金融数学-第二章

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1、金融数学（引论）,主讲人：那日萨,2009年9月,利息理论应用,第二章 年金 年金 (annuity) 指以相等的时间间隔进行的一系列收付款行为,也指以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流,例如投保、领保、房贷等 注 : 本书涉及的年金均默认为确定年金(annuity-certain) ，即无条件确定发生的年金,第二章-3,年金现金流是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用 年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计算两大类,付款期 (payment period) 指两次年金收取之间的时间间隔,注：默认为时间间隔相等,利息理论应用,第二章-4,2.1 基本年金 基本年金 一种

2、最简单的年金方式满足 1）付款时期间隔相等 2）每次付款额度相同 3）付款的频率与计息的频率相同 基本年金主要可分为期末年金和期初年金两种典型情形,利息理论应用,第二章-5,期末年金(annuity-immediate) 期末年金 年金的现金流在第一个付款期末首次发生，随后依次分期进行。 n 期标准期末年金每次的年金金额为 1 个货币单位，现金流在第一个付款期末首次发生，共计n 次。,时间流程图：,利息理论应用,第二章-6,记号 表示比较日选为 0 时刻的n 期标准期末年金的所有年金金额的现值之和，简记“ ”。 注: 记号 也可以表示利率i 环境中的标准期末年金的现金流。 注: 记号 中“a

3、”是年金的英文单词的第一个字母，n 表示年金现金流的次数，i 表示年金的计算利率。,计算公式为：,利息理论应用,第二章-7,基本公式:,即 :0 时刻一个货币单位的价值 = (0,n上每次(利息)收入 i 的现金流价值( ) +n时刻一个货币单位的现值 ( ),2),即 :0 时刻一个货币单位的价值 = (0,n上对应的n期期末年金现金流( ),1),利息理论应用,第二章-8,记号 表示标准期末年金的所有年金金 额在年金结束时刻的终值之和,简记“ ”,计算公式为：,基本公式：,1）,利息理论应用,第二章-9,即：0 时刻一个货币单位在n 时刻的价值 = (0,n上每次(利息)收入i的现金流终值

4、( ) + n时刻一个货币单位(本金),2 ),即： n 时刻一个货币单位的价值 = (0,n上对应的n 期期末年金现金流( ),利息理论应用,第二章-10,与 关系式,1）,注： 为期初到期末的累积因子,2),注：由 1 )可得,利息理论应用,第二章-11,例 ：Find the present value of an annuity which pays $500 at the end of each half-year for 20 years if the rate of interest is 9% convertible semiannually.,利息理论应用,第二章-12,解:

5、 注: 年金的要求是定期支付,间隔相等,但却不 一定是“年度”的。具体计算可利用年金表或直接做数值计算。,例:现有十年期50万元贷款，年利率8%,试比较以下三种还贷方式的应付利息情况:,利息理论应用,第二章-13,A 在第十年底一次付清 B 每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清 C 每年底偿还固定的金额，十年还清,解:,方式 A :在第十年底的一次还款为,其中的利息为:,应付利息约为五十八万元,利息理论应用,第二章-14,方式 B:,每年所付利息为 总的利息付出为 应付利息为40万元,方式 C:,设每年的还款额为 R ，价值方程,解出,利息理论应用,第二章-15,10 年的付款总额为,其中的

6、利息总额为,应付利息约为 25 万元,注: 虽然三种应付利息结果不同,但所有还款的现值是相同的=原始贷款额 思考:为什么方式C 的利息金额较方式A 和方式B明显的小?,利息理论应用,第二章-16,期初年金(annuity-due),期初年金 在合同生效时立即发生首次的现金流，随后依次分期进行的年金方式 n 期标准期初年金每次的年金金额为 1 个货币单位，在合同生效时立即发生首次的现金流，共计n次,时间流程图,利息理论应用,第二章-17,记号,表示标准期初年金的现值之和,记号,表示标准期初年金的终值之和,利息理论应用,第二章-18,与,的关系式,1）,2),注: 注意与期末年金的相应公式比较,利

7、息理论应用,第二章-19,期末年金与期初年金的关系式,1）,2）,3),4）,注： 从现金流的角度来考虑,利息理论应用,第二章-20,例：某人现在开始每年定期地投入相同的一笔钱，希望在第十二年底（下一年度定期投入的前一瞬间）得到1 百万元的回报，如果年利率为7%， 试计算每年的投入金额。,解: 设每年的投入额为R, 第十二年底的价值方程为,从而有,即:每年初投入5万2千元，到12 年底总累积值为 1百万元,利息理论应用,第二章-21,递延年金（deferred annuity）,递延年金 若年金的首次发生是递延了一段时间后进行的。,递延m期的递延年金时间流程图,利息理论应用,第二章-22,从现

8、金流看，该年金相当于一个m + n期期末年 金扣除一个m期期末年金，即 ,其数 值等于,结论：递延年金的现值为两个定期年金的现值之差 思考：递延年金的终值是否也为两个定期年金的终值之差？,注：类似的有“递延m期的n期标准期初年金”,利息理论应用,第二章-23,永久年金,永久年金（ perpetuity） 若年金的支付（现金流）永远进行下去，没有结束的日期,记号 表示标准永久期末年金的现值之和，即有,注:,利息理论应用,第二章-24,注：,对于标准永久期初年金有,n期标准期末年金可用一个标准永久年金扣除一个递延n期的标准永久年金表示，相应流程图为：,利息理论应用,第二章-25,例：某人留下遗产1

