《信号与系统ch7讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统ch7讲义（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,引言,1。连续时间信号是连续时间变量 t 的函数,f(t) f(t),4 3 2 1 0 t 0 t,时间 t 连续 函数值连续,模拟信号,时间 t 连续函数值离散,量化信号,2。离散信号是离散时间变量 tk 的函数,离散时间信号可由对连续时间信号进行抽样得到,均匀抽样,幅度量化,离散信号的特点：,它是一个离散的数值序列，但序列中的每一数值仍按一定规律随离散变量tk 变化。,f(tk ) f(kT) f(k),2,例如，设,f (k) = a k t,当 k = 0、1、 2、 - 等整数时，得,-、a-2T、 a-T、1、 aT、 a 2T、-,如 a 2T 即为 k = 2 或 t =
2、 2T 时的函数值 f (2)。,3。离散信号的表示形式,（1）解析式,例 f1 (k) =2 (-1) k (k = 0、1、 2、 -) f2 (k) = k (1/2) k (k = 0、1、2、-),（2）序列形式,（3）图形,3,4。离散信号的基本运算,（1） 离散信号的和、差、积,将两离散信号序号相同的样值相加、相减与相乘而构成一个新的离散信号（序列）。,例： f 1(k) = (-1) k (k = 0, 1, 2, - ),f 2 (k) = k 1 (k = 0, 1, 2, - ),改写，得,于是有,4,（2） 离散信号的反褶,将 f (k) 的图形以纵轴为对称轴翻转 18
3、0 o ，得到 f (-k) 。,（3） 移序,将在 f (k) k 平面内的信号图形沿 k 轴向前（左）或向后（右）移动，这时信号各样值的序号都将增加或减少某个定值。,对一般离散信号f(k)：,f(k+1) f(k)前移（左移）一个序号,增序,f(k-1) f(k)后移（右移）一个序号,减序,对于离散时间信号f(k)=f(kT):,f(k+1)=f(kT+T)超前时间T,【f(k+1)比f(k)提前T】,f(k-1)=f(kT-T)延迟时间T,【f(k-1)比f(k)延时T】,5,例 已知,求 y (k) = x (k) + 2 x (k) x (k-2) 。,解：,6,（5） 序列差分,序
4、列 f (k) 的一阶前向差分 (Forward difference) f (k) 定义为： f (k)= f (k+1)-f (k),依此类推，二阶前向差分为,f (k)= 2 f ( k) = f (k+1) - f (k)= f (k+2)-2f (k+1)+f (k),二阶后向差分为,（6） f (k) 的能量定义为,7,5。常用典型离散时间信号,（1）单位函数,（2）单位阶跃序列,（3）矩形序列,三者关系：,（4）斜变序列,f(k),（5）单边指数序列,a0,序列值皆为正,a1 发散,a1 收敛,a0,序列值在正、负间摆动,8,（6）正弦序列,正弦序列角频率,周期T=N=10,仅当
5、 整数时，正弦序列具有周期,当 有理数而非整数，如 （N、M为无公因子的整数）时，正弦序列仍有周期性，但其周期为 ；,当 为无理数时，正弦序列不具有周期性，但其样值的包络线仍为正弦函数,如,包络线的周期T2.5=,9,6。离散信号的分解,7。线性非时(移)变离散时间系统,线性：,若 e1(k) y1(k) , e2(k) y2(k),则 c1e1(k) + c2 e2(k) c1y1(k) + c2 y2(k),非移变：,若 e1(k) y1(k),则 e1(k-i) y1(k-i),线性非移变系统：,若 e1(k) y1(k) , e2(k) y2(k),则 c1e1(k-i) + c2 e
6、2(k-j) c1y1(k-i) + c2 y2(k-j),（7）复指数序列,10,本章内容： 中心问题：已知激励，求响应 抽样信号与抽样定理 离散时间系统的描述和模拟 离散时间系统的时域分析,11,一、抽样信号与抽样定理,信号处理过程：,模拟信号,抽样信号,数字信号,模拟信号,（一）抽样信号及其频谱,抽样：,所谓“抽样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续时间信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。,抽样信号：,经抽样得到的信号称为抽样信号fs(t)。,抽样器示意,抽样器即是一开关s(t) :,数学模型,各抽样脉冲间隔的时间相同，均为Ts,均匀抽样,抽样（取样）频率,取样角频率,12,问
7、题：（1）fs(t)的频谱函数如何？与f(t)的频谱有何关系？ （2）在什么条件下，可从fs(t)无失真地恢复f(t)?,设,则由频域卷积定理，得,将s(t)展成付氏级数：,抽样信号的频谱:其形状决定于 ，其幅度决定于 ,且是 以 为周期重复的周期信号。而 只与n有关且取决于s(t)形状。,13,1.矩形脉冲抽样,2.冲激抽样,即取样脉冲序列s(t)为周期是Ts的冲激函数序列,14,（二） 由抽样信号重建原信号抽样定理,上述频谱图中:,此时,用一个理想低通滤波器就可以取出原信号的频谱,从而在滤波器的输出端得到原信号。,若,此时,抽样信号的频谱发生混叠,无法用低通滤波器恢复原信号,另外,如果被抽
