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1、41 动态电磁场的基本方程与边界条件,时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作用和相互耦合的时变电磁场通常被称为动态电磁场。当动态电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁波。,1. 动态电磁场的有关方程,第四章 动态电磁场1：基本理论与准静态场,一般而言，反映媒质特性的三个参数、和与动态电磁场的工作频率有关。如在200MHz以下时，水的相对介电常数约为80，而在光频(1015Hz)时则减小到1.75。本书假设它们在一定频率范围内均为常数。,2动态电磁场的边界条件,类似于静态场中边界条件的推导，只要D/t和B/t在媒质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件相同。,
2、H2t-H1t = Ks ， en( H2 - H1) = K E1t=E2t ， en( E2 - E1) = 0 B1n=B2n ， en ( B2 - B1) =0 D2n-D1n = ， en ( D2 - D1) =,在理想导体内， 且Jc是有限的，可知E0。再由 -B/t=E=0，D/t=0。可见，在理想导体内也不存在随时间变化的磁场和电场（退化为恒定电流场，即静态电磁场）,在理想导体(设为媒质1)与介质(设为媒质2)交界面上的边界条件为,Ht = K ， enH = K Et= 0 ， enE = 0 Bn= 0 ， en B =0 Dn = ， en D =,电力线垂直于理想导
3、体表面（enE = 0），而磁力线沿着理想导体表面分布（en B =0）。,例4-1：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的磁场强度为H = ，为常数。试求：(1)板间电场强度；(2)两导体表面的面电流密度和电荷面密度。,图 两无限大理想导体平板,解：(1)由麦克斯韦方程第一式，得,(2)由边界条件，在z0的导体表面上,在zd的导体表面上,（三要素） 是角频率，Exm、Eym、Ezm及x、y、z 分别是电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。,采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即,瞬时矢量被复矢量表示如下 ,1 时谐电磁场的复数表示,4.2 时谐电磁场,
4、采用复矢量表示时谐电磁场后，麦克斯韦方程组可写为如下复数形式（频域形式）,不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得以简化。,例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，,解：,3有损媒质的复数表示,在实际中上，媒质非理想，一方面导体的电导率是有限的；另一方面介质是有损耗的(如电极化损耗、或磁化损耗、或欧姆损耗等)。对于时谐电磁场中介电常数为 的导电媒质，,这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成方程中。,类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以定义如下复介电常数：,为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下复磁导率：,通常的介电常数,表征电
5、介质中的电极化损耗,通常的磁导率,表征磁介质中的磁化损耗,在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数,当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为,为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切,和 是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。,工程上，称 1的媒质被称为良导体。在微波炉中，微波频率为2.45GHz，面食的损耗角的正切约为0.073，菜和肉的损耗角的正切更高，而包装用的聚苯乙烯泡沫材料的损耗角的正切仅为310-5，所以包装盒中的食品得以加热，而包装盒几乎不从微波中获取能量。,43 电磁场能量.坡印廷定理,1坡印廷定理,电磁能量以电场和磁场的形式存储在场域空间
6、中，导电媒质吸收的电功率体现为焦耳热形式。,动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。在单位体积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为,将上式两边对任意闭合曲面S包围的体积V积分，并由散度定理，得,令S=EH，对上式分析可知，S(W/m2)表征了单位时间内穿过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面S流入体积V的电磁能量等于该体积内电磁场能量W(=We+Wm)的增加率和电磁能量的消耗率。,上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。上式又被称为坡印廷定理的积分形式，坡印廷定理的微分形式为,2坡印廷矢量,矢量S不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定地描述了该电磁功率流的空间流动
7、方向。这一电磁功率流面密度矢量，被称为坡印廷矢量。,（W/m2）,3. 时谐电磁场的坡印廷定理,导电媒质吸收的复功率体密度为,时谐电磁场坡印廷定理的微分形式,时谐电磁场坡印廷定理的积分形式,对于有损媒质,欧姆损耗,媒质的极化损耗,媒质的磁化损耗,磁场(感性)无功功率,电场(容性)无功功率,在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为,其实部为有功功率密度矢量，虚部为无功功率密度矢量。,电磁功率流面密度矢量平均值,它是一个（空间上）有方向，（时间上）无相位的矢量。,例4-3：直流电压源U0经图示的同轴电缆向负载电阻R供电。设该电缆内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为b和c。试用坡印廷矢量分析其能量的传