9、0万元。第一个十年将每年的利息付给受益人甲，第二个十年将每年的利息付给受益人乙，二十年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行下去，均为年底支付。如果年利率为7% ，试计算三个受益人的相对受益比例。,解：甲的受益现值为：,乙的受益相当于七千份递延十年的十年定期标准期末年金,现值为:,利息理论应用,第二章-26,丙的受益相当于七千份递延二十年的标准永久期末年金,现值为:,结论：从而从现值的角度看，甲乙丙的受益比例近似为：49% 、25% 和 26%。,注:因为 ，所以丙相当于在二十年后完全继承了十万元。,利息理论应用,第二章-27,剩余付款期不是标准时间单位的计算 问题的提出： 现值为取整的货币量，

10、年金值也为取整的货币量，当两者不能平衡的时候，如何对零碎的部分进行处理？,例：原始投入500 元，年金为100 元，年利率3%。若年金为 5 年期，则上述年金的现值为457.97 与原始投入不平衡；若年金为 6 年期，则上述年金的现值为541.72，与原始投入也不平衡。,利息理论应用,第二章-28,解决方案一:最后一次付款额度上浮 第 5 次付款额度由原先的100 元上浮为 解决方案二：最后一次付款额度扣减 第 6 次付款额度由原先的100 元扣减为 解决方案三：从模型的内在一致性出发，在时刻5 与时刻6 之间再增加一次付款（额度小于100元）， 使得所有付款的现值之和恰好等于500 元 思考

11、：什么时刻付款、额度多少可以达到上述要求？,利息理论应用,第二章-29,定义：对于任意的 形式上定义下面 的计算：,上式右边的第二项表示:在时刻n + t的不足一个货币单位的年金金额 在 0 时刻的现值,注: 数学形式上的一致性,利息理论应用,利息理论应用,第二章-30,例:在上例中,设最后一次付款时间为 ，则由,可解出,相应最后一次的付款额度应为,利息理论应用,第二章-31,例 现有十万元的投资，年利率 5%，每年底定期收回 1 万元，试问：这样的定期回报可以进行多少年?对不足 1 万元的最后一次回报部分，按以下三种情况： 分别计算回报金额 ： A 不足部分与最后一次正常回报同时收回 B 不

12、足部分在最后一次正常回报的下一年底收回 C 不足部分在最后一次正常回报的下一年的某个等价时间收回,利息理论应用,第二章-32,解 时间流程图为 ： 计算最大的正常回报的时间 n：,利息理论应用,第二章-33,查表可得： 从而有 n = 14 . 和 分别表示三种方式对应的不足部分的金额，则有：,利息理论应用,第二章-34,在方式 C中,先计算 t： 即 得到 t=0.2067 进而有 注,利息理论应用,第二章-35,例:某人每年(年底)存入1000元,利率 8%,希望经过若干年后达到 25,000 元,若最后一次不足1000元的存款将在正常存款的一年后进行。试计算正常存款的年数和最后一次存款的

13、金额。 解：设最后一次的存款额为X, ,为了实现存款目的,在存款结束时的价值方程为 查表可得,利息理论应用,第二章-36,若n =13，则可得X=17851000 若n =14，则可得X=-11520 所以，不足部分不能按题目要求的方式进行存款。 思考：对于任意给定的现值，是否总有解？,利息理论应用,第二章-37,广义年金 广义年金 付款周期与利率换算期不同的情形 分如下两步来计算广义年金 ： 1) 将利率调整为与付款周期相同的名利率 设对应的名利率为 ，付款周期为 p(每个计息期内付款 p次)，在每个付款期内与 等价的利率为,利息理论应用,第二章-38,2 )用新的利率依前面的方法进行计算

14、例：现有投资方式为：前两年每季度初投入200元，后两年每季度初投入100元；该投资的月收益率为1%。试计算四年后总的投资收益。 解：首先计算与月收益率1%等价的季收益率j 从而可得总的投资收益：,利息理论应用,第二章-39,例：某 30万元的贷款计划分季度等量偿还 ，在五年内完成。如果贷款利率为半年名义利率10%，计算每次偿还的金额。 解：半年实利率为5%，等价的季度实利率为j 记每次的偿还额为R，则有 由此可得 R=300000/15.6342=19188.70,利息理论应用,第二章-40,几种典型情形的具体讨论 1）付款周期大于利息换算期 假定：付款周期（年金周期）是利率周期的整数倍 定义

15、记号： k 每个付款周期内的利息换算次数 n 年金的付款总次数 k i 每个利息换算期内的实利率(名利率/换算次数),利息理论应用,第二章-41,期末年金： 每个付款期末付款1元，流程图 该年金的现值为： 注 该年金等价于一个付款周期等于利息换算 期，数额为 的n期期末年金，,利息理论应用,第二章-42,相应的流程图为 该年金的终值为 ：,利息理论应用,第二章-43,期初年金： 每个付款期初付款1元，流程图 注 该年金等价于一个付款周期等于利息换算 期，数额为 的n期期末年金，相应的流程图为,利息理论应用,第二章-44,从而该年金的现值为 = 年金的终值为 =,利息理论应用,第二章-45,永久

16、年金 永久期末年金： 年金的现值 = 永久期初年金： 年金的现值 = 注 永久年金不考虑终值,利息理论应用,第二章-46,例：现有年利率i付款r次的年金：首次付款为第七年年底且金额为1元，然后每三年付款一次且金额均为1元，分别用期末和期初年金的形式表示这个年金的现值。 解：现值计算： 用期末年金表示为： 用期初年金表示为：,利息理论应用,第二章-47,注 可以把上面的现金流看成是期末年金或期初年金，然后分别转换为递延7期的期末年金或递延7 期的期初年金的形式来计算 。 例：10万元投资在每年底收回1 万元，当不足1万元时，将不足部分与最后一次的1万元一起收回。如果半年名利率为 7% ，试计算总的付款次数和最后一次的付款金额