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1、第六章 振动,振动的一般概念,机械振动物体在一定位置附近所作的来回往复的运动称为机械振动。,广义振动任何一个物理量在某一定值附近往复变化都可以称为振动。,人类生活在振动的世界里。,简谐振动最基本的振动。复杂的振动都可以看作是多个简谐振动合成的。,6.1 简谐振动的运动学描述,一、简谐振动的运动学表达式,质点的位移:,以平衡位置为坐标原点,运动直线为x轴,简谐振动物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化。,二、简谐振动的三个特征量,1.振幅A(m):最大位移的绝对值,A0,-AxA,振动一次所需时间叫做周期(S),单位时间内振动的次数,称为振动频率(Hz),称为角频率(或圆
2、频率)(rad/s),2.周期T(s)和角频率 (反映振动的快慢) :,3.相位,t时刻相位反映t时刻的振动状态,t=0时相位初相位,已知A、 表达式,取决于时间零点的选择,(1),(2),总之,已知表达式 A、 、,三、简谐振动的速度、加速度,均是描述简谐振动的物理量,速度振幅,加速度振幅,频率相同,同t相位不同,四、简谐振动的三种表示方法,1.解析表达式,2.曲线描述,可知t 时刻质点位置及速度方向,3.旋转矢量描述,用匀速圆周运动 几何地描述 简谐振动,矢量端点在x轴上的投影式,逆时针转,x = A cos( t + ),相量图法,图中长度等于振幅的旋转矢量叫振幅矢量,t时刻相位t时刻振
3、幅矢量与x轴夹角,简谐振动的相位确定振动的状态,相量图法直观地表达振动状态,如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 正的最大位移处,旋矢与轴夹角为零,质点经二分之一振幅处向负方向运动,意味,意味,质点过平衡位置向负方向运动,同样,相量图法直观地表达振动状态,振动的相位:,1).确定振动的状态(位置、速度):,2).比较同频率谐振动的步调:,相位差:,对两同频率的简谐振动,相位差等于初相差,五、相位差,T,同相,T,反相,x2超前x1,或x1落后x2,或x1超前x2,x2落后x1,比较谐振动x、v、a三者的位相,课堂练习,1.一简谐振动的振动曲线如图所示。求振动方程。,画出相量图,2.一物体做简谐
4、振动,其速度最大值vm=310-2m/s,其振幅A= 210-2m。若t=0时,物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动。求: (1)振动周期T; (2)加速度的最大值am; (3)振动方程的表达式。,3:一质点沿x轴做简谐振动,A=4cm,T=4s,t=0时位移为2cm,且向平衡位置移动。求1)振动表达式;2)由起始位置运动到x=-4cm处所需最少时间.,2,j,j =p/3,w t,w t = 2p/3,6.2 简谐振动的动力学方程,二、简谐振动的运动微分方程,一、谐振动系统受力特征,质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比且反向,就是简谐振动。,三、几个简谐振动实例,1.水平弹簧振子,平衡位置
5、:弹簧原长处, 由系统本身的的性质决定固有角频率,2.竖直弹簧振子:轻弹簧k,平衡位置:振动物体受力为零处(弹簧伸长x0处),振动物体位于任x处时:,思考:光滑斜面上的弹簧振子(k+m)平衡位置在何处?是否简谐振动?若是,其w=?,物体做简谐振动,当q 很小时,3.单摆:无阻尼小角度摆动,摆长为l,单摆,平衡位置:摆球受合外力矩为零处(=0处),任q角处:,在角位移很小的时候,单摆的振动是简谐振动。,结论,固有圆频率、固有周期分别为:,其角位移为:,由牛顿定律列方程,如能得出 形式的方程,则,由分析受力出发 分析物体在任一时刻的受力,(1)说明振动是简谐振动,(2)可得出角频率,简谐振动的动力
6、学解法,决定于系统本身的性质,四.振幅A、初相j的确定,1.初始条件:,t=0时x0、v0,(注意j角象限的确定),2.旋转矢量法确定初相j,已知t=0时x0值及v0符号,x0值定垂直线,v0符号定象限,例:t=0时质点在平衡位置且向正方向运动,求初相,6.3简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例),谐振动:,1.动能,2.势能,3.机械能,1).Ek= Ek(t) Ep= Ep(t),无阻尼自由振动,简谐振动系统机械能守恒,x,2)势能曲线,4.周期平均值,振幅A 决定于系统的初始能量; 角频率 决定于系统内在的性质; 初相 决定于时间零点的选择,由初始能量求振幅,综合以上:简谐振动的各特征量,
7、* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比,以上结论适用于任何简谐振动。,3.一质点做简谐振动,其振动方程为 (1)振幅、周期、频率及初位相各为多少? (2)当x值为多大时,系统的势能为总能量的一半? (3)质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少?,(2)势能,总能,由题意,,(3)从平衡位置运动到,的最短时间为,水平弹簧振子,弹簧得倔强系数K24N/m,重物质量为m=6kg,重物静止在平衡位置。设以水平力F=10N向左作用于物体(不计摩擦力),使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤去力F,当重物运动到左方最远位置时开始计时,求物体的运动方程。, 6.4 简谐振动的合成,当一个物体同时
