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1、弹性杆件横截面上的 切应力分析,第4章,哪些内力会产生切应力?,静力方程,提供信息:内力和哪些应力关联,相依关系的量化, 工程中承受切应力的构件, 扭转切应力, 弯曲切应力, 结论与讨论(2), 结论与讨论(1), 工程中承受切应力 的构件,扭转 弯曲,扭转的实例,搅拌器,搅拌轴,自行车有哪些扭转构件?,荷兰人口:1600万，但全国自行车拥有量 1700万辆，人均拥有量位居世界第一,请判断哪一杆件 将发生扭转,A,B,C,扳手,齿轮系,传递功率,A,F,发动机,传动轴,请判断哪个截面 将优先发生剪切 破坏?,两类切应力, 扭转切应力, 弯曲切应力,切应力的特征,切应力互等定理,dx,dy,dz
2、,微元能不能平衡？,怎样才能平衡？,哪些力互相平衡？,E,F,G,O,切应力的特征,E,F,G,O,根据z方向的力矩平衡,切应力的特征,E,F,G,O,根据z方向的力矩平衡可知,切应力的特征,切应力互等定理公式,在微元体的两个相互垂直的截面上, 垂直于截面交线(棱边) 的切应力数值相等. 切应力方向: 共同指向交线（棱边）, 或共同离开交线（棱边）, 扭转切应力, 圆轴扭转时横截面上的切应力分析, 扭转切应力, 矩形截面杆扭转切应力公式,应力分布,应力公式,变形协调,应变分布,圆轴扭转-横截面切应力求解的总体思路,平面假定, 扭转切应力, 圆轴扭转时的变形特征,圆轴扭转的变形特征,实验分析 对
3、称性论证,圆轴受扭转后表面的 矩形将发生什么变化？,圆轴表面画出圆周线 和纵向平行线,变形前,圆周线和纵向平行线将发生什么 变化？,变形后,圆周线: 形状、大小、间距,没变化,纵向平行线：,绕轴线转,水平,倾斜,实验观察到的结果,圆轴受扭转后表面的纵向线和圆周线交叉所得到的矩形将发生什么变化？,观察到的现象: 矩形变为平行四边形,此变形是何种应力引起的?,为什么4个面上都存在切应力?,如果认为： 受扭转的圆杆(轴)内部变形与表面 变形一致,平面假定：,平面,平面,横截面大小形状不变 半径直线 横截面: 绕轴线的刚性转动,反对称分析论证， 对称面上同一圆周任意两点CD变形后一定在原来平面上(对称
4、面),反对称分析论证,反证:若变形后最大圆周任意两点CD不在原来平面上,对称面最大圆周上CD两点变形后保持在原来的 平面内(对称面内)而且在同一圆周上。,反证法的证明,对称面内部的圆周:同一圆周上的任意两点变形 后保持在对称面内而且在同一圆周上。,问题: 对称面各点变形后保持在原来的平面内 (对称面内),变形前同一圆周上的点变形后 仍然还在同一圆周上. 对称面内不同圆周上的各点变形的步调怎样?,反对称分析论证:对称面不同圆周上的各点变形步调是一致的,假设平面不是刚性转动，直径将变成曲线，A端观察者看到的情形。,假设平面不是刚性转动，直径将变成曲线，B端观察者看到的情形。AB两侧观测结果相反，产
5、生矛盾,不同圆周上的各点变形若假定步调不一致,对称面各点变形后保持在原来的平面内 (对称面内) 变形前同一圆周上的点变形后 仍然还在同一圆周上. 对称面内不同圆周上的各点变形的步调保持 一致,总结论:圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且 截面只发生刚性转动。,分析了对称面的情况, 任意截面?,对于任意截面: 一定可以找到以这个截面为对称面的一段扭转轴, 采取同样方法,可证明,圆轴扭转时，横 截面 保持平面，并且 只能发生刚性转动。,圆轴扭转变形前的截面，变形后仍保持为平面， 截面形状和大小不变，直径仍保持为直线.,圆轴扭转的平面假定,截面仅发生刚性转动,如何分析圆轴扭转的变形协调条件?,变形协调
