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1、第七讲 二次根式的运算 式子 (0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础 (1) (0)； (2) ()； (3) ()； (4)(0) 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等例题求解【例1】 已知，则= (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手 注： 二次根式有如下重要性质： (1)
2、，说明了与、一样都是非负数； (2) (0)，解二次根式问题的途径通过平方，去掉根号有理化； (3) ，揭示了与绝对值的内在一致性著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题 提示：【例2】 化简，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题) A B CD思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式提示：原式= （C） 【例3】计算： （1）； （2）； （3）；（4） 思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此
3、为解题的突破口（1）原式= （2）原式=（3）考虑一般情形原式（4）【例4】 (1)化简； (北京市竞赛题)(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算 (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨 （1）把4+2万与42分别化成一个平方数化简，原式此外，由于4+2与42是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原式(2) 原式(3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题原式 【例5】 已知，求的值(山东省竞赛题)思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方
4、的角度试一试原式可化为：即，因此有，得；，得；，得。故。学历训练1如果，那么= 2已知，那么的值为 (成都市中考题)提示：原式3计算= (天津市选拔赛试题)原式4若 ab0，则等式成立的条件是 (淄博市中考题)，即故，因此， ，5如果式子 化简的结果为，则x的取值范围是( B ) Ax1 Bx2 C1x2 Dx 0 (徐州市中考题)6如果式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ C ） A B C D7已知，则的值为( D ) A B C D8已知，那么的值等于（ ）A B C D3 9计算： (1)； （2）； （3）；（4） (“希望杯”邀请赛试题) 10(1)已知与的小数部分分别是a
5、和b，求ab3a+4b+8的值； (2)设，n为自然数，如果成立，求n11如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响 （1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：，) (贵阳市中考题)12已知，那么= (杯全国初中数学联赛题)13若有理数x、y、z满足，则= (北京市竞赛题)14设，其中a为正整数，b在0，1之间，则=
6、15正数m、n满足，则= (北京市竞赛题)16化简等于( ) A54 B4一1 C 5 D1 (全国初中数学联赛题)17若，则等于( ) (2004年武汉市选拔赛试题) A B C1 D118若都是有理数，那么和 ( ) (“希望杯”邀请赛试题) A都是有理数 B一个是有理数，另一个是无理数 C都是无理数 D有理数还是无理数不能确定19下列三个命题： 若，是互不相等的无理数，则+是无理数； 若，是互不相等的无理数，则是无理数； 若，是互不相等的无理数，则是无理数其中正确命题的个数是( ) A 0 B1 C2 D3 (全国初中数学联赛试题)提示：是有理数；答案A是有理数； 是有理数。20计算：（
7、1）； （2）； （3）；(4) ； (5) 提示：（1）原式；（2）原式； （3）先看通项故原式（4）原式； （5）原式21(1)求证；(2)计算（“祖冲之杯”邀请赛试题）提示：（1）因为，所以原式左边=右边（2）设，则原式22(1)，求的值；(2)设x、y都是正整数，且使，求y的最大值 (上海市竞赛题)提示：(1)注意到，原可化为： 故=（2）设，23试将实数改写成三个正整数的算术根之和(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)提示：题目的意思是：，因此配方使=故 24求比大的最小整数 (西安交通大学少年班入学试题)提示：设，则，那么 ，即 ，由于，故， 同减，得，同乘得，即故比大的最小整数为 。8
