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1、5.1.2 垂线(一)典型例题【例1】 两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直；两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有( )A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个【解析】 题中的4个说法，都是关于两条直线垂直的判定问题.根据垂直定义，只要推出两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，就可以判断两条直线互相垂直.是垂直的定义，所以正确；有一组对顶角互补，因为对顶角相等，所以这两个角都是90，所以正确；两条直线相交，所成的四个角相等，都
2、是90，所以正确；有一组邻补角相等，而邻补是互补的，所以这两个角都是90，所以正确.【答案】 D【例2】 如图516，过点A、B分别画OB、OA的垂线.图516 图517【解析】 画线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，本例中的垂足分别在OB的反向延长线上和OA的延长线上.【答案】如图517所示，直线AE为过点A与OB垂直的直线，垂足为E;直线BD为过点B与OA垂直的直线，垂足为D.【例3】 如图518，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分AOC，OF平分BOC(1)若BOC=50，试探究OE、OF的位置关系；(2)若BOC=(0x180)，(1)中OE、OF的位置关系
3、是否仍成立?请说明理由，由此你发现了什么规律?图518【解析】 要探究OE、OF的位置关系，可先用三角尺或量角器检测EOF的大小来判断OE、OF的关系，再通过计算加以说明；第(2)问用代数代表示EOF，再归纳出结论.【答案】 (1)由量角器测得EOF=90,因此OEOF.由邻补角的定义，可得AOC=180BOC=130.由OE平分AOC，OF平分BOC可得COF=BOC=25，COE=AOC=65.所以EOF=COF+COE=90.因此OEOF.(2)OEOF仍成立.因为AOC=180，COF=，COE=(180)=90.所以EOF=COF+COE=+(90)=90.由此发现:无论BOC度数是
4、多少，EOF总等于90.即邻补角的平分线互相垂直.课前热身1.两条直线互相垂直时，所得的四个角中有_个直角.2.过一点_条直线与已知直线垂直.课上作业3.如图519，OAOB于O，直线CD经过点O，AOD=35，则BOC=_.4.如图520，直线AB与CD相交于点O，EOAB于O，则1与2的关系是_.图519 图5205.如图521，O是直线AB上一点OCOD，有以下两个结论:AOC与BOD互为余角；AOC、COD、BOD互为邻补角.其中说法正确的是_(填序号).图521 图5226.如图522，已知OCAB，OEOD，则图中互余的角共有_对.课下作业一、填空题(每题5分，共50分)7.如果C
5、DAB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为_.8.如图523，直线AB、CD、EF交于一点O，COEF且GOB=30，AOC=40，则COE=_.9.从钝角AOB的顶点O引射线OCOA，若ACOCOB=31，则AOB=_.10.如图524，直线AB、CD相交于O，EOAB，OB平分DOF，若EOC=115，则BOF=_.COF=_.图523 图524二、选择题(每题5分，共10分)11.如图525，PQR等于138，SQQR，TQPQ则SQT等于( )A.42 B.64 C.48 D.24 图525 图52612.如图526所示，AB、CD相交于点O，OEAB，
6、那么下列结论错误的是( )A.AOC与COE互为余角 B.BOD与COE互为余角C.COE与BOE互为补角 D.AOC与BOD是对顶角三、解答题(每题20分，共40分)13.OC把AOB分成两部分且有下列两个等式成立：AOC=直角+BOC；BOC=平角AOC，问(1)OA与OB的位置关系怎样?(2)OC是否为AOB的平分线?并写出判断的理由.14.如图527，已知AB、CD、EF相交于点O，EFAB，OG为COF的平分线，OH为DOG的平分线. (1)若AOCCOG=47，求DOF的大小；(2)若AOCDOH=829，求COH的大小.图527参考答案课前热身1.两条直线互相垂直时，所得的四个角
7、中有_个直角.答案：42.过一点_条直线与已知直线垂直.答案：有且只有课上作业3.如图519，OAOB于O，直线CD经过点O，AOD=35，则BOC=_.答案：1254.如图520，直线AB与CD相交于点O，EOAB于O，则1与2的关系是_.图519 图520答案：互为余角5.如图521，O是直线AB上一点OCOD，有以下两个结论:AOC与BOD互为余角；AOC、COD、BOD互为邻补角.其中说法正确的是_(填序号).图521 图522答案：6.如图522，已知OCAB，OEOD，则图中互余的角共有_对.答案：4课下作业一、填空题(每题5分，共50分)7.如果CDAB于D，自CD上任一点向AB
8、作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为_.答案：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直8.如图523，直线AB、CD、EF交于一点O，COEF且GOB=30，AOC=40，则COE=_.答案：209.从钝角AOB的顶点O引射线OCOA，若ACOCOB=31，则AOB=_.答案：12010.如图524，直线AB、CD相交于O，EOAB，OB平分DOF，若EOC=115，则BOF=_.COF=_.图523 图524答案：25；130二、选择题(每题5分，共10分)11.如图525，PQR等于138，SQQR，TQPQ则SQT等于( )A.42 B.64 C.48 D.24图525答案：A12.如
9、图526所示，AB、CD相交于点O，OEAB，那么下列结论错误的是( )A.AOC与COE互为余角 B.BOD与COE互为余角C.COE与BOE互为补角 D.AOC与BOD是对顶角图526答案：C三、解答题(每题20分，共40分)13.OC把AOB分成两部分且有下列两个等式成立：AOC=直角+BOC；BOC=平角AOC，问(1)OA与OB的位置关系怎样?(2)OC是否为AOB的平分线?并写出判断的理由.答案：(1)OAOB (2)O(C为AOB的平分线，因为BOC=AOC=45.14.如图527，已知AB、CD、EF相交于点O，EFAB，OG为COF的平分线，OH为DOG的平分线.图527(1)若AOCCOG=47，求DOF的大小；(2)若AOCDOH=829，求COH的大小.答案：(1)DOF=110 (2)COH=107.5
