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1、第六章 振动,振动的一般概念,机械振动物体在一定位置附近所作的来回往复的运动称为机械振动。,广义振动任何一个物理量在某一定值附近往复变化都可以称为振动。,人类生活在振动的世界里。,简谐振动最基本的振动。复杂的振动都可以看作是多个简谐振动合成的。,6.1 简谐振动的运动学描述,一、简谐振动的运动学表达式,质点的位移:,以平衡位置为坐标原点，运动直线为x轴,简谐振动物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化。,二、简谐振动的三个特征量,1.振幅A(m):最大位移的绝对值,A0,-AxA,振动一次所需时间叫做周期（S）,单位时间内振动的次数，称为振动频率(Hz),称为角频率（或圆
2、频率）(rad/s),2.周期T(s)和角频率 (反映振动的快慢) :,3.相位,t时刻相位反映t时刻的振动状态,t=0时相位初相位,已知A、 表达式,取决于时间零点的选择,（1）,（2）,总之,已知表达式 A、 、,三、简谐振动的速度、加速度,均是描述简谐振动的物理量,速度振幅,加速度振幅,频率相同,同t相位不同,四、简谐振动的三种表示方法,1.解析表达式,2.曲线描述,可知t 时刻质点位置及速度方向,3.旋转矢量描述,用匀速圆周运动 几何地描述 简谐振动,矢量端点在x轴上的投影式,逆时针转,x = A cos( t + ),相量图法,图中长度等于振幅的旋转矢量叫振幅矢量,t时刻相位t时刻振
3、幅矢量与x轴夹角,简谐振动的相位确定振动的状态,相量图法直观地表达振动状态,如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 正的最大位移处,旋矢与轴夹角为零,质点经二分之一振幅处向负方向运动,意味,意味,质点过平衡位置向负方向运动,同样,相量图法直观地表达振动状态,振动的相位：,1).确定振动的状态（位置、速度）：,2).比较同频率谐振动的步调：,相位差：,对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差,五、相位差,T,同相,T,反相,x2超前x1,或x1落后x2,或x1超前x2,x2落后x1,比较谐振动x、v、a三者的位相,课堂练习,1.一简谐振动的振动曲线如图所示。求振动方程。,画出相量图,2.一物体做简谐
4、振动，其速度最大值vm=310-2m/s，其振幅A= 210-2m。若t=0时，物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动。求： （1）振动周期T； （2）加速度的最大值am； （3）振动方程的表达式。,3:一质点沿x轴做简谐振动,A=4cm,T=4s,t=0时位移为2cm，且向平衡位置移动。求1）振动表达式；2）由起始位置运动到x=-4cm处所需最少时间.,2,j,j =p/3,w t,w t = 2p/3,6.2 简谐振动的动力学方程,二、简谐振动的运动微分方程,一、谐振动系统受力特征,质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比且反向，就是简谐振动。,三、几个简谐振动实例,1.水平弹簧振子,平衡位置
5、：弹簧原长处, 由系统本身的的性质决定固有角频率,2.竖直弹簧振子：轻弹簧k,平衡位置：振动物体受力为零处（弹簧伸长x0处）,振动物体位于任x处时：,思考：光滑斜面上的弹簧振子（k+m）平衡位置在何处？是否简谐振动？若是，其w=?,物体做简谐振动,当q 很小时,3.单摆:无阻尼小角度摆动,摆长为l,单摆,平衡位置：摆球受合外力矩为零处（=0处）,任q角处：,在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。,结论,固有圆频率、固有周期分别为：,其角位移为：,由牛顿定律列方程，如能得出 形式的方程，则,由分析受力出发 分析物体在任一时刻的受力,(1)说明振动是简谐振动,(2)可得出角频率,简谐振动的动力
6、学解法,决定于系统本身的性质,四.振幅A、初相j的确定,1.初始条件：,t=0时x0、v0,（注意j角象限的确定）,2.旋转矢量法确定初相j,已知t=0时x0值及v0符号,x0值定垂直线,v0符号定象限,例：t=0时质点在平衡位置且向正方向运动，求初相,6.3简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例),谐振动：,1.动能,2.势能,3.机械能,1).Ek= Ek(t) Ep= Ep(t),无阻尼自由振动,简谐振动系统机械能守恒,x,2）势能曲线,4.周期平均值,振幅A 决定于系统的初始能量； 角频率 决定于系统内在的性质； 初相 决定于时间零点的选择,由初始能量求振幅,综合以上：简谐振动的各特征量,
7、* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比,以上结论适用于任何简谐振动。,3.一质点做简谐振动，其振动方程为 （1）振幅、周期、频率及初位相各为多少？ （2）当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ （3）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？,（2）势能,总能,由题意，,（3）从平衡位置运动到,的最短时间为,水平弹簧振子，弹簧得倔强系数K24N/m，重物质量为m=6kg，重物静止在平衡位置。设以水平力F=10N向左作用于物体（不计摩擦力），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。, 6.4 简谐振动的合成,当一个物体同时
8、参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题,一、同一直线上同频率的两个简谐振动的合成,线性叠加,仍是谐振动 振动频率仍是,x =A cos( t+ ),结果：,若,反相 合振动减弱,同相 合振动加强,特殊结果：,若,若,两振动同相 两振动反相,可能的最强振动 “振动加振动”不振动,合振幅,若 2 1其它值，,由上看出 2 1的值对合振动起重要作用,例，一质点同时参与了三个简谐振动。它们的振动方程分别为,其合成运动的运动方程为x=,0,设两振动的频率都较大且略有差别、振幅相等,线性相加：,二. 同一直线上不同频率谐振动的合成,分振动：,则,较,随时间变化缓慢,将合成式写成谐振动形式,合振动可看做是
