如何用运动变化的观点认识初中几何课程中的几何变换与三角形全等

《如何用运动变化的观点认识初中几何课程中的几何变换与三角形全等》由会员分享，可在线阅读，更多相关《如何用运动变化的观点认识初中几何课程中的几何变换与三角形全等（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、如何用运动变化的观点认识初中几何 课程中的几何变换与三角形全等 赵生初 白成友 谭长平 卢秀敏 （北京中学 ； 人民教育出版社 ； 四川省平昌中学 ； 北京市海淀实验中学 ） 用几何变换的观点认识几何课程是数学发展 的本质体现 古埃及人在丈量土地的实践中积累起来的几 何知识“ 出口” 到希腊， 经泰勒斯、 毕达哥拉斯、 柏 拉图、 欧几里得等人的“ 加工” ， 开创了以几何为核 心内容、 以论证为主要方法、 以 几何原本 为主要 代表的论证数学的典范以 几何原本 为代表的 古希腊数学将逻辑学引入几何， 开创了用定义、 公 理（ 也包括公设） 、 定理来阐释几何的公理化逻辑 论证的先河， 以逻辑

2、推理能力为主要表现的理性 精神得到显现 但是希腊几何却缺乏对于运动的阐释， 尽管 欧几里得在 几何原本 的第卷证明命题 （ 相当于我们现在初中几何课程中的三角形全等 的 判定及全等三角形的性质） 时已经明确意 识到几何图形的讨论需要借助“ 移动” 、 “ 叠加（ 或 重合） ” 等运动变化的思想， 但 几何原本 并没有 真正建立起运动变化的观念， 整个 几何原本 并 没有从图形运动变化的角度来认识图形及几何问 题， 几何原本 中关于图形的数量及位置关系的 讨论完全是静止地、 技巧地构造三角形全等的方 法来展开的 数学的历史发展表明在解析、 分析及集合论、 群论的基础上发展起来的几何变换可以有效

3、地解 决传统欧氏几何课程中的上述不足把几何变换 引入传统欧氏几何既能保持欧氏几何在论证上的 优点， 又能很好地克服欧氏几何所缺乏运动变换 的观念 年克莱因在 爱尔兰根纲领 中将几何 变换用于认识欧氏几何， 促成了人类对几何本质 的深刻认识： “ 一种特定的几何学就是研究图形在 一个特定的变换群下维持不变的那些性质的学 问 例如， 平面的欧氏几何， 是那些图形性质在旋 转、 平移、 镜射以及相似性下维持不变的研究因 此， 当两个三角形全等时， 如果由欧氏的一个对 称、 一个平移、 一个旋转， 以及可能是一个镜射的 组合， 其中一个可以变换到另一个” “ 根据我于 爱尔兰根纲领 中提出的基本原则，

4、 几何学中的 不同方向采用的起始公设就可以这样来表征， 即 它们都 是 处 理 某 个 简 单 的 线 性 变 换 群 的 不 变 理论” 对于集合和它的一个变换群， 对于中 的两个子集、， 如果存在中的一个变换 ， 使 得（）， 那么就称集合与等价， 记作 ； 由于满足反身性、 对称性和传递性， 因而 构造一个等价关系； 这样就可以对集合按 进行分类， 所有等价的子集归为一类， 而不等价的 子集则归于不同的类， 集合中的每个元素都恰 好归于一个类 这样集合就可以称为一个空 间， 这个空间中的每一个元素就可以称为一个点， 它的子集则称为一个图形， 等价的图形归于同一 个等价类， 于是同一类里的

5、所有图形所共有的几 何性质和几何量就是这个变换群下的不变性与不 变量； 反过来， 如果图形在这个变换群中一切变换 下的不变性和不变量必定是同一个等价类中一切 图形所共有的性质 这样就可以利用变换群的观点来讨论或研究 相应的几何学： 对于给定的一个集合及其在此集 合上的一个变换群， 则在这个空间内对于此群的 所有不变性及不变量的讨论或研究就称其为这个 数学通报 年 第 卷 第期 空间中的几何学， 且称这个群为这个几何学所对 应的变换群这样一个变换群就相应地有一个在 此群作用下的不变性与不变量理论所构成的几何 学 在射影变换下构成射影几何， 在仿射变换下构 成仿射几何， 在正交变换（ 或等距变换）