8、样信号的频谱不是限定在有限带宽内,则抽样信号的频谱也会发生混叠,15,重建原信号的必要条件是：,抽样信号的频谱不能混叠。,则必须,(1) 有限,f(t)为有限频带信号（限带信号）；,(2) 抽样频率,即,奈奎斯特(香农)抽样频率, Nyquist (Shannon )抽样间隔,均匀抽样定理（香农抽样定理）：,一个频谱在区间（m ，m）以外为零的频带有限信号f(t),可唯一地由其在均匀间隔Ts(Ts1/2fm)上的样点值f(nTs)确定。当这样的抽样信号通过其截止频率c满足条件m c s m 的低通滤波器后，可以将原信号完全重建。,解决办法： （1）提高 s 。 （2）使用高阶滤波器。,16,二
9、、 离散时间系统的描述和模拟,（一）离散系统的数学模型差分方程,连续时间系统的数学模型微分方程,微分方程：,一阶,差分方程：,一阶,前向形式,后向形式,问题: 怎样由离散系统得到描述该系统的差分方程？,一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内所走过的距离等于前一秒所走过距离的2倍，试列出该质点行程的方程式。,例1,解：,设k秒末，质点的位移为y(k),某一秒：,第（k+1）秒第(k+2) 秒,17,位移 y(k+2) y(k+1),前一秒：,第 k 秒第(k+1) 秒,位移 y(k+1) y(k),依题意：,即,差分方程是处理离散变量的函数关系的一种数学工具，但离散变量并不限于时间变量。,18
10、,解： 为了写出此系统的差分方程，画出系统中第k+1个节点。,对于任一节点k+1，运用KCL不难写出,再经整理即得该系统的差分方程,再利用 ， 两个边界条件，即可求得 。,差分方程与微分方程在形式上相似！,19,比较,与,可看出，若 y(k) 与 y(t) 相当，则 y(k+1) 与 y(t) 相当。在一定条件下可相互转化。,一阶微分方程,考虑离散值（T足够小）:,令t = 0 , T ,2T ,kT,t kT ：,e(t) e(kT) = e(k) ,y(t) y(kT) = y(k) ,y(t+T) y(k+1)T = y(k+1),20,代入（1）式得：,二阶:,n阶：,差分方程的阶数：
11、差分方程中未知函数中变量的最高和最低序号的差数。,21,n阶微分方程：,T足够小时可近似为差分方程：,(二) 差分方程的算子形式,连续系统的微分算子：,定义：,n阶微分方程的算子形式：,22,离散系统移序算子：S,定义：,n阶差分方程的算子形式：,离散时间系统的转移算子,（三）离散时间系统的模拟,离散时间系统基本运算单元：,延时器、标量乘法器、加法器,23,延时器：,初始状态为零,初始状态不为零,1一阶差分方程的模拟,前向：,框图：,y(k+1) y(k),e(k),与连续时间系统的模拟框图非常相似（延时器代替积分器！）,后向：,y(k) y(k-1),e(k),y(k),24,2. n阶差分
12、方程的模拟,引进辅助函数q(k)：,即,25,框图(m=n)：,e(k) q(k+n) q(k+n-1) q(k+1) q(k) y(k),注意 :,在连续时间系统中,可能mn ; 但在离散时间系统中, mn,如y(k)=e(k+1)+e(k) (n=0,m=1)意味着k时刻的响应依赖于(k+1)时刻的激励,26,三、离散时间系统的时域分析,离散时间系统的分析方法:,1) 迭代法 : 以初始值为起点y(-1)=0 y(0) y(1) y(2) ,2) 时域经典法 : y(k)=yh(k)+yp(k),3) 分别求零输入响应和零状态响应(时域卷积和) : 全响应=零输入响应+零状态响应,4) 变
13、换域解法 : Z变换,27,(一) 迭代法,例,y(k) a y(k-1) = x(k) , y(-1) = 0 ， x(k) = (k) , 求 y(k),解 :,y(k) = a y(k-1) + (k),k = 0 :,y(0) = a y(0-1) + (0) = 1,k = 1 :,y(1) = a y(1-1) + (1) = a y(0) = a,k = 2 :,y(2) = a y(1) + (2) = a y(1) = a2,y(k) = ak , k 0,(公比为a的等比序列),(二) 零输入响应yZi(k),1。零输入响应的求取,一阶:,y(k+1) + a y(k) =
14、 e(k) ,已知 yZi(0) , 求yZi(k),28,yZi(k+1) + a yZi(k) = 0,(S+ a) yZi(k) = 0,yZi(k+1) = - a yZi(k),(S - ) yZi(k) = 0,此式表明: yZi(k)是一个公比为 (= - a) 的等比序列,求c :,yZi(0) = c(-a)0 = c,n阶: yZi(k+n) + an-1yZi(k+n-1) + + a0yZi(k) = 0,(Sn + an-1Sn-1 + +a1S+ a0) yZi(k) = 0,单根:,(S - 1)(S - 2) (S - n) yZi(k) = 0,29,(S - i ) yZi(k) = 0,m 阶重根的情况 :,(S - 1)m(S - m+1) (S - n) yZi(k) = 0,yZi(k) = (c1 + c2 k + +cm km-1) 1k +cm+1 m+1k + + cn nk,c1 , c2 , cn 由初始条件yZi(0) , yZi(1) , yZi(n-1) 确定,例1 已知 y(k+2) 5 y(k+1) + 6 y(k) = e(k+2) ， yZi(0) = 1 , yZi(1) = 4 , 求yZi
