立体几何初步复习讲义

《立体几何初步复习讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何初步复习讲义（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、立体几何初步复习,空间几何体,多面体,旋转体,棱 柱,棱 台,棱 锥,圆 柱,圆 台,圆 锥,球 体,一 空间几何体,柱锥台球,圆锥,圆台,多面体,旋转体,圆柱,棱柱,棱锥,棱台,概念,结构特征,侧面积,体积,球,概念,性质,侧面积,体积,空间几何体:,对于空间的物体,如果只考虑它的的形状、大小和位置，而不考虑物体的其他性质,从中抽象出来的空间图形叫做空间几何体。,多面体的定义：,(1)定义:由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体,(2)多面体的面： 多面体的棱： 多面体的顶点： 多面体的对角线：,围成多面体的各个多边形,两个面的公共边,棱和棱的公共点,不在同一面上的两个顶点的连线段,(3

2、)多面体的分类:,四面体,五面体,六面体,柱、锥、台、球的结构特征,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆台,棱台,球,结构特征,有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。,棱柱(分类),柱、锥、台、球的结构特征,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆台,棱台,球,S,A,B,C,D,结构特征,有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。,柱、锥、台、球的结构特征,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆台,棱台,球,结构特征,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.,有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何

3、体叫做棱柱。,一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台,(1)侧棱都相等： (2)侧面都是平行四边形： (3)两个底面与平行底面的截面是全等的多边形；,平行底面的截面与底面相似。,(1)上下两个底面互相平行； (2)侧棱的延长线相交于一点；,侧面展开图是一组平行四边形。,侧面展开图是一组三角形。,侧面展开图是一组梯形；,B,柱、锥、台、球的结构特征,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆台,棱台,球,A,A,O,B,O,结构特征,以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做

4、圆柱。,柱、锥、台、球的结构特征,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆台,棱台,球,S,A,B,O,结构特征,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。,柱、锥、台、球的结构特征,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆台,棱台,球,结构特征,用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.,柱、锥、台、球的结构特征,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆台,棱台,球,结构特征,O,半径,球心,以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体.,圆柱、圆锥、圆台 、球的比较,1个,底面,直观印象,圆台,圆锥,圆柱,2个(全等),2个(相似),球,无,延长线交于

5、一点,相交一点,平行且相等,母线,无,直角三角形,旋转图形,矩形,直角梯形,半圆,柱、锥、台、球的结构特征,棱柱,棱锥,圆柱,圆锥,圆台,棱台,球,（1）棱柱与圆柱统称为柱体。,（2）棱锥与圆锥统称为锥体。,旋转体,（2）棱台与圆台统称为台体。,多面体,圆柱的侧面积：,圆锥的侧面积：,圆台的侧面积：,球的表面积：,柱体的体积：,锥体的体积：,台体的体积：,球的体积：,常见结论,棱柱,侧棱垂直于底面,直棱柱,底面是正多边形,正棱柱,棱锥,底面为正多边形,顶点在底面的射影为正多边形的中心,正棱锥,正棱台 由正棱锥截的的棱台,处理台体的思想方法是还台于锥。,四棱柱,平行六面体,长方体,直平行六面体,

6、正四棱柱,正方体,底面变为 平行四边形,侧棱与底面 垂直,底面是 矩形,底面为 正方形,侧棱与底面 边长相等,几种六面体的关系：,空间几何体的三视图和直观图,中心投影,平行投影,A,D,C,B,平行投影,斜投影,正投影,中心 投影,从正面看到的图,从左边看到的图,从上面看到的图,三视图： 我们从不同的 方向观察同一物体 时，可能看到不同 的图形.其中，把从 正面看到的图叫做 正视图，从左面看 到的图叫做侧视图， 从上面看到的图叫 做俯视图.三者统称 三视图.,侧视图,正视图,正视图方向,俯视图方向,侧视图,正视图,1. 确定正视图方向；,3. 先画出能反映物体真实形状的一个视图(一般为正视图)

7、；,4. 运用长对正、高平 齐、宽相等原则画出 其它视图；,5. 检查.,2. 布置视图；,要求：俯视图安 排在正视图的正下方， 侧视图安排在正视图 的正右方.,侧视图方向,三视图的作图步骤,正视图方向,侧视图方向,俯视图方向,长,高,宽,宽相等,长对正,高平齐,正视图,侧视图,俯视图,（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o点画直观图时，把它画成对应的x轴、y轴，使 ，它确定的平面表示水平平面。 （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线（即平行性不变） （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来