6、 下构成欧 氏几何 由于欧氏平面上的正交变换构成群， 因此可 以利用正交变换建立合同（ 全等） 概念， 即一个图 形与经过正交变换所得到的对应图形合同 这样 两个图形之间的合同关系自然具有反身性、 对称 性和传递性， 因此两个图形之间的合同关系是一 个等价关系于是， 欧氏平面上的所有图形都可以 根据这个关系来进行分类， 所有合同的图形属于 同一个等价类， 这样欧氏几何就成为研究同一等 价类里一切图形所共有的性质， 图形关于正交变 换群下的不变性、 不变量所构成的所有命题就自 然构成欧氏几何的研究内容 可见， 从几何变换的观点来认知几何， 不仅几 何的本质能够得到深刻的揭示， 而且从几何变换 的

7、观点出发来揭示几何， 还能很好地沟通几何与 现代数学的联系， 有力地消除欧氏几何的“ 孤岛” 效应， 亦如史宁中所说“ ， 把变换的思想讲了， ， 这样就（ 能） 克服两个缺点： 知识陈旧和不直 观的问题” 几何变换的思想拓宽了我们认知初 中几何课程的视野， 用几何变换的方法来处理初 中几何课程是“ 把教学建立在现代数学的思想基 础上， 使中学课程的风格和语言接近于现代数学 的风格和语言， 使学生的思维向现代数学思维发 展” 的一个显著体现， 已经越来越受到重视 用几何变换来处理初中几何课程在 世纪 各国 的 几 何 课 程 中 都 得 到 了 普 遍 认 同， 英 国 （ ） 、 中国（ ）

8、 、 俄罗斯（ ） 、 德国（ ） 、 荷兰（ ） 、 法国（ ） 、 美国（ ） 、 澳 大利亚（ ） 等国先后公布的课程标准或相关文 件都明确规定了有关几何变换的课程内容 如何阐释初中几何课程中的几何变换 叠合是阐释初中几何课程中的几何变换的有 效手段之一 由于初中学生的认知水平、 心理、 生理、 知识 基础等多方面的限制， 在初中阶段不可能完全地 用现代数学中的变换方法来彻底改造初中数学中 的几何课程， 但从希尔伯特的 几何基础 来看， 可 以借助初中学生能够理解、 也能接受、 且易于操作 的叠合（ 或重合） 来实现初中几何课程中的几何变 换， 而且这样处理课程同样具有几何变换的内在 本

9、质 我们完全可以从希尔伯特的 几何基础 中的 公理化思想出发， 借助 课程标准 中所规定的基 本事实或公理中的前五个（ 见附录） ， 借助图形的 叠合来实现初中几何课程中的几何变换 “ 叠合” 可以当作初中几何课程中一个“ 原始 概念” 一方面， 叠合的思想或方法借助学生的生 活经验和动手操作实践完全可以为学生所接受； 另一方面， 从群论的角度来看叠合本身也满足反 身性（ 一个图形自身与自身能够完全叠合） 、 对称 性（ 甲图形与乙图形能够完全叠合在一起， 那么乙 图形显然也能够和甲图形完全叠合在一起） 和传 递性（ 甲图形和乙图形能够完全叠合在一起， 乙图 形和丙图形也能完全叠合在一起， 那

10、么甲图形和 丙图形显然也能完全叠合在一起）这说明两个图 形之间的叠合是一个等价关系 这样就可以对欧氏平面上的图形按叠合进行 分类， 所有等价的图形归为一类， 而不等价的图形 则归于不同的类， 欧氏平面上的每个图形都恰好 归于一个类此外， 图形叠合能保证恒等变换（ 即 一个图形在原地不动） ， 一次变换的逆变换（ 即一 个图形由第一个位置运动变化到第二个位置后能 够与这个位置上的图形叠合在一起， 反过来， 这个 图形从第二个位置运动变化到第一个位置依然能 够和第一个位置上的图形叠合在一起） 及变换的 合成（ 连续实施两次几何变换后依然能够使得第 一个位置上的图形和第三个位置上的图形叠合在 一起）

