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1、第十一章 弯 曲 应 力,11- 1 引言,纯弯曲：,横力弯曲：,在横截面上，只有法向内力元素 才能合成 弯矩 ，只有切向内力元素 才能合成剪力 。,11-2 对称弯曲正应力,从三方面考虑：,一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验,变形几何关系,物理关系,静力学关系,(1) 横线：仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。 (横截面仍保持为平面，但横截面间发生转动),(2) 纵线：变为弧线，靠近梁顶缩短，靠近梁底伸长。 (同一层（高度）的纵向纤维变形相同，即曲率相同),(3) 横截面：纵线伸长区，梁宽减小；纵线缩短区，梁宽增加。 (矩形横截面上宽下窄),实验现象
2、：,梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于 变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。,中性轴,中性层,二、物理关系,再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。,三、静力学关系,中性轴过截面形心,静矩,惯性积,y 轴是对称轴，成立,惯性矩,抗弯刚度,中性层的曲率公式,正应力计算公式,中性轴过截面形心,横截面上的最大正应力：,若 ，,若 ，,若 ，铸铁梁应如何放置才合理？,当中性轴是横截面的对称轴时：,抗弯截面系数,横截面上的应力分布图：,四、 横力弯曲时的正应力,上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的， 实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。,对于
3、横力弯曲，由于剪力的存在, 横截面产生剪切变 形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。,纯弯曲时梁横截面上的正应力,定义为图形对z轴和y轴的惯性矩,定义为图形对z轴和y轴的惯性积,定义为图形对坐标原点O的极惯性矩,定义为图形对z轴和y轴的静矩,11-3 惯性矩与平行轴定理,一、 静矩和形心,形心坐标,静矩,或,例：计算由抛物线、y 轴 和 z 轴所围成的平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩，并确定图形 的形心坐标。,解：,形心坐标为：,例：确定图示图形形心 C 的位置。,解：,例：求图示阴影部分 的面积对 y 轴的静矩。,解：,二、惯性矩和惯性半径,工程中常把惯性矩表示为平 面图形的面积与某一长度
4、平方的 乘积，即,或,或,分别称为平面图形对 y 轴和 z 轴的惯性半径,极惯性矩,因为,所以,例：求图示矩形对对称 轴 y、z 的惯性矩。,解：,例：求图示圆平面对 y、z 轴的惯性矩。,解：,三、惯性积,如果所选的正交坐标轴中，有一个 坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐 标轴的惯性积必等于零。,几个主要定义:,因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面 图形的主惯性轴。,(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主 惯性矩。,(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴 的 惯性积 时，则坐标轴 称为主惯性轴。,(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。,可以证明
5、：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心 主惯性轴。,(4)形心主惯性矩 对任一形心主惯性轴的惯性矩。,四、平行轴定理,平行移 轴公式,解：,例：求图示平面图 形对 y 轴的惯性矩 。,11-4 对称弯曲切应力,一、矩形截面梁,假设：1) 的方向都与 平行；,2) 沿宽度均布。,式中,二、工字形截面梁,在腹板上,腹板上的总剪力,腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面 上的大部分弯矩。,在翼缘上，有平行于 的切应力分量，分布情况较复 杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。,对于标准工字钢梁,在翼缘上，还有垂直于 的切应力分量，它与腹板上 的切应力比较，一般来说也是次要的。,下面求最大
6、切应力：,三、圆形截面梁,一、弯曲正应力强度条件,11-5 梁的强度条件,设t 表示拉应力，c 表示压应力，则：,塑性材料， t= c= ；,所以，工程中，一般对塑性材料选用中性轴同截面对称轴重合的截面形状。对脆性材料，则不将对称轴作中性轴，以充分利用材料的性能，使设计更经济合理。,脆性材料， t c，且t c,二、弯曲切应力强度条件,1、弯曲最大切应力,2、强度校核,中性轴上的受力状态是纯剪切，故有,其中， 是中性轴一边的截面面积对中性轴的静矩。,A. 梁的跨度较短，或在支座附近有较大载荷； B. 铆接或焊接的工字形截面梁，腹板薄，而厚度大； C. 薄壁截面梁； D. 焊接或胶合而成的组合截
7、面梁，其焊缝或胶合缝需要校核； E. 木梁顺纹方向抗剪差。,3、讨论,(1) 细长梁的强度控制因素主要是正应力，满足正应力强度的横截面一般都能满足切应力强度。,(2) 但如下情况需进行梁的切应力校核：,弯曲正应力、切应力强度条件的应用(三类强度计算)：,1. 强度校核,2. 梁的截面尺寸设计,3. 求解许用载荷,例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等, 但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许 可载荷之比,解：,由 得,例：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小 一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原 来的多少倍？,解：,由公式,可以看出， 该梁的承载能力
