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1、摘 要：讨论、分析投影于（任意）抵偿高程面上的平面坐标计算方法及其计算公式的推导。供同行们讨论与参考。关键词：交通工程；公路控制测量；投影于（任意）抵偿高程面上的平面坐标计算方法。0 前 言国家有关规范规定，在大、中型工程测量中，其控制网必须与国家控制点联测，或采用国家坐标系统，以达到测量资源共享、成果共用的目的。国家坐标系统是采用高斯克吕格正形投影（简称“高斯投影” ），即先由大地面投影到参考椭球面，再由参考椭球面投影到高斯平面；而高程面则是投影到大地水准面上。公路测量常用的处理方法是，采用分带形式，以减小高斯投影产生的长度变形；而高程面的投影，因为测区平均高程面与大地水准面的差值和地球曲率
2、半径相比微不足道，故忽略不计。然而，随着公路建设的不断扩大与发展，公路（特别是高速公路）从平原微丘区向山岭重丘区（乃至高原地区）延伸，测区高程面由数 10m 增加到数百米乃至数千米；由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是我们必须考虑的问题。如，据有关计算表明，当大地高程面 H700m 时，其长度变形为 11cm/km，远大于规范允许值，这对于重要工程的测量是一个不可忽略的小数。本文通过分析讨论，提出在（任意）选定的抵偿高程面上的平面坐标的计算方法来解决长度变形问题。1 独立坐标系中投影于抵偿高程面上的坐标换算在独立坐标系中，原有坐标 X、Y 投影高程面为 H0，测区平均高程面为 H
3、，为使实测边长与成图平面上的边长相一致，不致产生过大的长度投影变形，需将测区平均高程面 H 作为抵偿高程面（简称投影面），从而建立新的地方独立坐标系统。利用原有坐标 X、Y 换算成新的投影面（抵偿高程面）上的独立坐标 X、Y ，一般取测区中心或附近点为投影原点（X0、Y0），换算过程中不考虑椭球面正形投影到高斯平面上长度改化变形因素对坐标换算的影响，公式推导如下。如图 1 所示：图 1R-投影区地球平均曲 率半径H0-原坐标投影面高程H-新坐标投影面（抵偿高程 面）高程X0、Y0- 投影原点坐标X、Y-原坐标X、Y- 投影于抵偿高程面上的新坐标因为：(X- X0) /（R+H）= （X- X0
4、）/ （R+H0 ）X=X0+ （X-X0）（R+H）/ （R+H0 ）所以：X=X0+(X-X0) 1+（H-H0）/(R+H0) （1） 同理：Y=Y0+(Y-Y0) 1+（H-H0）/(R+H0) 以上（1）式即为新老坐标投影换算公式2 投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算将 1954 年北京坐标换算为投影于地方独立抵偿高程面上的高斯平面坐标，按以下两种方法考虑：2.1 方法一该方法是以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面，通过计算任一实测边长 D0 投影于地方独立参考椭球面(即抵偿高程面 )并经高斯正形投影改化后，得到新的地方独立坐标系抵偿高程 Hp 上的高斯平面边长度 D2，与该实测边长
5、在 1954 年北京坐标系统高斯平面上长度 D2（实测边长 D0 投影于克氏参考椭球上经高斯正形投影改化后在高斯平面上的长度）的比值 D2/ D2 关系式，推导出新旧投影面上的高斯平面坐标换算公式。如图 2 所示：图 2D0-实测边长长度R-投影区地球平均曲率半径 D1-克氏椭球面上长度D1-地方独立椭球面（抵偿高程面）上 长度D2-1954 年北京坐标系高斯平面上长度D2- 地方独立坐标系高斯平面上长度 （D1经高斯正形投影改化后得到的长度）Hm-实测边长两端点平均高程Hp-抵偿高程面高程（即投影面高程）Ym-实测边长两端点距 1954 年北京坐标系中央子午线之平均距离Ym-实测边长两端点距
6、地方独立坐标系中央子午线之平均距离X、Y-1954 年北京坐标X、Y- 投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标因为： D1 = D01 -Hm/（R+Hm）D1 = D1(1 + Hp /R)D2 = D1(1 +Ym2/2R2)-高斯正形投影改化公式D2 = D11 +Ym2/2(R+ Hp)2 =D1(1 + Hp /R)1 +Ym2/2(R+ Hp)2-高斯正形投影改化公式所以：任一边长投影于抵偿高程面上的高斯平面长度与其投影于 1954 年北京坐标系高斯平面上的长度之比= D2 / D2=(1 + Hp /R) 1 +Ym2/2(R+ Hp)2 / 1+ Ym2/2R2由于长度投影变形与方向