8、的一半 (即横不变纵半）,斜二测画法的步骤：,规则：,（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、oy,再取oz轴，使xoy=450，且xoz=900 ；,（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半,（2）画直观图时，把它们画成对应的 轴，使 所确定的平面表示水平平面；,（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴 轴或 轴的线段；,练习,1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（ ）,A . 正视图反映物体的长和宽,B . 俯视图反映物体的长和高,C . 侧视图反映物体的高和宽,D . 正视图反映物体

9、的高和宽,C,2 . 若某几何体有一种视图为圆，那么这个几何体可能是 _。,球,.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,练习1 正方体ABCDA1B1C1D1， E是BB1上的点。画出平面AEC1 和平面ABCD的交线。,一、平面的基本性质,如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内,公理1,用来判定一条直线是否在平面 内,或直线上的点是否在平面内。,F,作用,如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共 点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线,公理2,1、用来判定两平面是否相交；

10、 2、画两个相交平面的交线； 即: 3、证明多点共线.,练习2： 已知ABC在平面外，AB、AC、BC的延长线分别与平面交于点M、N、P三 点，求证：M、N、P三点共线。,作用,1、确定平面 2、证明点、线共面。,公理3：,经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。,作用,推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。,推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。,推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。,二、空间两直线的位置关系,平行,相交,异面,共面,（两直线没有公共点）,（两直线只有一个公共点）,（两直线没有公共点）,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（也就是既不相交又不平行的两条

11、直线）,1、异面直线,O,E,F,E,F,AE和BF是异面直线吗?,AE和CF是异面直线吗?,2.异面直线的画法:,通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面的特点,如图所示, a、b 是两条异面直线,在空间中任选一点O，过O点分别作 a、b的平行线 a和 b,则a和 b所成的锐角, （或直角），称为异面直线a，b所成的角,也叫异面直线a，b 的夹角。,a,b,a,b,若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直。,异面直线a与b垂直也记作ab,异面直线所成角的取值范围：,平移,3.异面直线成的角:,O,4.求异面直线所成的角:,求两条异面直线所成角的步骤:,1.选点,引平行线找到所

12、求的角;,2.把该角放入三角形;,3.根据边角关系计算,求角.,例1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,CC1的中点，求AE,BF所成的角,例2：,已知正方体的棱长为a , M 为 AB 的中点, N为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。,解：,如图，取A1B1的中点E, 连BE, 有BE A1M,取CC1的中点G，连BG. 有BG C1N,则EBG即为所求角。,BG=BE= a， GE = a,由余弦定理，,cosEBG=2/5,在EBG中,E,G,若ab，bc,公理4 平行于同一直线的两直线互相平行,则ac,5.平行关系的传递性,例1：在正方体A

13、BCDA1B1C1D1中，直线 AB与C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？,例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。,解题思想：,把所要解的立体几何问题 转化为平面几何的问题是解立体几何时最主要、最常用的一种方法。,6.等角定理,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,右图平行六面体中与BAD相等的角是哪些角,为什么? 与BAD互补的角是哪些,为什么?,（1）点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有 条。,无数,返回,（2）点A

14、是直线l 外的一点，过A和直线l 平行的平面有 个。,无数,返回,（3）过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 个。,无数,返回,（4）过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有 个。,且仅有一,返回,（5）如果l1 / l2 , l1 平行于平面,则l2 平面,l1, 或 /,返回,（6）如果两直线a，b相交,a平行于平面，则b与平面的位置关系是 。,a,相交或平行,返回,填空： 1、空间两条不重合的直线的位置关系有_、 _、 _三种。 2、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是 _直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有_。 4 、过已知直线上一点可以作_条直线与已知直线垂直。 5 、过已知直线外一点可以作_条直线与已知直线垂直。,平行,相交,异面,平行,异面,无数,无数,相交、异面,1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( ) 2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( ) 3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。 ( ) 4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。 ( ),判断对错：,三、直线和平面平行的判定和性质定理,1.直线和平面的位置关系有哪些？,（1）直线在平面内：,（2）直线与平面相交