11、 均成立 这样借助叠合所实现的几何变换自 然构成群 这样， 借助图形的运动变化所实现的图形的 叠合完全符合变换群意义下的几何学， 因此初中 几何课程完全可以在这样的方式下讨论几何变换 前后图形与图形之间的不变性和不变量 事实上， 如果把几何图形看成点的集合， 那么 一个图形经过轴对称、 平移、 旋转等运动变化前后 两个图形之间完全能够建立起点与点之间的一一 对应关系， 进而构成一一变换， 而所有一一变换正 好组成变换群 用叠合阐释初中几何课程中的几何变换的 年 第 卷 第期 数学通报 意义 线段的长短比较、 角的大小比较、 三角形全等 都可以借助图形的叠合来帮助学生认知， 于是原 本静止的图形

12、就可以借助动手操作（ 如借助折纸 来认识轴对称、 通过纸片的转动来认知图形的旋 转， 通过纸片的推动来认识图形的平移） 或可视化 动态教学软件的演示（ 如 几何画板 、 超级画板 可以生动形象、 直观地演示图形的轴对称、 旋转、 平移） 来帮助学生认识两个图形之间的叠合这样 关于几何图形及其性质的认识、 关于几何问题的 论证就可以变静止为运动， 在操作、 演示的过程中 直观、 形象地帮助学生借助几何变换来认识， 既让 学生观察了几何变换的过程， 又让学生在观察、 实 践中实实在在地体会到了几何变换前后图形的叠 合及其相应的几何变换下所存在的几何不变性与 不变量同时， 在操作、 演示的过程中结合

13、 课程标 准 中公理或基本事实还能进行说理或论证 训练， 培养学生的理性精神， 把几何变换过程中所 揭示出的有关合情推理的结果与几何论证有机地 结合起来 如何用几何变换的思想认识初中几何课程中 的三角形全等 如何用几何变换的思想认识两个全等三角 形之间的重合 一般来说， 初中教科书中都只是简单地指出 “ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形” ， 但是到底如何才能实现处于任意位置上的两个全 等三角形之间的重合呢？下面， 我们从几何变换 的角度来讨论 仅借轴对称来实现的两个全等三角形之 间的重合 任意两个全等三角形， 都可以借助不超过三 次轴对称使得其中一个三角形与另一个三角形完 全实现重合

14、如图， 和 是同一平面内的 两个全等三角形， 且 ， ， ， 由于和 是一对对应点， 于是在作线段 的垂直平分线后作 关于直线的 对称三角形 ， 于是 ， 进而有 ， ； 现再次作线段 的垂 直平分线 （ 显然必然经过 ） ， 并作 关于直线 的对称三角形 ， 于是 ， 从而 ， 同理有 图 由于 与 有两点 与 重 合， 因此如果与 不重合， 那么由 及 知与 关于直线 对称； 这 样 与 关于直线 对称， 于是 将 沿直线 再作一次轴对称就能有 效实现与 的重合这表明两个全等三角 形其中的一个经过三次轴对称变换就可以与另一 个实现完全重合 如果 与已知重合， 甚至已经与 重 合， 则只需要经过两次甚至仅一次轴对称变换， 即 可将其中的一个三角形与另一个三角形实现完全 重合 借助平移、 旋转或轴对称实现两个全等三 角形之间的重合 为了便于后面的叙述， 我们先引用如下两个 关于三角形排列的基本概念 对于两个全等三角形来说， 如果一个三角形 的三个顶点与另一个三角形的三个顶点的不仅排 列顺序相同， 而且排列方向也相同， 那么我们称这 两个三角形之间的全等为第一类全