t) + 2(t)， （1） 利用系数匹配法分析：y”(t)应包含” (t) ，令： y”(t)=a” (t) + b(t) + c(t) + r0(t) （2） 对（2）式两端积分： y(t)=a (t) + b(t) + r1(t) （3）,2.1 LTI连续系统的响应,对（3）式两端积分： y(t) = a(t) + r2(t) （4） 将(2)
7、、(3)、(4)式带入(1)式，并整理得： a” (t) + (2a+b)(t) +(a+2b+c)(t) + r0(t)+2r1(t)+r2(t)= ” (t) + 2(t) 等式两端系数相等原则，得：,带入式(3)，并对等号两端从0-到0+积分：,2.1 LTI连续系统的响应,因而有： y(0+) y(0-) = -2,同样，将a、b、c带入式(2)，并对两端从0-到0+积分：,有： y(0+) y(0-) = 5,所以， y(0+) = -1， y(0+) = 4,复 习,微分方程的经典解 y(0-)和y(0+)的含义及关系 y(0-) y(0+),第一章 信号与系统,2.1 LTI连续
8、系统的响应,三、零输入响应、零状态响应及全响应,经典解,全响应,y(t) = yzi(t) + yzs(t),自由响应,强迫响应,2.1 LTI连续系统的响应,例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-) = 2，y(0-) = 0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解： 零输入响应yzi(t) 满足,2.1 LTI连续系统的响应,代入初始值，有：,解得系数为： Czi1 = 4 ，Czi2 = 2 ， 得零输入响应yzi(t) ： yzi(t) = 4e t 2e 2t , t0,2.1 L
9、TI连续系统的响应,零状态响应yzs(t) 满足,由于等号右端包含冲激函数，故应先确定0+值。,令： yzs”(t) = a(t) + r0(t),积分，依次得： yzs(t) = r1(t) ， yzs(t) = r2(t),再次写出系统的微分方程 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。,2.1 LTI连续系统的响应,对、式两端分别积分（从0-到0+），有：,a = 2,代入已知条件，有：,对t0时，有: yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 齐次解： yh = Czs1e-
10、t + Czs2e-2t， 特 解： yp = 3 于是有: yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值得:,2.1 LTI连续系统的响应,所以： yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0,y (t)= yzi(t)+yzs(t),全响应y(t)：,= 4e t 2e 2t 4e-t + e-2t + 3,= e 2t + 3 t0,2.1 LTI连续系统的响应,2.1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解 关于0-和0+值 零输入响应、零状态响应及全响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质,第二章 连续系统的时域分
11、析,学习内容,2.2 冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。,第二章 连续系统的时域分析,解：根据h(t)的定义，当f(t)=(t)，有yzs(t)=h(t)，则：,2.2 冲激响应和阶跃响应,例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。,令： h”(t) = a(t) + r0(t),积分，依次得： h(t) = r1(t) ， h(t) = r2(t),代入原方程中： a(t) + r0(t) + 5r1(t) + 6r2(t) = (t) 所以：a = 1
12、,先求h(0+)和h(0+),2.2 冲激响应和阶跃响应,分别对h(t) 、 h”(t)等式两端积分（从0-到0+），有：,代入已知条件，有：,再求冲激响应h(t),对t0时，有: h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解。,微分方程的特征根为-2，-3，故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t),h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0,代入初始值得:,所以： h(t)= (e-2t - e-3t )(t),2.2 冲激响应和阶跃响应,2.2 冲激响应和阶跃响应,二、阶跃响应,由单位阶跃函数(t)所引起的零状态响应称
13、为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。,冲激响应与阶跃响应的关系为：,阶跃响应的求法,2.2 冲激响应和阶跃响应,经典法； 令f(t)=(t)，求解零状态响应,利用冲激响应求解；,已知h(t)，令,解：根据g(t)的定义，当f(t)=(t)，有yzs(t)=g(t)，则：,例2 描述某系统的微分方程 y”(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t) 求其阶跃响应g(t)。,令： g”(t) = a(t) + r0(t),积分，依次得： g(t) = r1(t) ， g(t) = r2(t),代入原方程中：a(t)+r0(t)+3r1(t)+2r2(t)= -(t)+2(t),先
14、求g(0+)和g(0+),2.2 冲激响应和阶跃响应,所以，得：a = - 1,2.2 冲激响应和阶跃响应,分别对g(t) 、 g”(t)等式两端积分（从0-到0+），有：,代入已知条件，有：,再求阶跃响应g(t),对t0时，有: g”(t) + 3g(t) + 2g(t) = 2,齐次解： gh(t) = C1e-t + C2e-2t， 特 解： gp = 1 于是有: g(t)=C1e-t + C2e-2t + 1 代入初始值得:,所以： g(t)= 3e-t + 2e-2t + 1 ，t0,2.2 冲激响应和阶跃响应,2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积
15、积分 2.4 卷积积分的性质,第二章 连续系统的时域分析,学习内容,第二章 连续系统的时域分析,2.3 卷积积分,一、卷积积分定义,h(t)的定义：,时不变性：,齐次性：,可加性：,f (t),f(t)*h(t),定 义,2.3 卷积积分,已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分,为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为,注 意：为积分变量，结果为t的函数。,即：,2.3 卷积积分,例：f1(t) = e t,（-t)，f2(t) = (6e-2t 1)(t)，求卷积。,解：, t,2.3 卷积积分,二、卷积的图解法,换 元： t换为得 f1()， f2() 反转平移：f2()反转 f2()，平移t f2(t-) 乘 积： f1() f2(t-),卷积的图解过程,注 意：t为参变量。,积 分：,2.3 卷积积分,例f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。,解 采用图形卷积 。,f ( t -),f (
