第六讲 神奇的9资料

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1、2013-2014 学年秋季五年级知识点总结 学而思培优北京分校小学理科教研组出品1 第六讲神奇的第六讲神奇的 9 弃九法源起十进制，是最热门的杯赛及小升初考点之一.（佘飞老师很懒，只写了这一句介绍） 【重要知识点】 弃九法：一个数除以 9 的余数，和这个数的数字和除以 9 的余数相同. 【点评】 “数字和，先想 9” ，与“数字和”相关的题目，基本上 100%都是在考弃九法. 在之前的课程 中学过 9 的整除特征：若一个数的数字和能被 9 整除，则这个数也能被 9 整除. 可见弃九法是对 9 的整除特征的更深一层的认识：从整除到余数. 整除其实就是余 0. 加法数字谜的一个规律：竖式中加数总

2、共进了几位，和的数字和就比加数的数字和减少几个 9； 减法竖式可转换为加法竖式. 【点评】举例如下： 1 2 3 21 4 5 6 5 7 921 + 数字和为 无进位 数字和为 111 4 5 6 39 7 8 9 273 1 2 4 512 + 数字和为 差，进 位 数字和为 11 2 5 8 33 3 6 9 182 6 2 715 + 数字和为 差 ，进 位 数字和为 由此我们就有了一种填加法数字谜的新思路： 先确定一定能确定的数（比如高位数字，高位进位点，已给部分的数字和等） ； 分析上下的数字和； 确定进位点个数与位置； 填出一种答案. 以前同学们往往直接枚举步骤（说难听点叫“瞎填

3、” ） ，就会出现不知道是否进位了，而必 须分多类讨论的情况，费时费力. 以上面这种新的思路做题，进位点就相当于“路标” ， “路标” 确 定了，每一位的和就确定了，无需再分类讨论，做题效率和准确性都会大大提高. “进一位，数字和就减少 9”的原因如下（主要原因是我们所用的数的进制是十进制，而在十 进制中，9 是数位最大数字，有一定的特殊性） ： 举一个例子：随着一个数的增大，其数字和按理来说也应该随之增大，但有时会出问题. 数252627282930 数字和7891011？ “？”处按规律应该是 11 加 1 变 12，但由于十进制逢十进位，个位数字和一下子减少了 10. 加了 1 又减了

4、10，等效的结果，就是数字和减少 9. 三阶幻方（九宫格，洛书）的特殊性质：8 条线（3 行、3 列、2 对角线）的三数之和都是 15，且 15 的不计顺序的正整数分拆也恰好有 8 种. 【点评】换句话说，三阶幻方把 15 的分拆完全展示了出来，由此会有一些与之相关的有趣的题目， 比 如第三单元的最后两道例题. 佘飞老师非常喜欢三阶幻方，去年迎春杯初赛 5、6 年级的最后一题 都是由佘飞老师所出，也都和三阶幻方相关. 准备考迎春杯的同学要注意了哦 2013-2014 学年秋季五年级知识点总结 学而思培优北京分校小学理科教研组出品2 【扩展阅读】 同余符号：一个数 a 与它的各个数位数字和 b

5、除以 9 的余数相同，这句话可用数学符号表示为： (mod 9)ab 余数具有可加性、可减性（同余定理） 、可乘性、可乘方性，没有“可除性” （有在一定条件下满 足的“慎除性” ）. 【点评】在五年级末、六年级初，会学习与同余符号相关的课程，上述性质的证明到时也会讲解. 本节 课中， 这些性质只是保证今天的做法正确， 无需证明. 同余也只是当做简化说明所使用的符号而已. 【具体题目和方法】 【第一单元 1】 （1）求 7123021 除以 9 的余数； （2）求7813 1768除以 9 的余数； （3）求 100 100除以 9 的余数. 【答案】 （1）7（2）4（3）1 【分析】 （1）

6、71232116+ + + =，16917= ； （2）7813 除以 9 余 1；1768 除以 9 余 4；则7813 1768除以 9 余144 =； （3）100 除以 9 余 1，则 100100 1001(mod9)1=. 【点评】余数有可加性、可乘性、可乘方性. 在具体操作时，一个数中数字和只要满 9 就可以划掉， 所 以才叫做“弃九”. 注意第（2）题中，第一个乘数的 3 能和第二个乘数的 6 一起划掉来弃九吗？ 回答是不能，中间是乘号时不能跨数弃九. 注意第（3）题底数相当于乘数，可以弃九，但指数相 当于乘数个数，不能弃九. 【第一单元 3】 （1）检验此式是否正确：1359

7、879849812523411117241325 【答案】错误 【分析】两个加数的 9 余分别是 0 和 8，则和的 9 余应该是 8，而等式右侧多位数的 9 余为 0，错误 【点评】第一个加数的 7 能和第二个加数的 2 一起划掉来弃九吗？回答是可以，中间是加号时，整个 式子都是在作和，可以跨数弃九. 【第一单元 2】将 12013 写成一排：123420122013，求这个数除以 9 的余数. 【答案】3 【分析】这个多位数与1232013+ +对 9 同余（数码相同） ； 12320132013 100768483(mod9)+ += = 【点评】此题孩子容易把数拆成1234910111