9、振幅缓变的谐振动,拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍 拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频,测未知频率的一种方法,由式,得,如：同时敲打两个频率不同的音叉，会周而复始地听到“嗡”的声音，显示出声音忽强忽弱的变化。,6.5 阻尼振动 受迫振动与共振,一、阻尼振动,动力学方程,系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减，振幅也不断减小。,系统受的粘性阻力与速率成正比,称阻尼因子,系统固有频率,令,整理得,式中,阻尼振动方程为,其中,解,三种阻尼振动,过阻尼：,临界阻尼：,欠阻尼：,二 、受迫振动 1.受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 2.受迫振动的动力学方
10、程 设驱动力按余弦规律变化,动力学方程：,经分析可知足够长时间后，达到稳态，其振动方程为：,稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化,(1)频率:,(2)振幅:,即策动力频率不同，振幅不同,称为共振,等于策动力的频率 ,共振应用：电磁共振、核磁共振、碎步过桥等,1808年法国皇帝拿破仑率部10万入侵西班牙，当部队以整齐的步伐穿过一座铁索吊桥时，大桥崩塌了。,1831年，一队骑兵列队通过英国曼彻斯特附近的一座吊桥。他们雄赳赳，气昂昂，“嗒、嗒”的马蹄声节奏分明有力。突然不幸的事情发生了，随着一声巨响，大桥莫名其妙的倒塌了，人与马纷纷坠入河中，死伤惨重。,1906年，俄国首都彼得格勒附近的爱纪华特大桥
11、有一队骑兵通过，连长为显示军威，命令骑兵指挥训练有素的战马以雄赳赳气昂昂的姿态步调一致前进，突然间桥身剧烈振动起来，然后伴随着一声巨响，大桥断裂崩塌了，士兵、马匹、辎重纷纷落水，狼狈不堪。,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振桥被摧毁,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,我国古代对“共振”的认识：,蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，,公元五世纪天中记：,问张华。,张华曰：此盘与宫中钟相谐，,故声相应，,可改变其薄厚。,鱼洗,关于弹簧,1.弹簧串连：,2.弹簧并连：,o,k =k1+k2,3.弹簧分割：,第6章结束,1.一质点作简谐振动，振动方程x =Acos(wt+)，当时间
12、t =T/4 (T 为周期)时，质点的速度为：, C ,2两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为,，当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大位移处。则第二个质点的振动方程为,（B）,（C）,（D）,（A）,（B）,3.一倔强系数为k的均匀轻弹簧分割成三部分，取出其中的两根，将它们并连在一起，下面挂一质量为m 的物体，如图所示，则振动系统的频率=?,4.上面放有物体的平台，以每秒5次的频率沿竖直方向做简谐振动，若平台振幅超过 m，物体将会脱离平台。（设g=9.8m/s2）,1.010-2m,例5. 一单摆，把它从平衡位置拉开，使摆线
13、与竖直方向成一微小角度 ，然后由静止放手任其摆动，若自放手时开始计时，如用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为：,C ,（A）； （B）； （C）0； （D）2,例6. 一质量为 m 的滑块，两边分别与劲度系数为 k1 和 k2 的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上。滑块 m 可在光滑的水平面上滑动，o 点为平衡位置。将滑块m向左移动了 x0 的距离，自静止释放，并从释放时开始计时，取坐标如图示，则振动方程为：, C ,例7. 一轻弹簧的劲度系数为 200Nm-1，现将质量为 4kg 的物体悬挂在该弹簧的下端，使其在平衡位置下方 0.1m 处由静止开始运动，若由此时刻开始计时
14、，求： （1）物体的振动方程； （2）物体在平衡位置上方 5cm 时弹簧对物体的拉力； （3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 5cm 处所需要的最短时间。,解:,（1）选平衡位置为原点,x 轴指向下方,振动方程,（SI）,（2）物体在平衡位置上方 5cm时，弹簧对物体的拉力,（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 5cm 处所需要的最短时间。,相量图法更简单,8：劲度系数为k、质量为M的弹簧振子静止的放置在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以水平速度v1射入M中，与之一起运动。选m、M开始共同运动的时刻为t=0，求固有角频率、振幅和初相位。(以弹簧伸长方向为正方向),一质点沿x轴做谐振动,A=4cm,T=4s,t=0时位移为2cm，且向平衡位置移动。求1）振动表达式；2）由起始位置运动到x=-4cm处所需最少时间.,2,j,j =p/3,w t,w t = 2p/3,例. 一物体做谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 -A/2 且向 x 轴的正方向运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：, D ,作业册 P26 7 8,
