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1、高等数学教学中应加强的几个重要思维玛瑙 朝鲁 哈斯(内蒙古工业大学内蒙古呼和浩特 010062 4)葛根图雅（呼市教育学院 01005l 5）左卉（内蒙古农业大学 0l0018）摘要：本文简要分析说明了大学高等数学教育及学习中应注意的几个问题：认识到数学既是专业工具，也是培养创造性思维的载体；它既具体又具抽象性；在教育教学过程中应加强几个重要思维的应用和培养；教师的教学及学生的学习中充分加强数学的人文作用。关键词：高等数学 创造性思维 类比思维 归纳思维 发散思维 逆向思维一、对数学教育的几点认识数学作为一门课程进入学校是公元前就开始了的，即拍拉图时期。至今已 2400 年左右。他的学生不懂数
2、学不能进入他的课堂。现在我们看到在全世界最普遍开设的课程是数学。其开设时间之长，唯有本国语言文学课程可以与之相比。人类是如何达成这一共识的呢?是如何确定数学有如此重要地位的呢?数学除了作为普通使用的科学思维工具之外，它还靠近人文学，对人的成长、文化素养的形成具有促进作用。在传统的数学教育教学程中(很长时间以来) 过份强调学习的目的全在于应用。与此观念相应，数学只被作为一种工具来学习和掌握，不学好数学就学不好其它课程及工程技术，在我们的实际教学中，常常优先提出的问题是有没有用?而这里的“用”并不包含对人的发展有没有用，或者说对人的全面发展有多少推动作用，它是指狭隘的实用，数学的用途十分广泛，其广
3、泛程度超过任何一门自然科学门类。然而容易被忽视的还有另一种用途：对人的发展作用。实用主义降低了数学的作用，或者它只注意到数学在科学技术中的作用，而未注意到人文作用。数学教育的主要任务应该是培养学生具有创造性的数学能力和解决实际问题能力，从而使学生具备创造性的科学能力，而创造性能力的体现是创造性思维的发展和应用，养成的方法与技巧。 数学知识和数学方法是整个人类知识结构中的两个重要组成部分。但知识并不能直接转化为能力，这种转化必须以思维为中介才能实现。因而数学知识(方法) 是数学思维活动具体化的结果，所以说整个数学教学过程就是数学思维活动的过程。将思维应用于教学中必然提高教学水平，更重要的是培养学
4、生的创造性思维和科学方法。但是目前我们的教学在这方面的挖掘不尽人意。以传授知识为主，照本宣科，过分强调逻辑思维，特别是演绎逻辑，而这些对开发学生们潜在的创造性能力很不利，我们应当冲破传统数学教学中数学思维单纯地理解为逻辑思维的旧观念，把归纳、类比、发散、逆向等思维作为一种结合数学的内容特点进行教学。培根曾说，哲学使人深刻，读诗使人聪慧，数学使人精细，其实，数学不仅使人精细，数学也能使人深刻使人聪慧，并非每个人都一定要专读哲学，亦非每位人都要写诗。然而，每个人都必须读数学、练数学、做数学、要长期系统地读和练，因为数学确实不仅实用，更因为它能使我们更精细，更深刻，更聪慧。从而学习数学过程是人具备创
5、造性思维的不可缺少的过程。数学有许多思维方法，这种思维通过书本或教师传授使学生得以领会时，学生的思维能力得蓟加强。水平得到提高。首先，容易想到的是数学对人的思维发展的影响。当一门学科的真正被把握是需要人具备某些素质的时候，而人不一定当初就具备了这些素质。而往往在把握的过程中有可能形成这些素质。正是在这个意义上，数学的学习成为人具备创造性思维的训练过程您经常做数学训练，就是在让您的思维得到不断的锻炼，在培养着自己的创造性能力提高这创新能力，因而才会对社会，对人类有更多更好的作用，个体本身也才会有全面的发展。二、培养创造性思维的几项措施1、高等数学的教学应努力培养学生的创造性思维江泽民同志在全国科
6、技大会上指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力，没有创新能力的民族难于屹立于世界先进民族之林。 ”在教学过程中，努力培养学生的创造性思维是 培养学生创新能力的重要的环节。因为创新能力是在相应的创造性思维。的支配下，进行的一种积极的、能动的活动。创造性思维是一切创新活动的核心和灵魂。数学教学提供了培养创造思维的锻炼机制和载体；2 、以数学思想和方法的传授为主加强学生对数学内涵盼领悟与延伸能力及自学能力的培养只有这样才能使学生具备分析问题解决问题的能力；形成技能、技巧适应未来科技、社会发展；适应个体全面发展的需要；3、尽量使抽象的数学具体化（返璞归真） ，克服学生在数学认识上的