8、参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题,一、同一直线上同频率的两个简谐振动的合成,线性叠加,仍是谐振动 振动频率仍是,x =A cos( t+ ),结果:,若,反相 合振动减弱,同相 合振动加强,特殊结果:,若,若,两振动同相 两振动反相,可能的最强振动 “振动加振动”不振动,合振幅,若 2 1其它值,,由上看出 2 1的值对合振动起重要作用,例,一质点同时参与了三个简谐振动。它们的振动方程分别为,其合成运动的运动方程为x=,0,设两振动的频率都较大且略有差别、振幅相等,线性相加:,二. 同一直线上不同频率谐振动的合成,分振动:,则,较,随时间变化缓慢,将合成式写成谐振动形式,合振动可看做是
9、振幅缓变的谐振动,拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍 拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频,测未知频率的一种方法,由式,得,如:同时敲打两个频率不同的音叉,会周而复始地听到“嗡”的声音,显示出声音忽强忽弱的变化。,6.5 阻尼振动 受迫振动与共振,一、阻尼振动,动力学方程,系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减,振幅也不断减小。,系统受的粘性阻力与速率成正比,称阻尼因子,系统固有频率,令,整理得,式中,阻尼振动方程为,其中,解,三种阻尼振动,过阻尼:,临界阻尼:,欠阻尼:,二 、受迫振动 1.受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 2.受迫振动的动力学方
10、程 设驱动力按余弦规律变化,动力学方程:,经分析可知足够长时间后,达到稳态,其振动方程为:,稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化,(1)频率:,(2)振幅:,即策动力频率不同,振幅不同,称为共振,等于策动力的频率 ,共振应用:电磁共振、核磁共振、碎步过桥等,1808年法国皇帝拿破仑率部10万入侵西班牙,当部队以整齐的步伐穿过一座铁索吊桥时,大桥崩塌了。,1831年,一队骑兵列队通过英国曼彻斯特附近的一座吊桥。他们雄赳赳,气昂昂,“嗒、嗒”的马蹄声节奏分明有力。突然不幸的事情发生了,随着一声巨响,大桥莫名其妙的倒塌了,人与马纷纷坠入河中,死伤惨重。,1906年,俄国首都彼得格勒附近的爱纪华特大桥
11、有一队骑兵通过,连长为显示军威,命令骑兵指挥训练有素的战马以雄赳赳气昂昂的姿态步调一致前进,突然间桥身剧烈振动起来,然后伴随着一声巨响,大桥断裂崩塌了,士兵、马匹、辎重纷纷落水,狼狈不堪。,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振桥被摧毁,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,我国古代对“共振”的认识:,蜀人有铜盘,早、晚鸣如人扣,,公元五世纪天中记:,问张华。,张华曰:此盘与宫中钟相谐,,故声相应,,可改变其薄厚。,鱼洗,关于弹簧,1.弹簧串连:,2.弹簧并连:,o,k =k1+k2,3.弹簧分割:,第6章结束,1.一质点作简谐振动,振动方程x =Acos(wt+),当时间
12、t =T/4 (T 为周期)时,质点的速度为:, C ,2两个质点各自作简谐振动,它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为,,当第一个质点从相对平衡位置的正位移处回到平衡位置时,第二个质点正在最大位移处。则第二个质点的振动方程为,(B),(C),(D),(A),(B),3.一倔强系数为k的均匀轻弹簧分割成三部分,取出其中的两根,将它们并连在一起,下面挂一质量为m 的物体,如图所示,则振动系统的频率=?,4.上面放有物体的平台,以每秒5次的频率沿竖直方向做简谐振动,若平台振幅超过 m,物体将会脱离平台。(设g=9.8m/s2),1.010-2m,例5. 一单摆,把它从平衡位置拉开,使摆线
13、与竖直方向成一微小角度 ,然后由静止放手任其摆动,若自放手时开始计时,如用余弦函数表示其运动方程,则该单摆振动的初位相为:,C ,(A); (B); (C)0; (D)2,例6. 一质量为 m 的滑块,两边分别与劲度系数为 k1 和 k2 的轻弹簧联接,两弹簧的另外两端分别固定在墙上。滑块 m 可在光滑的水平面上滑动,o 点为平衡位置。将滑块m向左移动了 x0 的距离,自静止释放,并从释放时开始计时,取坐标如图示,则振动方程为:, C ,例7. 一轻弹簧的劲度系数为 200Nm-1,现将质量为 4kg 的物体悬挂在该弹簧的下端,使其在平衡位置下方 0.1m 处由静止开始运动,若由此时刻开始计时
14、,求: (1)物体的振动方程; (2)物体在平衡位置上方 5cm 时弹簧对物体的拉力; (3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 5cm 处所需要的最短时间。,解:,(1)选平衡位置为原点,x 轴指向下方,振动方程,(SI),(2)物体在平衡位置上方 5cm时,弹簧对物体的拉力,(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方 5cm 处所需要的最短时间。,相量图法更简单,8:劲度系数为k、质量为M的弹簧振子静止的放置在光滑的水平面上,一质量为m的子弹以水平速度v1射入M中,与之一起运动。选m、M开始共同运动的时刻为t=0,求固有角频率、振幅和初相位。(以弹簧伸长方向为正方向),一质点沿x轴做谐振动,A=4cm,T=4s,t=0时位移为2cm,且向平衡位置移动。求1)振动表达式;2)由起始位置运动到x=-4cm处所需最少时间.,2,j,j =p/3,w t,w t = 2p/3,例. 一物体做谐振动,振幅为 A,在起始时刻质点的位移为 -A/2 且向 x 轴的正方向运动,代表此谐振动的旋转矢量图为:, D ,作业册 P26 7 8,