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1、1 第一章量子力学的诞生 1.11.11.11.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， = + = 00 0 22 0 4 0 2 0 ,41 ,16 VEVE VEEV EEV V R 38）利用 Hermite 多项式的递推关系（附录 A3。式（11） ） ，证明 谐振子波函数满足下列关系 ()()()()(21)(12)(1 2 1 )( )( 2 1 )( 2 1 )( 22 2 2 11 xnnxnxnnxx x n x n xx nnnn nnn + + += + += 并由此证明，在 n 态下，2 , 0 n EVx= 证：谐振子波函数)()( 2 22 xHeAx n
2、 x nn =（1） 其中，归一化常数 m , !2 = = n A n n （2） )(xH n 的递推关系为 . 0 )(2)(2)( 11 =+ + xnHxxHxH nnn （3） 14 () () + += + + + = + = += = + + + + + )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 !12 1 )( 2!12 1 )( !22 1 )( !2 1 )(2)( 2 1 )(2 2 1 )()( 11 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 11 2 22 22 22 2222 22 2222 x n x n xHe n n xHe n n xHe n xnHe n
3、xnHxHeA x xxHeAxxHeAxx nn n x n n x n n x n n x n nn x n n x nn x nn ()()()()(21)(12)(1 2 1 )( 2 2 )( 2 1 2 1 )( 2 )( 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 22 2 22 2 11 2 xnnxnxnn x n x nn x n x nn xx n xx n xx nnn nnnn nnn + + + += + + + + + = + += 0)( 2 1 )( 2 1 )( 11 * = + += + + + dxx n x n xdxxx nnnnn () ()
4、2 2 1 2 1 12 2 1 2 1 )(12 2 1 2 1 )( )( 2 1 )( 2 2 2 2* 22* n nn nn Ennm dxxnmx dxxxmxV = +=+= += = + 39）利用 Hermite 多项式的求导公式。证明（参 A3.式（12） ） ()()()() 22 2 2 2 11 21121 2 )( 2 1 2 )( + + += + = nnnn nnn nnnnnx dx d nn x dx d 证：A3.式（12） ：)(2 dx )(dH ),(2)( 1 n 1 xHn x nHH nnn = 15 () + = + + += += +=
5、+ + )( 2 1 )( 2 )(2)( 2 1 )( 2 )(2)( )(2)()( 11 111 1 2 1 2222 2222 x n x n xnx n x n xnxx xHnexHexAx dx d nn nnn nn n x n x nn ()()()() 22 2 22 2 2 21121 2 2 2 2 1 2 1 22 1 2 )( + + += + + + = nnn nnnnn nnnnn nnnnnn x dx d ()0 2 1 2 11 * = + = = + dx nn idx dx d ip nnnnn ()()()() ()() 22 1 2 1 12 4
6、 12 4 21121 22 22 2 * 22 22 2 * 2 2 22 * 2 n nn nnnn nn E nn m m dxn m dxnnnnn m dx dx d mm p T = +=+=+= += = + 310）谐振子处于 n 态下，计算 () 2 1 2 =xxx，() 2 1 2 =ppp，?=px 解：由题 36） ， m n m E m V xx n + = 2 1 2 , 0 22 2 由题 37） ，mnmETmpp n += 2 1 2 , 0 2 ()() ()() += += = += = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1
7、 2 1 2 2 2 1 2 npx mnppppp m nxxxxx 对于基态，2, 0=pxn，刚好是测不准关系所规定的下限。 16 311）荷电 q 的谐振子，受到外电场的作用， xqxmxV= 22 2 1 )(（1） 求能量本征值和本征函数。 解：xqHxqxm m p H=+= 0 22 2 2 1 2 （2） 0 H的本征函数为)( 2 22 xHeA n x nn =， 本征值 ( ) += 2 1 0 nEn 现将H的本征值记为 n E，本症函数记为)(x n 。 式（1）的势能项可以写成() 2 0 2 0 2 2 1 )(xxxmxV= 其中 2 0 mqx=（3） 如作
8、坐标平移，令 0 xxx=（4） 由于 p dx d i dx d ip=（5） H可表成 2 0 22,2 2 2 1 2 1 2 xmxm m p H+=（6） （6）式中的H与（2）式中的 0 H相比较，易见H和 0 H的差别在于变量由x换成 x，并添加了常数项 2 0 2 2 1 xm，由此可知 ( )2 0 20 2 1 xmEE nn =（7） )()()( 0 xxxx nnn =（8） 即 , 2 , 1 , 0 , 22 1 2 1 2 1 2 22 2 2 2 = += += n m q n m q mnEn （9） = 2 2 2 2 2 )( m q xHeAx n m
9、 q x nn (10) 其中 m , !2 = = n A n n (11) 312）设粒子在下列势阱中运动， 17 ar(1) 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。 解：S.eq:()Eaxr dx d m = 2 22 2 (2) 对于束缚态（0 ） ，a时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1cotha，式（10）给出 22 mr= 即 2 222 22 mr m E= （13） 与势阱)()(xrxV=的结论完全相同。 令=a， 则式（10）化为 () 2 2 coth1 mra =+（14） 由于()1coth1+，所 以只当1 2 2 mra 时， 式（10）或 （14）
10、才 有解。解 出根之后 ，利用 mEaa2=，即可求出能级 2 22 2ma E =（15） 第四章第四章 力学量用算符表达与表象变换力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A与B为厄米算符，则()BAAB+ 2 1 和()BAAB i 2 1 也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可分 解为 + +=iFFF， + F与 F均为厄米算符，且 ()() + + =+=FF i FFFF 2 1 , 2 1 19 证：）()()()()BAABABBABAABBAAB+=+=+= + + + 2 1 2 1 2 1 2 1 ()BAAB+ 2 1 为厄米算符。 ）()()()()BAAB i A
11、BBA i BAAB i BAAB i = = + + 2 1 2 1 2 1 2 1 ()BAAB i 2 1 也为厄米算符。 ）令ABF=，则()BAABABF= + + + ， 且定义()() + + =+=FF i FFFF 2 1 , 2 1 （1） 由） ，）得 + + + + =FFFF ,，即 + F和 F皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 + +=iFFF 4.2）设),(pxF是px,的整函数，证明 F, F, p iFx x iFp = = 整函数是指),(pxF可以展开成 = = 0, ),( nm nm mn pxCpxF。 证： （1）先证 11 , , = nnmm pnipxxmixp。 () () () 111 111 331 33231 2221 11 1 ,1 ,3 ,2 , , = += =+= += += += mmm mmmm mm mmm mmm mmm xmixixim xxpxim xxpxi xxpxxpxxi xxpxxpxxi xxpxpxxp 同理， 1 221 2221 11 ,2 , , = =+= += += n nn nnn nnn pni ppxpi ppxppxppi ppxpxppx 现在， 20 () = = = = = = 0, 1 0,0, ,