7、障碍。 这里包括注重微积分的物理背景，各类应用模型，以及抽象概念的演化发展等 0 为此；用生动有趣的例子是非常有效的。如；用复合材料纤维铺设来解释微分方程正交线的应用；用银行的利息来解释重要极限；用计算机的四则运算说明级数展开的必要性；各种具体问题的微分方程模型的建立的重要性；用随机震动受正弦力导致两类非齐次微分方程的问题等；4、使学生切实地掌握专业工作所需要的数学工具和语言手段，把它作为教学的第一目的；做到教师的教学行为与学生的学习动机的统一；并且讲究教学相长的作用；5、坚持有思想内蕴和原理透彻的数学教学；使学生不仅求得数学的真才实学而且受到创造精神的启发；只有原理透彻的数学教学才能真正达到
8、教学的生动活泼，启人智慧，培育理性思维素质。在教学上，固然要克服数学的抽象化和形式化带来认识上的负面影响，同时更要坚持基本，而必要的抽象化和形式化的科学工作方法的学习和训练；6、强调一元微积分的基础作用。许多数学思想体现在一元微积分中，为后继多元微积分教学创造良好的条件。所以一年级的教学对大学生来讲至关重要，将影响整个四年的学习，求学习惯和能力的形成，甚至影响科学态度，科学作风的形成，更影响科学方法的掌握。重点采用类比、归纳法，使教学和学习效果得到提高。不要使教师和学生的积极性在浩瀚如海的数学符号、演算当中葬送。 、应当在简练轻松的教学过程当中学习、掌握知识培养学生各方面的素质。从中老师得到教
9、的快乐，学生获得学的兴趣。如二元微积分中重点讲授与一元本质不同点(极限的方式) ，其类同点，让学生自己去归纳，可以较大幅度地避免繁重的符号和公式推导。例题少而精。这样教起来轻松；学起来容易。教学效果得到大幅度提 高。如果有条件上数学试验。与现代技术相结合效果更加好。给学生留了很多思考、总结、归纳、动手机会。如让学生写关于微积分基本定理、导数、极限的关系的认识的总结等等。对数学内容有整体认识；同时形成数学科学素质。三、 ，教学中应注重的几个重要思维的认识 1培养学生的类比思维著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。” 类比是根据两个(或多个) 对象内部属性、关
10、系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。类比为人们的思维过程提供了更广阔的 “自由创造”的天地，使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式，从而受到很多著名科学家的重视与青睐。例如、极限、连续、导数、微分、积分、级数、微分方程均有线性性质(它们的共性) ，而这个共性可以升华到线性算子的理论上。还有几类积分的类同性(对象不同。但处理方式相同，从而体现元素法的重要性)、多元与一元微积分 (点与线，线与面的关系 )，各类级数(均简单项的和)与广义积分(类似的收敛发散概念及类似的判别法 )，各类微分方程求解(各种变换)等等都具有很丰富的类比性，又如，各种中值定理、微分与积分的几何类比、物
11、理类比等。著名数学家、教育家波利亚说， “类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。 ”因此，应在教学过程中特别重视采用类比方法，引进教学与学习(教会学生学习)活动，使学习活动更加具体化，更加生动。实践证明，在教学中，从学生已熟悉的知识。通过类比而引伸出薪的概念、新的理论，不但学生易于接受、理解、掌握，更重要的是有利于培养学生类比思维，是在对学生创造力的开发。如，在高等数学中，几个中值定理的讲授中就可采用类比，将各中值定理的条件、结论、几何意义相互类比，然后分别说明各自所在的地位、环境及作用，就能取得好的教学效果。除了数学之外教学当中还可以延伸讲类比思维在其他学科