6、方程,r,假定m-m截面和n-n截面 的相对转角为d,m,m,n,n,在扭矩作用下(切出杆微元),表面上观察到的变形,变形协调方程,选取半径为的微圆柱单元,在杆微元基础上,与半径成正比,单位长度上的扭转角,应变形式的变形协调方程,物性关系,物性关系与应力分布,剪切胡克定律,物性关系与应力分布,G为剪切弹性模量,物性关系与应力分布,分析: 作用于圆轴表面微元ABCD的四条边上,半径方向线 与ABCD面垂直,也与垂直,分布,方向,静力学方程,静力学方程,在横截面半径为处取微元:dA,合成的力,（）,dA,Mx,把作用在微元上，对形心取矩,GIP扭转刚度,极惯性矩,单位长度扭转角,结论: 切应力沿横
7、截面半径线性分布, 方向:垂直于半径 特殊点的切应力:=0, max,最大切应力,Wp 扭转截面系数,圆截面的极惯性矩与扭转截面系数, = d / D,对于直径为 d 的实心圆截面,对于内、外直径分别为d 和 D 圆环截面,为什么设计空心截面?,切应力哪些区域较大? 节省材料,研究外加力偶矩与功率P和转速n的关系,传动轴的扭矩计算,工程计算中,作用于传动轴上的 外力偶通常不直接给出 给出轴传递功率P(KW) 给出转速n(转/分),每秒钟输入功W W=PX1000(Nm),输入功由扭矩作用在轴上完成: 扭矩在每秒完成的功为:,角位移,外加力偶矩T与功率P和转速n的关系,外加力偶矩与功率P和转速n
8、的关系,T=9549,n(r/min),(Nm),已知：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器 连接传递功率。 P传7.5kW, n=100r/min, 最大切应力均为 40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2。,例 题 1,两轴上最大切应力均等于40MPa.,两轴转速相同,传递功率相同,故两轴上作用的 扭矩相同.,=716.2 N m,=0.045 m=45 mm,实心轴,对于空心轴，根据,=40 MPa,算得,0.046 m46 mm,d20.5D2=23 mm,二轴的横截面面积之比为,二轴的横截面面积之比为,实心,空心,结论: 若轴的长度相
9、同, 在最大切应力相同的 情况下,实心轴比空心轴所用材料多。空心轴 可节省材料，降低成本。,A1为实心轴，A2为空心轴, 扭转切应力, 矩形截面杆扭转切应力公式, 变形特征 由平衡直接得到的结论 切应力分布特点 狭长矩形截面切应力分布,对于矩形截面 是否平面保持平面?,圆轴扭转的变形特征:平面保持平面.,矩形截面杆的扭转,划出与轴线平行和垂直的纵向线和横向线,变形特征翘曲,横截面的横向线变为曲线,发生翘曲 由此可见:平面保持平面不成立.,由于翘曲, 平面假定不成立，矩形截面 杆扭转时的切应力与圆截面杆有很大的 差别。,圆截面扭转的切应力公式无法应用.,如何分析矩形截面杆扭转下的切应力?,弹性力
10、学理论 介绍结论,研究: 矩形截面杆扭转,截面角点切应力特点 矩形截面杆扭转,截面边界上各点的切应力 方向有哪些规律?,由平衡直接得到的结论,角点微元,注意微元各面与杆件的对应关系,角点区域,前表面,上表面,由平衡直接得到的结论,由剪应力互等定律,角点切应力等于零,研究A点的切应力? 切几刀的到微元?,由剪应力互等定律,A,边缘各点切应力沿边界的切线方向,A,研究边界上的切应力,注意微元各面与杆件的对应关系,切应力分布(弹性力学理论分析结果),截面最大切应力发生在长边中点.,切应力分布(弹性力学理论分析结果),角点切应力等于零;,边缘各点切应力沿切线方向;,截面最大切应力发生在长边中点.,切应
