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1、华中科技大学物理学院 姜巍 2012年4月25日,电磁学I 静电学B 高斯定律与环路定律 Electromagnetism I - Electrostatics B Guasss Law and Loop Law,Faraday引入电场线描述电场强度,电场线的性质：,一、电场线和电通量,1.电场线（E线）,静电场的高斯定理,Gauss Law of Electrostatic Fields,1.电场线起于正电荷止于负电荷，不会中断;,3.任意两条电场线在空间都不会相交;,2.静电场中的电场线不形成闭合曲面。,几种特殊情形下电场线分布,2).规定电场中某点场强大小,，称为电场线密度,垂直通过无限
2、小面元 的电场线的数目,的比值,1)电场中某点场强的方向：,电场线上每点切线的方向表示该点场强的方向。,=电场线密度,给出场强的大小,2.电通量,定义：通过电场中任一给定面的电场线总条数，就是该 面的电通量E。,1o 设场中有一平面S，,2o,E= Scos,曲面S上,各点的 E 大小方向均不同,S,dS,取面积元dS，其上的电通量：,S面上的总通量：,E,非均匀场的电通量,当S为闭合曲面时：,对闭合面的法线方向规定：,自内向外为法线的正方向,电场 线从曲面内向外穿出,而电场线从曲面外向内穿进,E的单位：,物理意义：表示净穿出(入)闭合面的电场线的总条数,有净电场线从曲面内向外穿出,有净电场线
3、从曲面外向内穿入,例1：求均匀电场中通过一半球面的电通量。,通过S1和S2的电通量相同。,例2：如图所示 ，有一个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电场中，求通过此三棱柱体的电场强度通量 .,解,二.真空中静电场的高斯定理,静电场的基本规律之一,（1）高斯定理,即：,内,在真空中的静电场中，通过任意闭合曲面 S（常称为高斯面） 的电通量E ，等于该闭合曲面内所包围的所有电荷电量代数和的（1/0）倍，,而与闭合面外的电荷无关。,证明：,(1) 场源电荷为点电荷q且在闭合曲面内，,(a)若闭合曲面为球面且点电荷q位于球心，,通过球面S上的电通量为：,S,电通量与半径r无关，即以点电荷q为中心的任一球面
4、，无论半径大小如何，通过球面的电通量都相同。,(c) 若闭合面S不为球面，有S与S包围同一个点电荷q，,由电场线的连续性可知：,结论,电通量与闭合曲面形状和尺寸无关。,S,S,(b)若点电荷q不位于球心，电通量,电通量积分值不变。,(2) 若任意曲面S不包围点电荷q,0,穿入的 电场线,穿出的 电场线,S,结论:曲面外的电荷对曲面的电通量无贡献,积分值不变。,因：通过相同立体角的电通量相同。,(3) 若场源电荷为一点电荷系（或连续带电体）,任意点的电场强度为:,高斯面为任意闭合曲面，,S,其电通量为:,由单个点电荷的结论,qi在S内,qj不在S内,定理得证！,内,2思考：封闭面S 上的场强E是
5、否与S面外的电荷无关？,1 E只决定于S面包围的电荷， S面外的电荷对 E无贡献。,32,3 若S内的电荷是连续分布,E 是由全部电荷(面内外电荷)共同产生场强的矢量和，,注意,曲面S内 带电体的体积,而通过曲面的E由曲面内电荷决定。,电磁场的基本方程之一,有净电场线从闭合面内发出,有净电场线到闭合面内终止,正电荷是电场的源头 负电荷是电场的汇聚,若,若,高斯定理的微分形式：,电场强度的散度，等于电荷体密度 与 之比。,梯度算符,在点电荷 和 的静电场中，做如下的三个闭合面 求通过各闭合面的电通量 .,四 高斯定理的应用,其步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面 一般取E相等的曲面上
6、； E相等的面不构成闭合面时，另选法线 的面 应用高斯定理计算 分别求出 和 从而给出E,（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）,内,例3. 求均匀带电球面的电场。 设半径为R,电量为+q。,dq,dE,R,解：取r为半径的同心高斯球面S,o,r,E,o,R,+q,二、用高斯定理求E,内,当,内,例4.求均匀带电球的电场分布。 设半径为R,电量为+q。,解：取以r为半径的同心高斯球面S,r,E,o,R,点电荷的电场在 r0 时, E.,例5. 用高斯定理求均匀带电的 无限长圆柱棒的电场分布,已知线电荷密度 。,解：,取半径为r, 高为h的同轴高斯圆柱面,通过该面的电通量：,0,0,侧面
7、,侧面,对有限长的棒 不成立,1 r0, E？,无限长均匀带电圆柱体,无限长均匀带电圆柱面,2 两平行输电线的电场分布？,体密度,3 同轴电缆的电场？,例6.无限大薄平板均匀带电，面电荷密度+ ， 求 场强分布?,解：,由电荷分布可知场相对平面对称,过场点作闭合高斯柱面,平板,与板等距离平面上E相等,方向：垂直于平板向外,内,并且,内,例7. 无限大平板厚度为d ，电荷体密度为 ， 电场强度如何分布？,解：,均匀电场,板内：,板外：,如图在平板内、外作底面为S的高斯柱面：,电场相对板的中心平面对称,例13. 真空中有一均匀带电球体，电荷体密度为0，今在其中挖出一球形空腔，已知球体中心到空腔中心
8、的矢径为 试证空腔内为均匀电场。,p,证明：p 点的场强为,完整的带“+ ” 的大球在 p 处的场。,完整的带 “- ” 的小球在 p 处的场。,同理：,证毕。,（用补偿法）,若无限长带电圆柱面上缺了一长条，,如何求轴线上一点的场强？,显然，空腔中的场是均匀的。,1. 下列说法是否正确：,（2） 静电场中任一闭合曲面S，若有 ， 则S面上的 E 处处为零。,答：不对（如图）。,（1）应用高斯定理的条件是电场必须具有对称性。,答：不对。,（3）若闭合曲面 S 上各点 的场强为零时，则 S 面内必 定未包围电荷。,答：不对（如图）。,2. 有一对等量异号的电荷如图，求通过S1、 S 2、S3、 S