12、中的应用的例子。如，从古到今“仿生学”就是建立在类比思维原则上建立起来的。仿生学是用“生物机制”作类比。例如见到燕子的飞翔，就使人们想到设计滑翔机和飞机；看到鱼在水中的游，就使人们想到潜艇、鱼雷的制造。这种思想包括“类比一联想一预见”的步骤，而数学的每一个概念、结论的深入，也是按着这个步骤展开的。类比推理是创造性地表达思维、传授知识的重要手段，在教学过程中如能积极主动地运用类比进行讲解、论证，必将收到事半功倍的教学效果，书越教越薄，越学越薄。我们的学生的创造能力也会得到提高。如实数的四则运算与向量代数的运算进行类比，我们只重点告知向墨运算与实数运算的不同之处，而无须化很大精力去关心与实数相同的
13、运算规律，而用几句说明即可。同样一元与多元微积分的本质差别也可类比。2培养学生的归纳思维归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。著名教学家拉普拉斯指出：“在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。 ”归纳是在通过多种手段(观察、实验、分析 )对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理。归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性。而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维。就是要从众多的事物和中找出共性和本质的东西的抽象化思维。更直接地讲从简单特殊的例子中，利用归纳法预见到进步的带有一般性质的结论。从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法
14、则、的形成，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算，然后归纳出其共性和本质的东西。 例如：导数，微分、积分、哥德巴赫猜想，费马猜想，素数定理等等。又如从一阶、二阶常系数线性齐次微分方程通解的结构及其求解法，可以归纳出 n 阶常系数线性齐次微分方程通解的结构及其求解法(n 阶导数，多条件拉格朗日乘数法等) 。又如，各类 多元复合函数求导归纳出连锁法则，进而知道隐函数、参数方程求导，再进一步延伸到空间曲线切线、法平面的求法；由一、二阶线性方程的解的结构归纳类比出高阶线性方程解的结构，进而猜想到其它类线性方程解的结构，如线性代数中的线性方程组的解的结构，故对工程数学中的核心内容方程组 基础解系提早
15、了解，到时候学起来得心应手。还对 线性微分方程组，一般线性方程(组)的叠加原理有初步的了解，为以后学积分变换，复变函数、数理方程甚至学物理、力学等都有启发作用，起到举一反三的效果；使教与学的灵活性提高。教师在讲解上述这些内容时，不但要使学生掌握归纳方法的要点、本质，更要使学生树立起归纳的意识，并使他们认识到它在仓新能力中的作用与价值，使学生能在学习和工作中能有意识的去运用，这样有利于对学生创造思维的培养。教学中，首先教师要以身作则，要在教学的各个环节给予学生以示范，其次再要求学生去运用，去掌握。3培养学生的发散思维我们过去的教学较侧重学生接受和记忆书本知识，也就是较注意培养学生的收敛思维。为了
16、培养学生的创新能力，我们在教学中更要有意识地培养学生的发散思维。所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。因此，也把发散思维称为求异思维。它是一种重要的创造性思维。为了培养学生的发散思维，高等数学教学中常用“一题多解” 、 “一题多变”等方式，引导学生发散式地思考问题。例如对一个求曲面面积的问题可要求用多种方法做(定积分、二重积分、面积分、线积分、格林公式、奥高一斯托克斯公式等)在此过程中学生发现问题、理解概念方法、融会贯通。例如，多元复合函数求导可以用多种方法获得；直线平面问题的相互求解；积分计算和微分方程求解的一题多解法等等。发散思维的特点是人们对问题进行研究时其思维以立体方式活动，人的思维应广阔的空间奔驰，与问题相关的对象( 形或质上相关) 相互联系，且思维核心集中在该问题的解决上。培养这种思维方式必须有合适的平台和时间，
