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1、绝密启用前 6月8日15：0017：002015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)数 学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3. 答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分,在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合A=xR|a
2、x2+ax+1=0其中只有一个元素，则a=（）A4B2C0D0或42. 设aR，且（a+i）2i为正实数，则a=（）A2B1C0D13. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）Aa=4Ba=5Ca=6Da=74. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A100B200C300D4005. 若将函数y=tan（x+）（0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（x+）的图象重合，则的最小值为（）ABCD6. 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，），角速度为1
3、，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）ABCD7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A6种B12种C24种D30种8. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长的一条侧棱长度是（）A5cmBcmCcmDcm9. 设m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0与圆（x1）2+（y1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2D（，222+2，+）10. 设f（x）是连续的偶函数，且当x0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（）A3B3C8D811. 已知双曲线的右焦点为F，过F
4、且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率为（）A. B. C. D. 12. f（x）是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf（x）+f（x）0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）Aaf（b）bf（a）Bbf（a）af（b）Caf（b）bf（a）Dbf（a）b0）,a，b为给定的实数，且P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点，且满足,（R，|1），设直线AP,BP,AQ,BQ的斜率为（）求的值（）设分别为椭圆和双曲线的右焦点，若,求的值21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a为实常数）（1）当a=1时，求函数（x）=f（x）g（x）在x4，
5、+）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828）在区间，1上有解，求实数a的取值范围；（3）证明：（参考数据：ln20.6931）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请将所选题号涂黑22.（本小题满分10分）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P（1）证明：OMOP=OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点过B点的切线交直线ON于K证明：OKM=9023. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），直线l经过点P（1
6、，2），倾斜角=（）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|PB|的值24. （本小题满分10分）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：，并指出等号成立的条件参考答案：选择：ADABDC CCDCAA填空：y= 5 6 17. 解：四边形OACB的面积=OAB的面积+ABC的面积设AOB=，则ABC的面积=OAB的面积=OAOBsin=21sin=sin四边形OACB的面积=当60=90，即=150时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为18. 解：（1）调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，该地区老年人中需要帮助的老年人的
7、比例的估算值为（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，9.9676.635，有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好19. 解：（I）证明：PA平面ABCD，AB平面ABCDPAAB又ABAD，PAAD=AAB平面PAD又AB平面PAB，平面PAB平面PAD（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图
8、）在平面ABCD内，作CEAB交于点E，则CEAD 在RtCDE中，DE=CDcos45=1， CE=CDsin45=1设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4t，所以E（0，3t，0），C（1，3t，0），D（0，4t，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z）由，得取x=t，得平面PCD的一个法向量为又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos（9030）=即解得或t=4（舍去，因为AD=4t0）所以AB=（ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等由GC=GD，得GCD=GDC=45 从而CGD=90，即CGAD所以G
9、D=CDcos45=1设AB=，则AD=4，AG=ADGD=3在RtABG中，GB=这GB=GD与矛盾所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等20. 21. 解：（1）当a=1时，（x）=f（x）g（x）=lnx+，则（x）=，在区间（0，1上，（x）0，在区间1，+），（x）0，（x）在区间（0，1上单调递减，在区间1，+）上单调递增在x4，+）上，当x=4时，（x）的最小值为（4）=ln4（2）方程e2f（x）=g（x）在区间，1上有解即e2lnx=在区间，1上有解即a=在区间，1上有解令h（x）=，x，1，h（x）=，在区间，上，h（x）0，在区间，1上，h（x）0，h（x）在区间，上单调递增，在区间，1上单调递减，又h（1）h（）h（1）h（x）h（）即h（x），故a，（3）设ak=2f（2k+1）f（k）f（k+1）=2ln（2k+1）lnkln（k+1）=ln，由（1）知，（x）的最小值为（4）=ln40，lnx（x4）又4，ak=构造函数F（x）=lnxx+2（x4），则F（x）=，当x4时，F（x）0F（x）在4，+）上单调递减，即F（x）F（4）=ln42=2（ln21）0当x4时，lnxx2 ak=ln4+2，即ak2+2n+1
