《1995-2016全国初中数学联赛试题与答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1995-2016全国初中数学联赛试题与答案（147页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案 34 35 年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案 36 37 年全国初中数年全国初中数学联合竞赛试题及答案学联合竞赛试题及答案 38 39 40 41 年全国初中数学联合竞赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛试题及答案 42 43 44 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 45 46 4
2、7 48 49 50 51 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 52 53 答案： 54 55 56 57 58 59 60 61 62 年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案 63 64 65 答案：答案： 66 67 68 年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案 69 70 答案：答案： 71 72 年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案 答案：答案： 73 74 2009 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一、选择题
3、（本题满分一、选择题（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1. 设71a ，则 32 312612aaa （ ） A.24. B. 25. C. 4 710. D. 4 712. 2 在ABC 中， 最大角A 是最小角C 的两倍， 且 AB7， AC8， 则 BC （ ） A.7 2. B. 10. C. 105. D. 7 3. 3用 x表示不大于x的最大整数，则方程 2 2 30xx 的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 4设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形 中任意取出两个，它们的面积相
4、等的概率为 （ ） A. 3 14 . B. 3 7 . C. 1 2 . D. 4 7 . 5如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆， 自点A作半圆的切线AE， 则sinCBE （ ） A. 6 3 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 10 10 . 6设n是大于 1909 的正整数，使得 1909 2009 n n 为完全平方数的n的个数是 （ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1已知t是实数，若, a b是关于x的一元二次方程 2 210xxt
5、 的两个非负实根，则 22 (1)(1)ab的最小值是_. 2 设 D 是ABC 的边 AB 上的一点，作 DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已 知ADE、DBF 的面积分别为m和n，则四边形 DECF 的面积为_. 3如果实数, a b满足条件 22 1ab， 22 |1 2| 21ababa ，则ab_. 4已知, a b是正整数，且满足 1515 2() ab 是整数，则这样的有序数对( , )a b共有_对. 第一试答案：第一试答案： ACCBDB；3，2 mn，1，7 第一试第一试详细答案详细答案 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 42 分，
6、每小题分，每小题 7 分）分） D A B C E 1. 设71a ，则 32 312612aaa （ ） A.24. B. 25. C. 4 710. D. 4 712. 【答】A. 由71a ，得 2 82 762aa ，故 2 26aa.所以 3222 3126123 (2 )6612aaaa aaaa 2 612126 6 1224aa . 2在ABC 中， 最大角A 是最小角C 的两倍， 且 AB7，AC8， 则 BC （ ） A.7 2. B. 10. C. 105. D. 7 3. 【答】C. 延长 CA 至 D，使 ADAB，则 1 D =ABD =CAB=C 2 ，所以 CB
7、DDAB，所以 BDCD = ABBD ，故 2 BDABCD7 (8 7) 105 ，所 以BD105.又因为CD ，所以105BCBD. 3用 x表示不大于x的最大整数，则方程 2 2 30xx 的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】C. 由方程得 2 32 xx ，而 xx，所以 2 32xx ，即 2 230xx ，解得13x ， 从而 x只可能取值1,0,1,2,3. 当 1x 时， 2 1x ，解得1x ； 当 0x 时， 2 3x ，没有符合条件的解； 当 1x 时， 2 5x ，没有符合条件的解； 当 2x 时， 2 7x ，解得7x ； 当
8、 3x 时， 2 9x ，解得3x . 因此，原方程共有 3 个解. 4设正方形 ABCD 的中心为点 O，在以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的所有三角形 中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ） A. 3 14 . B. 3 7 . C. 1 2 . D. 4 7 . D B A C 【答】B. 不妨设正方形的面积为 1.容易知道，以五个点 A、B、C、D、O 为顶点所构成的三角形都是等 腰直角三角形，它们可以分为两类： （1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 ABCD 的四个顶点之一，这样的三角形有 4 个，它 们的面积都为 1 2 ； （2）等腰直角三角形的直角顶点为正方
9、形 ABCD 的中心 O，这样的三角形也有 4 个，它们的 面积都为 1 4 . 所以以五个点 A、B、C、D、O 为顶点可以构成 448 个三角形，从中任意取出两个，共有 28 种取法. 要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法 有 12 种. 因此，所求的概率为 123 287 . 5如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作半圆的 切线 AE，则sinCBE （ ） A. 6 3 . B. 2 3 . C. 1 3 . D. 10 10 . 【答】 D. 设 BC 的中点为 O，连接 OE、CE.
10、因为 ABBC，AEOE，所以 A、B、O、E 四点共圆，故BAECOE. 又 ABAE，OC=OE，所以ABEOCE，因此 CEOC1 = BEAB3 ，即 BE3 CE. 又 CEBE，所以 22 BC =BE +CE =10CE，故sinCBE CE10 = BC10 . 6设n是大于 1909 的正整数，使得 1909 2009 n n 为完全平方数的n的个数是 （ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 【答】B. 设2009na， 则 1 9 0 9 1 0 01 0 0 1 2009 na naa ， 它为完全平方数， 不妨设为 2 100 1m a （其 中m为正整数
11、） ，则 2 100 1m a . 验证易知，只有当1,2,3,7m 时，上式才可能成立.对应的a值分别为 50，20，10，2. 因此，使得 1909 2009 n n 为完全平方数的n共有 4 个，分别为 1959，1989，1999，2007. 二、填二、填空题（本题满分空题（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分） 1已知t是实数，若, a b是关于x的一元二次方程 2 210xxt 的两个非负实根，则 O D A B C E 22 (1)(1)ab的最小值是_. 【答】【答】3. 因为, a b是关于x的一元二次方程 2 210xxt 的两个非负实根，所以 2 ( 2)4(
12、1)0, 10, 2, t abt ab 解得12t . 2222222 (1)(1)()() 1()()21abababababab 22 (1)42(1) 14ttt ， 当1t 时， 22 (1)(1)ab取得最小值3. 2 设 D 是ABC 的边 AB 上的一点，作 DE/BC 交 AC 于点 E，作 DF/AC 交 BC 于点 F，已 知ADE、DBF 的面积分别为m和n，则四边形 DECF 的面积为_. 【答【答】 2 mn. 设ABC 的面积为S,则因为ADEABC，所以 ADE SAD ABS . 又因为BDFBAC，所以 BDF SBD ABS . 两式相加得1 ADEBDF
13、 SSADBD SSABAB ，即1 mn SS ，解得 2 ()Smn. 所以四边形 DECF 的面积为 2 ()2mnmnmn. 3如果实数, a b满足条件 22 1ab， 22 |1 2| 21ababa ，则ab_. 【答】【答】 1. 因为 22 1ab，所以11, 11ab .由 22 |1 2| 21ababa 可得 2222 |1 2|21 121abbaaaaa 2 22aa ，从而 2 220aa，解得 10a . 从而120ab， 因 此 2 1222abaa ， 即 22 122(1)bab， 整 理得 2 230bb ，解得1b （另一根 3 2 b 舍去）. 把1
14、b 代入 2 12ba 计算可得0a ，所以1ab . F E B C A D 4已知, a b是正整数，且满足 1515 2() ab 是整数，则这样的有序数对( , )a b共有_对. 【答】【答】 7. 设 1515 2 k ab （k为正整数） ，则 2 151515 4 k k baa ，故 15 a 为有理数. 令 2 2 15q ap ，其中, p q均为正整数且( , )1p q .从而 22 15aqp，所以 2 |15q，故1q ，所 以 151 ap . 同理可得 151 bm （其中m为正整数） ，则 11 2 k pm . 又1,1mp，所以 11 2 2 k pm ，所以1