8、22013+ + + + + + +，确实是 拆成了各个数位数字和，但此式根本无法计算. 并不是全拆开一定最好，而是拆到容易计算最好. 反正无论怎么拆，数字从未变过，故除以 9 的余数不会变. 【第一单元 4】已知 2 的 29 次方由 9 个不同数字组成，那么缺少哪个数字？ 【答案】4 【分析】乘方数太大，不要死算，找余数的周期规律. 由于 6 2641(mod9)=，则 295 225(mod9)； 而0123945+ + +=是 9 的倍数；因此缺的数字是954- =. 2013-2014 学年秋季五年级知识点总结 学而思培优北京分校小学理科教研组出品3 【点评】在找周期时， 3 28(

9、 1)(mod9) -，负负得正，故 633 222( 1)( 1)1(mod9) - -. 另一 个需要注意的是 45 这个数：09（或 19）各有一个时，或看到题中有“数字互不相同”时， 立 马要想到数字和与 45 有关系. 【第二单元 1】下列算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表 1，2，3，4，5，6，7，8， 9 中的 7 个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立.则“第、十、一、届、华、 杯、赛”所代表的 7 个数字的和等于多少？ 【答案】35 【分析】由于上面两个数的数字和除以 9 的余数应等同于下面余数，即为 8，故而数字和为 26 或 35 或 44，但

10、是数字和是 19 去掉两个数后的结果，只有 35 满足要求. 【点评】本题若直接“瞎填” ，会纠结于个位是否向十位进位. 若按上述分析确定了进位点，就无需分 类讨论了. 确定唯一数分析数字和确定进位点填出一种. 【拓展】 （2013 年末六年级学而思杯第 9 题） 将数字1 9填入下面竖式，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字若“H”= 4， 那么四位数GHIH + ABC DEF GHIH 【答案】1424 【分析】G = 1， 所有数字总和 49， 49 除以 9 余 4，故知横线上方、 下方除以 9 都余 2， 故(1 44)I+ 除以 9 余 2，得到 I 的理论值为 2. 之后

11、只需填出一种即可：上下数字和相差 27，故进 3 位，每个 数位都有进位，易填出一种为7356891424+=（填法不唯一）. 【点评】分析数字和：上面数字和是多少？不知道；下面数字和是多少？也不知道. 但什么知道？总和 知道. 这种思想可用在例 4 的解决上. 【第二单元 4】在这个算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么， “学”+“而”+“思”+“教”+“育”=_ 【答案】17 【分析】首先“育”= 0 或 5，但若为 5，则“教”无法填出（奇偶性出了问题）. 故可确定“育”= 0， “教”= 5. 十位向百位进 1. 之后最容易确定的字是“学” ， “学”= 1

12、 或 2，故本题被简化为以下 2013-2014 学年秋季五年级知识点总结 学而思培优北京分校小学理科教研组出品4 的形式： 1 2 1 2 3 4 6 7 8 9 + 品 格 兴 趣 余？ 升 而 思 余？ 备选数：、 、 、 2 3 2 1 3 4 6 7 8 9 + 品 格 兴 趣 余？ 升 而 思 余？ 备选数： 、 、 、 左边的情况 “学” = 1， 上、 下总和为 42， 除以 9 余 6， 故上、 下除以 9 都余 3， 得112+=而思， 而上方的数字和为 30，故上下相差 18，有 2 个进位点，可填出一种为29504750625013850+= （填法不唯一） ，故本题有

13、答案 17； 右边的情况 “学” = 2， 上、 下总和为 43， 除以 9 余 7， 故上、 下除以 9 都余 8， 得117+=而思 （没有和等于 8 的填法） ，而上方的数字和为 26，故上下相差 9，有 1 个进位点，与最高位已有的 两个进位点相矛盾，故无法填出. 综上，本题有唯一答案 17. 【第三单元 2】把 225 的九个约数不重复的填在九宫格里，使得每行、每列、每条对角线的乘积 都相等. 【分析】 22 2253 5=，则其 9 个约数分别为： 00 3 5， 01 3 5， 02 3 5， 10 3 5， 1 1 35， 12 3 5， 20 3 5， 21 3 5， 22

14、3 5； 显然，每行每列每斜行均各含一组（ 0 3， 1 3， 2 3）和（ 0 5， 1 5， 2 5） ；经构造如下： 00 3 5 01 3 5 02 3 5 10 3 5 1 1 3 5 12 3 5 20 3 5 21 3 5 22 3 532255 25159 45175 【第三单元 4】有写有 19 的九张牌，A 和 B 各抽 3 张，A 看了自己的三张牌后，对 B 说：你的 三个数之和不可能是 15. 请问 A 是如何知道的？他抽到的可能是哪三张牌？ 【答案】 （4,5,6）或（2,5,8） 【分析】从 19 的三阶幻方辅助分析： 492 357 816 显然，如果从幻方中去掉 A 的三张牌后，将破坏掉所有的行和列以及对角线，即不存在和为 15； 显然，去掉完整的一条对角线能做到这一点，则 A 的三张牌可能是（4,5,6）或（2,5,8）. 【点评】三阶幻方结合逻辑推理分析，这种类型的题，一定都是同一位老师所出，那就是本讲神奇 的 9的编者佘飞老师.