11、力在特殊点的值,长边中点处,短边中点处,b,C1、C1见书上表4-1(表5-2,二版),高度h,宽度b, C1,C1与高宽比有关,厚度, max=,狭长矩形截面:长短边比,长边中点处,沿厚度方向近似线性分布, 结论与讨论,第4章 弹性杆件横截面上的 切应力分析,A,B,l,圆轴扭转下两截面相对转角公式：,Mx,Mx,扭转刚度,BA的正负号与Mx正负号相同.,关于BA的正负号规定,关于复合材料轴,线弹性材料，弹性范围内加载,1.横截面上的切应力怎样分布；,2.横截面上两种材料交界处的切应力 是否连续；切应变是否连续,3.横截面上两种材料的最大切应力。,A,B,G2G1,已知固定的圆截面等直杆AB
12、(刚度GIP), 在截面C受到扭转 外力偶m的作用, 试求支座反力偶矩.,B,讨论：关于公式的应用条件扭矩如使最大圆周达 到s后的情况,C点的切应力达到s时横截面上的扭转切应力怎样分布； B点的切应力达到s时横截面上的扭转切应力怎样分布；,4. A点以内圆截面上的内力偶矩与横截面上的总扭矩之间的关系,3. B点的切应力达到s时A点的切应力怎样确定；,开口与闭口薄壁圆管的扭转切应力,哪个承载能力强?,直径壁厚,直径、壁厚相等的薄壁圆管，承受扭矩T,题4-6,设计中：避免用开口薄壁杆件承受扭矩,本章作业(1),5-2，5-5，5-7 ，补4-1*,4-2，4-5，4-6 ，4-9*,第一版教材,第
13、二版教材,补4-1：直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6Nm时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试： 1分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。, 弯曲切应力,第4章 弹性杆件横截面上的 切应力分析,两类切应力:扭转,弯曲 关注:分析方法的差别, 弯曲切应力,讨论分析弯曲切应力前提 平衡对象及其受力 平衡方程与切应力表达式 切应力公式应用,上述四点中平衡是研究弯曲切
14、应力 的关键问题, 弯曲切应力, 前 提, 在有剪力存在的情况下，弯曲正应力公式依然正确：, 沿截面宽度（厚度）方向切应力均匀分布,对于细长杆l/h4, 误差一般小于5%，,在MZ作用下: 截面的厚度方向:z轴 过y轴上任一点作z轴平行线, 各点切应力相等 切应力函数仅与y坐标有关,z,Mz,y,在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无需应用“变形协调,物性关系和静力方程”。,与圆轴扭转切应力的分析方法不同, 弯曲切应力, 平衡对象及其受力,确定梁的横截面上任 意点处的弯曲切应力,薄鄙,1,1,2,2,任意形状开口薄壁截面梁,壁厚截面中曲线曲率半径 截面中曲线不闭合,当厚度不断减少
15、,截面收缩为截面的中曲线,薄鄙,薄壁截面梁,1,1,2,2,选取长为dx微段 左侧为横截面1-1 右侧为横截面2-2,1,2,1,2,薄壁截面梁,a,b,可否求出切应力?,思考:对微段进行平衡分析,1,2,1,2,薄壁截面梁,a,b,由左侧右侧截面内力(弯矩,剪力) 平衡分析 平衡方程中仅含弯矩,剪力,微段进行平衡分析,1,2,1,2,薄壁截面梁,a,b,取1-1,2-2截面构成微元中的一个局部 如画圆圈部分,进行平衡分析,目的:使切应力在平衡方程中出现,1,2,1,2,薄壁截面梁,a,b,a,b,c,局部微元特点,a,b为横截面,c纵截面,d为自由表面,d,上下自由表面,薄壁截面梁,a,b,c,讨论局部微元x方向的平衡: 有贡献的a,b,c面,x,分析微元各面受力对x方向平衡的贡献: 首先在a,b截面上哪些力参与x方向的平衡?,d,弯曲正应力,y,x,弯曲正应力,规律:分布规律? 正负号(拉压性质)?,z,需要考虑弯矩的正负!,切出兰色微元的左侧和右侧都是拉应力?,左右截面弯矩均为负,拉应力合成轴向力,谁大谁小?,横截面局部a,b,a,b的面积均为A*,正应力: 作用在横截面局部a,b都为拉应力,薄壁截面梁,a,