8、将是原来的 2 倍。,例：主梁 AB，跨度为 l ，采用加副梁 CD 的方法提高 承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同, 则副 梁的最佳长度 a 为多少？,解：,主梁 AB 的最大弯矩,副梁 CD 的最大弯矩,由,即,得,例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压 应力分别为 和 ，则 和 的最佳比值为多少？ （C为截面形心）,解：,得,例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力 ，校核该梁的强度。,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全。,例：图示三种截面梁，材质、截面内 、 全相 同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。,解：由题意可知,即,矩形截面最经济。,例：图示
9、铸铁梁，许用拉应力 ，许用压 应力 , ，校核此梁强度。,解：,C 截面：,B 截面：,最大拉应力发生于截面 C 的下边缘各点，最大压应力发生于 截面 B 的下边缘各点，都未超过许用应力，满足强度条件。,例：简支梁 AB，在 C 截面下边缘贴一应变片，测得其 应变 ，材料的弹性模量 ，求载荷 F 的大小。,解：,C 点的应力,C 截面的弯矩,由,得,例：简支梁承受均布荷载，在其 C 截面的下边缘贴一 应变片, 已知材料的 , 试问该应变片所测得的 应变值为多大？,解：,C 截面下边缘的应力,C 截面的弯矩,应变值,例：图示简支梁受均布载荷 q 作用，尺寸如图，材料 的弹性模量为 E，求梁下边缘
10、的纵向总伸长量。,解：,例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 。试用弯曲正应力强度证明: 从圆木锯出的矩形 截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,解：,得,例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力 ， , 试求最小直径 。,解：,由正应力强度条件,由切应力强度条件,即,得,即,得,所以,11-6 梁的合理强度设计,控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即以,作为梁设计的主要依据。因此应使 尽可能地小，使 尽可能地大。,一、梁的合理截面形状,合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面系数较大。,二、合理安排梁的受力情况,三、采用变截面梁,梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力
11、时，称为等强度梁。,根据切应力强度条件,1. 设 ，,根据切应力强度条件,鱼腹梁,2. 设 ，,所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面。,所有外力都作用在对称面，但不是在同一对称面内。,梁也会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。,11-7 双对称截面梁的非对称弯曲,应力计算 中性轴的位置,下面确定中性轴的位置：,故中性轴的方程为,设中性轴上某一点的坐标为 ，则,中性轴是一条通过截面形心的直线。,对于圆形截面,因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计算公式为：,注意：斜弯曲横
12、截面依然存在中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心，但不垂直于加载方向。,在任一横截面的任意点处：,k点的应力为：,总应力为：,或,Fx产生的应力：,11-8 弯拉(压)组合,最大拉应力为：,最大压应力为：,强度条件为：,许用拉应力 许用压应力,偏心拉伸或压缩：,任意横截面上的内力：,下面求截面核心：,若 ，则,若 ，则,在截面核心区域内作用偏心压力，在横截面上只产生压应力、不产生拉应力。,下面求圆截面杆的截面核心：,例：一折杆由两根圆杆焊接而成，杆直径 ， 试求圆杆的最大拉应力 和最大压应力 。,解：,1-1截面为危险截面，其上,横截面 x 上的内力：,1-1截面为危险截面，其上,例：具有切
13、槽的正方形木杆，受力 如图。求： (1) m-m 截面上的最大拉应力 和最 大压应力 ； (2) 此 是截面削弱前 值的几倍？,解：(1),例：图示偏心受压杆。试求该杆 中不出现拉应力时的最大偏心距。,解：,例：求图示杆在 作用下的最大拉应力 ， 并指明所在位置。,解：,最大拉应力发生在后背面上各点处,例：偏心拉伸杆，弹性 模量为 E，尺寸、受力如图 所示。求： (1)最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； (2) AB长度的改变量。,解：(1),最大拉应力发生在 AB 线上各点 最大压应力发生在 CD 线上各点,(2),例：选择题 偏心拉伸直杆中，各点的应力状态有四种答案: (A) 单向应力状态； (B) 二向应力状态； (C) 单向或二向应力状态； (D) 单向应力状态或零应力状态。,圆截面直杆一端铰支于地面，另一端斜靠于光滑的铅直墙 上，在自重作用下，该杆的变形有四种答案： (A) 平面弯曲； (B) 斜弯曲； (C) 拉弯组合； (D) 压弯组合。,(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。,例：三种受压杆件如图所示，杆1、2、3中的最大压应 力（绝对值）分别为 、 和 。现有下列四种答 案：,本章作业,11-5(a)、11-6、11-8、11-13、11-16、11-17 11-19、11-22、11-23、11-27( = 5mm),谢谢使用,
