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1、,第二、三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的性质,函数项级数与幂级数,第四章,一、 函数项级数的概念,(1)设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,(2)对,若常数项级数,所有收敛点的全体称为其收敛域X ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数, 称,收敛,发散 ,为其收敛点，,为其发散点,所有发散点的全体称为其发散域 .,为级数的和函数 , 并写成,(4)若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,(3)在收敛域X上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,二、 函数项级数的收敛域,1.借助于已有级数（几何级数，p级数）敛散性,例. 求级数
2、,的收敛域。,解：,它的收敛域是区间,有和函数,上面级数可看成以 为公比的等比级数。,又如, 级数,级数发散 ;,所以级数的收敛域仅为,2.借助于数项级数，利用比值（根值）法求,利用比值（根值）法判别绝对值级数发散，则原级数也发散的性质。,设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,(3) 当,时, 级数可能收敛也可能发散 。,步骤：,1.用比值（根值）法求 ；,2.解不等式,求出,的收敛区间,3.考查,时，级数,的敛散性；,4.写出,的收敛域。,例2. 求级数,的收敛域。,解：,解不等式,原级数化为,令,得,收敛；,原级数化为,令,收敛；,原
3、级数收敛域是,练习： 求级数,的收敛域。,#2014030301,2.借助于数项级数，利用比值（根值）法求,1.借助于已有数项级数（几何级数，p级数）敛散性,一般函数项级数收敛域求法,三、幂级数及其收敛性,(1)形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,为幂级数的系数 .,称,令,则幂级数化为,不失一般性，下面讨论幂级数,(2)幂级数的收敛半径与收敛域,任何幂级数在0都收敛。,由例1知其收敛域是一个区间。,定理 1. ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,在,的一切 x , 该幂级数也发散 .,点发散 ,则对满足不等式,收敛,发散,阿贝尔(1802 18
4、29),挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题 ,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中, 他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,证: 设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,下面用反证法证之.,假设有一点,满足,且使级数收敛 ,级数在点,的 x , 原幂级数也发散 .,则对一切满足不等式,则由
5、前可知,也应收敛,与所设矛盾。,证毕,设,发散,因此，当我们从原点出发，沿数轴向两方走，,后来遇到的全部是发散点.,起初只遇到收敛点，,讨论：在界点处函数项级数敛散性正确描述是（）,答：在界点处级数可能收敛，也可能发散，在两个界点处的敛散性未必相同，要单独讨论.,(a)在界点处函数项级数敛散性相同，且都发散,(b)在界点处函数项级数敛散性不同，且必有一个发散,(c)在界点处函数项级数敛散性不同，但不能绝对收敛,(d)在界点处函数项级数敛散性绝对收敛，条件收敛，发散均可能,#2015031301,定义1,若幂级数,在,这个R称为幂级数,的收敛半径，而把开区间（-R,R）称为收敛区间。,幂级数在
6、(, +) 收敛 ，,规定,R = 0 ；,幂级数仅在 x = 0 收敛 ，,R = 。,(1)幂级数的收敛域是区间；,(2)幂级数,在 (a,b) 内收敛 ，,在 (a,b) 外发散 ，,例3. 设,在,处收敛，,则此级数在,处收敛性如何？,（A）条件收敛,（B）绝对收敛,（C）发散,（D）太难确定了,#2014030302,例3. 设,在,处收敛，,则此级数在,处收敛性如何？,解: 令,设级数,的收敛半径为R。,收敛，,由阿贝尔定理,1. 已知,处条件收敛 , 问该级数收敛,半径性质为,思考,#2014030303,幂级数 由它的系数数列 所确定，,故其收敛半径R也应由 唯一确定,定理2.
7、 若,的系数满足,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则,证:,1) 若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,即,时,因此级数的收敛半径,2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此,注意（1）缺项的幂级数不能直接用此定理,解决：,（ii）用一般级数收敛域求法,（i）作变换,（2）也可以由根值法求收敛半径,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例1.求幂级数,例2.,的收敛半
8、径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由比值,例3.,的收敛域.,#2014030501,例3.,的收敛域.,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,2. 在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,它的收敛半径?,思考,#2014030304,2. 在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,能否确定它的收敛半径不存在 ?,答: 不能.,因为,当,时级数收敛 ,时级数发散 ,说明: 可以证明:,比值判别法成立,根值判别法成立,例4.,求下列幂级数的收敛区间.,解: (1)令,级数变为,于是,的收敛区间为,解: (1)令,级数变为,于是,级数,在,收敛，,例4.,求下列幂级数的收敛域.,