8、输过程。,解：设同轴电缆为理想导体，内导体电位为U0，电流I=U0/R沿z轴方向流动；外导体电位为零，电流与内导体电流反向。可得同轴电缆内外电、磁场分别为,其余各处均为零,对同轴电缆截面积分得同轴电缆传输的功率为,与电路理论获得的结果相同。,讨论：从以上例题，坡印廷矢量仅存在于同轴电缆的内外导体之间的空间，且垂直于E和H组成的平面。这说明电磁能量是以电磁场方式通过空间传输给负载的，而不是象人们直观臆断的那样是以电流为载体通过导体传送给电阻的。应指出，导体的作用仅在于建立空间电磁场、并从电源定向导引电磁能量输入负载。,44电磁位,1电磁位的引入,由麦克斯韦方程的B=0，定义动态矢量位A,E=-B
9、/t,A和 的单位分别为韦/米(Wb/m)（Tm）和伏(V)，上述定义的位函数组A 被称为动态电磁场的电磁位。,2洛仑兹规范,散度规范,为唯一地确定A，还必须规定A的散度。,对A的散度规范不同，方程组的形式也将不同。如取库仑规范，尽管上述标量方程可以转化为简单的泊松方程，但上述矢量方程中依然存在着A与的耦合。为去掉A与的耦合，但上述矢量方程中梯度项为零,洛仑兹规范,电磁位的非齐次波动方程，又称为达朗贝尔方程,对于静电场和静磁场,非齐次波动方程的复数形式,对于时谐电磁场，采用复矢量表示法，电磁位的非齐次波动方程的复数形式为,k称为波数或者相位系数，单位为弧度/米(rad/m),电磁位的非齐次波动
10、方程的复数形式又被称为非齐次亥姆霍兹方程,3电磁位的积分解,在时变场的无源区域，达朗贝尔方程变为,场域V 中体电荷(r,t)在场点r处产生的动态标量位为,类比于静态电磁场,观察上述积分解可见，在动态电磁场中动态标量位的积分解与静电场中电位的积分解形式相似，但在时间上是滞后的。 为说明其物理含义，设在坐标原点有一个按图示随时间变化的点电荷q(t)。不难看出，给定点的电位不是瞬间建立起来的。 只有当 时，才不为零。也就是说，在动态电磁场中，q(t)在空间r点处产生的电位，需要一个时间 的传播过程，其传播速度为。 这表明时变点电荷产生的电位是以点电荷为中心、幅值与传播距离成反比的球面波，其波速由介质
11、的介电常数和磁导率确定。,在自由空间中,光波在真空中的传播速度，即光速c,右图画出了前图所示时变点电荷在空间产生的电位传播过程。,动态矢量位非齐次波动方程的积分解为,由以上分析可知，空间各点动态标量位和动态矢量位A随时间的变化总是落后于场源的变化。因此，通常也称及A为滞后位。,时域上的延迟等同于频域上相位的滞后,等相位点的传播过程分析电磁波传播的滞后效应，即对 求导，,4波长与波数,可得等相位点的传播速度（相速）为,波的传播方向为r方向,波长,包含在2 米长度(对应2相位)中的波长数为,k 被称为波数，也称为相位系数 ，单位是 rad/m,例4-3：设一空气中传播的均匀平面波其电场强度为 ，则
12、：,所以相位系数,z方向传播,相速度为,由于,解：,对于工频情况，f=50Hz，,波长约为赤道长度的1/6，地月距离的1/60。所以在电路中，我们把工频下的交流电路中的元件用集总参数表示，而在高频电路中，则不能用集总参数。,随时间变化的场源 或J产生的电磁场以波的形式在空间传播，这种现象被称为场源的电磁辐射。 今后主要讨论时谐电磁场。这主要基于两方面的考虑： 一、在实际工程中，电磁发射往往是以某一频率的正弦波为载频； 二、时谐电磁场分析相对比较简单，其结果易于延拓到整个频域，并可借助傅里叶分析计算其它类型的动态电磁场。,第五章 动态电磁场II：电磁辐射与电磁波,51 电磁辐射,1电偶极子的电磁
13、场,图 电偶极子(元天线) （P220，图5-6）,图示电偶极子Il是最简单的电磁辐射元件，通常称产生电磁辐射的元件为天线。设电偶极子长度 l远小于其上电流频率对应的电磁波波长，其横截面忽略不计。 为电流有效值相量。,电偶极子的电磁场相当复杂，然而我们可以根据 kr (rad)取值的不同研究电偶极子在近场和远场处的电磁场量。,2近场与远场,（1）近场：,无相位滞后,50Hz工频电磁场,将上述电场强度和磁场强度分别与电偶极子产生的静电场的电场强度和电流元产生的恒定磁场的磁场强度相对比，可以看出，其场分布是相同的。,事实上近场也有平均功率在传输，而且正是这部分功率提供了向外空间传送的辐射功率，只是
14、相对于存储在近场的功率而言，其值可以忽略不计。（kr部分为辐射出的功率，而1部分为近场功率）,此外，场与源的相位完全相同，两者之间没有时差。因此，虽然源随时间变化，但它产生的近场与静态电磁场的特性完全相同，无滞后效应，所以近场也称为似稳场。,同时，从上式还可看出，电场强度和磁场强度的相位差（时间上差T/4）为90，故坡印廷矢量的平均值Sav为零。空间上也相互垂直。这说明存储在电偶极子附近空间的能量表现为电场与磁场之间相互交换的方式，而并不产生向无限远空间传送的电磁辐射。,（2）远场：,E 和H 都没有er 方向，此时空间上相互垂直，但是时间上相位一致，在理想媒质中传播只存在有功Sav，而没有无
15、功。,可以看出，远场中电场强度和磁场强度在空间上相互垂直并与半径为r的球面相切，且同相位。它们的振幅均反比于r，其振幅之比定义为介质的特性阻抗，反映了电磁波的电场强度和磁场强度之比，它又被称为介质的波阻抗。,自由空间中,在其他介质中，由于通常情况下，,一般的，在线性介质中， 和f都是不变的。,求远场空间任意一点复坡印廷矢量的平均值,电磁能量在理想介质中向无限远辐射。 时谐振荡的电流以波的形式向空间辐射电磁能量。此种辐射电磁能量的电磁场称之为辐射场，亦即电磁波。,如果要使得辐射功率足够大，天线长度必须与波长相匹配。否则， 会变得很小。,(2) 同相位且它们的振幅之比为介质的特性阻抗；,对于远场中的电磁波，无论是电场强度还是磁场强度，它们的相位在以电偶极子为中心形成的球面上是等相位的，称等相位面为球面的电磁波为球面波。,(1) 和Sav相互垂直，且满足右手螺旋关系；,(3)传播方向由相位因子 确定，当 jkr 前取“-”时，沿er方向传播；反之，沿-er方向传播。可见，在无限大空间中，只需知道 中的一个，另一个就可以利用上述的特点求出。,当f=100MHz（调频广播），3m，发射天线为了提高发射功率，通常l则需要很高（50m），