9、4 各面的电通量。,解：,3. 空腔中能否作一高斯面求得腔内任一点的 场强为零？,答：不行！虽然空腔中E处处相等，但方向 不与 平行， 用高斯定理仍然不能求出场强。,（4）三个相等的点电荷置于等边三角形 三个顶点上，以三角形的中心为球心作一 球面S如图，能用高斯定理求面上的场强。,但有 成立。,答：不对。,一、静电场力作功,1. 静电场对带电体(带电粒子)的作用力,（1）一个点电荷q 处在外电场 E 中,q受到电场力：,（E为所在点的场强）,（2）点电荷系处在外电场 E 中,每个点电荷受力：,点电荷系受的合力：,（3）连续分布的带电体在外电场E中受力,带电体受合力：,静电场的环路定理,Circ
10、uital Theorem of Electrostatic Fields,电荷元dq受力：,2. 静电场力的功,（1）单个点电荷产生的电场中静电力做功,将电荷qo从a点移动到b点, 电场力作功 A=？,c,r,在任意点c, qo的位移 ,r +dr,=Fdr,q,ra,rb,受电场力,电场力作元功为,静电力作功 与路经无关,场源电荷,电场力作总功为,静电力做功只有起点和终点的位置有关。,（2）推广：点电荷系产生的电场力做功,任意点c处的电场为：,每一项都与路径无关,1试验电荷在任意静电场中移动，静电力作功只有路径的起点和终点位置有关，静电力作功与路经无关。,2静电力是保守力，静电场是保守力场
11、。,结论：,将电荷qo从a点移动到b点 电场力作总功：,二、环路定理,在任意电场中, 将qo,经L2,闭合路径一周，,静电场的环路定理,即：在静电场中，电场强度的环流（环路积分）恒为零。,L1,L2,b,.,静电力作功：,1o场论中，若一矢量场的环流始终为零，则称该矢量场为无旋场。,静电场两个基本性质：,高斯定理：,有源场,环路定理：,无旋场,内,2o运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将在磁场中讨论。,电学第二次作业 T1 ， T2 ， T3 ， T4,独立完成 图和公式要有必要的标注和文字说明 作业纸每次都要写学号 课代表收作业后按学号排序，并装入透明塑料袋 每周二交上周作业，迟交不改
12、作业缺交1/3以上综合成绩按照0分计算,今日科学家：高斯(Johann Karl Friedrich),高斯,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并有“数学王子”的美誉。,高斯的贡献,数学： 近代数论创始人 计算数学/最小二乘法创始人 非欧几何(微分几何)创始人之一 代数学基本定律 复变函数创始人之一 天文学： 轨道的精确计算(沿用至今/适合计算机模拟) 物理学： 电学与磁学的贡献(高斯定律) 地球第一种磁场分布图/磁极的确定 力学、测地学、水工学、电动学 通讯技术：1833年和韦伯一起发明有线电报(电信技术的起点),今日笑话(一),A yo
13、ung physicist, upon learning that he was denied tenure after six productive years at a University in San Francisco, requested a meeting with the Provost for an explanation, and a possible appeal.At the meeting, the Provost told the young physicist, “Im sorry to tell you that the needs of the Univers
14、ity have shifted somewhat, during the past six-years leading up to your tenure decision. In point of fact, what we now require is a female, condensed-matter experimentalist. Unfortunately, you are a male, high-energy theorist!“ Dejected but not defeated, the young physicist thought for a moment abou
15、t the implications of the Provosts words. “Sir,“ he said, “I would be willing to convert in two of the three categories you mention, but . Ill never agree to become an experimentalist!“,今日笑话(二),A theory is something nobody believes, except the person who made it.An experiment is something everybody believes, except the person who made it. Albert Einstein,Physics professor has been doing an experiment, and
