《动点与几何最值 学生版资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《动点与几何最值 学生版资料（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 1 of 30 动点与几何最值 一、 将军饮马 问题 作法 图解 原理 在直线 m 上找一点 P， 使 PA+PB 最小 连接 AB PA+PB 的最小值为 AB，两点之 间，线段最短 在直线 m 上求一点 P， 使 AP+BP 最小 作关于直线 m 的对称点 A， 连接 AB，与直 线 m 的交点即 为点 P AP+BP=AB，两点之间，线段 最短（注：作一个点关于某条直 线的对称点， 实际上就是将这条 直线转化为这个点和其对称点 连线的中垂线） 在直线 m、 k 上分别求点 M、N，使PMN周长最 小 分别作点 P 关 于两直线的对 称点
2、P、P， 连接 PP，与 两直线的交点 即为 M、N PM+MN+PN=PP,两点之间， 线段最短 在直线 m、 k 上分别求 点 M、N，使四边形 PMNQ 周长最小 分别作 P、Q 关 于直线 m、k 的 对称点 P、Q， 连接 PQ，与 直线的交点即 为 M、N 线段 PQ 长度不变，且 PM+MN+NQ=PQ,两点之间,线 段最短.周长的最小值为 PQ+PQ 在直线 m 上求点 P，使 |AP-BP|最大 连接BA并延长 与直线 m 的交 点即为点 P |AP-BP|=AB,三角形任意两边之 差小于第三边 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 2 of 30 在直线 m 上求
3、点 P，使 |AP-BP|最大 作 B 关于直线 m的对称点B， 作直线 AB与 m 的交点即为 点 P BP=BP,|AP-BP|=|AP-BP|=AB 三角形任意两边之差小于第三 边 问题 作法 图解 原理 在直线 m 上求点 P，使 |PA-PB|最小 连接 AB,作 AB 的中垂线与 m 的交点即为点 P |PA-PB|=0，线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等。 在异于 P 点的任意点，都使 |PA-PB|0 点 P 在锐角AOB 内 部， 在 OB 边上求作一点 D，在 OA边行求作一点 C，使 PD+CD 最小 作点 P 关于直 线OB的对称点 P,过 P向直线 OA作垂
4、线与 OB 的交点为所 求点 D,垂足即 为点 C PD=PD，PD+CD 的最小值为 PC的长度.点P到直线OA上的 点的距离，垂线段最短 在直线 m 上求两点 M、 N(M 在左)， 使得 MN=a， 并使 AM+MN+NB 最小 将A向右平移a 个单位到 A， 作 A关于 m 的 对称点 A，连 接 AB,与 m 的 交点即为点 N， 将点 N 向左平 移 a 个单位即 为 M AM+MN+NB=a +AB,两点之 间，线段最短 在直线 m、 k 上分别找两 点 P、 Q， 使 AQ+PQ+PB 最小 作 B 关于 m 的 对称点 B； 作 A 关于 k 的对称 点A,连接AB, 与直线
5、 m、k 分 别交于 P、Q. P、Q 即为所求 BP=BP,AQ=AQ; AQ+PQ+PB 的最小值为 AB.两 点之间线段最短 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 3 of 30 求作一点 P， 使点 P 到射 线 m、k 的距离相等，且 使 PA=PB 作射线 m、k 的 夹角的角平分 线与线段AB的 中垂线， 它们的 交点即为点 P 角平分线上的点到角两边的距 离相等； 中垂线上的点到线段两 端点的距离相等 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 4 of 30 1. 几何中的将军饮马 【例【例1】 （2013 贵州贵州六盘水） （六盘水） （1）观察发现）观察发现
6、 如图（1） ：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做 法如下： 作点 B 关于直线 m的对称点 B，连接 AB，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB 的长度即为 AP+BP 的最小值 如图（2） ：在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找 一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求 的点 P，故 BP+PE 的最小值为 （2）实践运用）实践运用 如图（3） ：已知O 的直径 CD 为 2
7、，的度数为 60 ，点 B 是的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为 （3）拓展延伸）拓展延伸 如图 （4） ： 点 P 是四边形 ABCD 内一点， 分别在边 AB、 BC 上作出点 M， 点 N， 使 PM+PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 5 of 30 【例【例2】 （2013 年福建莆田）年福建莆田） 如图， 正方形 ABCD 的边长为 4， 点 P 在 DC 边上且 DP1， 点 Q 是 AC 上一动点，则 DQ +PQ 的最小值为_ 【例【例3】 （2
8、013 四川内江四川内江，16，5 分分）已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M、N 分别是边 BC、CD 的中点，P 是对角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= 【例【例4】 如图，30AOB ，点P位于AOB的内，3OP ，点,M N分别是射线 ,OA OB上的动点，求PMN的最小周长. A B C D P Q 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 6 of 30 【例【例5】 （2013 湖北省鄂州市）湖北省鄂州市）如图，已知直线 ab，且 a 与 b 之间的距离为 4，点 A 到 直线 a 的距离为 2， 点 B 到直线 b 的距离为 3，2 30AB