7、无关，且坐标与长度成正比例线性关系。因此：Y= Y(1 + Hp /R) 1 +Y2/2(R+ Hp)2/ 1+ Y2/2R2 X= X(1 + Hp /R) 1 +Y2/2(R+ Hp)2/ 1+ Y2/2R2以上（2）式即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标换算公式，其中 Y 坐标计算可以通过解一元二次方程求得，或者取 Y = Y(1 + Hp /R)式计算，误差较小。2.2 方法二该方法是首先将原坐标 X、Y（1954 年北京坐标）进行高斯投影反算，求得大地坐标经纬度 L、B。然后在考虑抵偿高程面投影时，重新建立地方独立参考椭球，以抵偿高程面作为地方独立参考椭球面，即在克氏椭球基础上改变参
8、考椭球长轴 a、短轴 b 的长度，a=a+ Hp，但扁率 （=1/298.3 ）、偏心率 e 保持不变，b= a（1- ），来确定新的地方独立参考椭球面参数。最后令大地坐标 B、L 保持不变，通过高斯投影正算，求得新建立的地方独立参考椭球面上的高斯平面坐标 X、Y ，即为投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标。从而间接达到改变投影面（抵偿高程面）时，进行高斯平面坐标换算之目的。3 算例本算例为厦蓉高速公路江西与湖南两省交界处湖南境内高速公路平面控制点，三级 GPS点 R213 的高斯平面坐标投影换算。该控制点为 1954 年北京坐标系（中央子午线为1140000），坐标为 X=2836154.404
9、，Y=405740.074（投影面高程为：0）。高速公路1/2000 公路地形图为 1954 北京坐标系，中央子午线为 1140000，为减小长度变形，投影面高程采取 Hp =500m。应用前述三种方法分别计算该控制点投影于抵偿高程面（Hp=500m）上的坐标（即该控制点在 1/2000 公路地形图坐标系统中的坐标值）如下。3.1 按独立坐标系计算投影于抵偿高程（Hp=500m）面上的坐标投影原点为： X0 =0，Y0=500000，H0=0H=500， X=2836154.404，Y=405740.074 ，取 R=6378245。代入公式（1）得：X=2836376.734，Y =4057
10、32.6853.2 按方法一计算投影于抵偿高程（Hp =500）面上的高斯平面坐标Hp =500，X=2836154.404，Y=405740.074，取 R=6378245代入公式（2）得：X=2836376.734，Y =405732.685按方法一计算的投影于抵偿高程面上的高斯平面坐标结果与按独立坐标系计算的投影于抵偿高程面上的坐标结果相一致。3.3 按方法二计算投影于抵偿高程（Hp=500m）面上的高斯平面坐标（1）根据 1954 年北京坐标 X=2836154.404，Y=405740.074，进行高程投影反算得大地坐标为：B=253745.5921，L=113 0341.3175。
11、（2）在克氏椭球面基础上，考虑建立地方独立参考椭球面，并确定其椭球面参数。其中扁率 =1/298.3，偏心率 e 保持不变，a=6378245，d= 6335552.7175a= a+ Hp =6378245+500=6378745b= a（1-）=6357361.343 d= b2/a=6336049.372。则对应于新建立的地方独立参考椭球的子午弧长计算公式S= A0B/-( B0sinB+ C0sin3 B+ D0sin5 B+E0sin7B)cosB中的系数分别为：A0=( d/ d) A0=6367558.4969(6336049.372/6335552.7175)=6368057.
12、6604B0=( d/ d) B0=32005.7798( d/ d) =32008.2888C0=( d/ d) C0=133.9238( d/ d) =133.9343D0=( d/ d) D0=0.6973( d/ d) =0.6974E0=( d/ d) E0=0.0039( d/ d) =0.0039取控制点的大地经纬度不变：L=11303413175，B=2537455921，利用高斯投影正算公式，计算新建立的地方独立参考椭球面上的高斯平面坐标为：X=2836376.733 ，Y=405732.6843.4 三种方法计算结果差数X1- X 2=2836376.734-2836376.733=0.001Y1- Y 2=405732.685-405732.684=0.0014 结 语选定（任意的）抵偿高程面，从而建立独立的参考椭球面，然后在这个椭球体面上计算新的高斯平面坐标的方法，解决了高原地区公路测量（乃至其它工程测量）因大地面投影产生的变形问题。这是对投影理论和测量学的又一应用。