9、 试在直线 a 上找一点 M， 在直线 b 上找一点 N，满足 MNa 且 AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB= （ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【例【例6】 如图，在平面直角坐标系中，RtOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐 标为（3，） ，点 C 的坐标为（，0） ，点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PAPC 的 最小值为（ ） A B C D2 3 1 2 13 2 31 2 319 2 7 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 7 of 30 【例【例7】 如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁 离
10、容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁 ，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对 的点 A 处， 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计） . 【例【例8】 （2012 甘肃兰州甘肃兰州）如图，四边形 ABCD 中，BAD120 ，BD90 ，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 周长最小时，则AMNANM 的度数为 （ ） A130 B120 C110 D100 【例【例9】 如图，圆柱底面半径为2cm，高为9 cm，点 A、B 分别是圆柱两底面圆周上的 点，且 A、B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B，求棉线最短为 c
11、m。 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 8 of 30 【例【例10】 如图，MN 为O 的直径，A、B 是 O 上的两点，过 A 作 ACMN 于点 C，过 B 作 BDMN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN20，AC8，BD6，则 PA PB 的最小值是 。 【例【例11】 （2013 天津）天津）在平面直角坐标系中，已知点 A(2,0)，B(0,4)，点 E 在 OB 上，且 OAEOBA （1）如图 1，求点 E 的坐标； （2）如图 2，将AEO 沿 x 轴向右平移得到AEO，连结 AB、BE 设 AAm，其中 0m2，使用含 m 的式子表示 AB2BE2
12、，并求出使 AB2BE2 取得最小值时点 E的坐标； 当 ABBE取得最小值时，求点 E的坐标（直接写出结果即可） 图 1 图 2 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 9 of 30 2. 二次函数中的将军饮马 【例【例12】 (2012 山西山西)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点 （1）求直线 AC 的解析式及 B、D 两点的坐标； （2）点 P 是 x 轴上的一个动点，过 P 作直线 l/AC 交抛物线于点 Q试探究：随着点 P 的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以 A、P、Q、C 为顶
13、点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请在直线 AC 上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 10 of 30 【例【例13】 （2013 聊城）聊城）已知ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20 （1）写出ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为 48 时 BC 的长； （2）当 BC 多长时，ABC 的面积最大？最大面积是多少？ （3）当ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并 求出其最小周
14、长；如果不存在，请给予说明 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 11 of 30 【例【例14】 （2013 北京模拟）北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的 顶点为. (1) 求点的坐标（用含的代数式表示） ； (2) 直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧. 若为直线上一动点，求的面积； 抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点. 以 为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，则这个最小值 为 . xOy 22 2yxmxmm C Cm 2yxABA POCAPB ABMBMCBM MCQ 2 2 QBQB 初三数学 动点与线段和差.邬平剑作品 Page 12 of 30 【例【例15】 (2011 福州福州)已知,如图,二次函数 2 23yaxaxa(0)a 图象的顶点为H,与x轴 交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l: 3 3 3 yx对称. (1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上； (2)求二次函数解析式； (3)过点B作直线BKAH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个 动点,连接HN、NM、MK,求HNNMMK和的最小值. A B K H x
