《ky3第三章一元函数微分学》由会员分享,可在线阅读,更多相关《ky3第三章一元函数微分学(34页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 一元函数微分学一元函数微分学 本章主要内容有:一元(隐)函数求导方法、微分中值定理、Taylor 公式、不等式的证 明、凸函数、导数的应用(极值、函数作图等)等. I 基本概念与主要结果基本概念与主要结果 一一 导数与微分导数与微分 1 导数导数 定义定义 1 设函数在点某领域内有定义,若极限 )(xfy = 0 x 0 0) ()( lim 0xx xfxf xx 存在,则称函数在点处可导,并称该极限为函数在点处的导数,记作. f 0 xf 0 x)( 0 x f 等价形式: .lim )()( lim )()( lim)( 0 00 0 00 0 0 x y h xfhxf
2、x xfxxf xf xhx = + = + = 当上述极限不存在时,可研究其单侧极限,即左右导数. 左导数:设函数在点的左领域)(xfy = 0 x),( 00 xx上有定义,若左极限 )0( )()( lim 00 0 xf0)( f. 于是,若0)(cf,令+x得 , 若+)(xf0)(cf cx 时,由拉格朗日中值定理得 )()()()(+=xcxfcfxf. 若,则当0)(x, 使得, 在矩形区域上,) 1,(, 22 +xx 1, 1, 22 + ) sin (, sin u ux x u ux 均连续,所以 x x x x x du u ux xf x x x 23 sin 2
3、sin ) sin ()( 2 += x xx uxdu x x 23 sinsin2 cos 2 += x xx x x x x 2323 sinsin2sinsin += . sin2sin3 23 x xx = 例例 8 (西北工业大学) 设)()(, 1 )( 2 xfffxf x x xf n ?= + =(个) , 求 nf).(xfn 解解 由数学归纳法易证: ., 1 )( 2 + + =Zn nx x xfn 于是 . )1 ( 1 1 1 ) 1 ()( 32 2 2 2 2 2 nx x nx nx nx nx nx x xfn + = + + + = + = 思考题思考
4、题 5 求下列函数的导数: (1)(复旦大学 1999); )sin(sin x x xy = (2)(复旦大学 1998); x xycostan= (3) (华东师大 1998) + m,即 . 3m 思考题思考题 6(山东大学)试作一函数在),(+内二阶可微,使得)(xf 在处不连 续,其余处处连续. 0=x 思考题思考题 7(华东化工学院) 确定常数,使函数 ba, + = , 1, , 1, )( 2 xx xbax xf 处处连续,且可微. 例例 11(内蒙古大学)讨论函数 + = ,),1 ( ,),1 ( )( QRxxx Qxxx xf 的连续性和可微性. 解解 首先证明:在
5、处连续. 事实上)(xf0=x0)0(=f,且) 1 , 0(Ux时,有 xfxf2)0()(, 因此,) 1( 2 , 0 ,当), 0(Ux时,有 ,当时,有 ), 0( 0 Uz xf ax axax xf ax afxf ax afxf = = = )( )()( lim )()( lim, 即在点可导. )(xfa 同理可证:当时,在点a也可导. 0)(x 1)2(, 1 2 2)( 2 2)( 1 1 1 1 1 = + f x xp x xf ; 同理,当时,有 1 2 + xf. 由于 0 )()( lim)( 0 + = + + h xfhxf xf h , 所以,. 由和)
6、()(xfhxf+0hx的任意性知在严增, 再由在闭区间 上连续知,这与已知条件矛盾. )(xf),(ba)(xf ,ba)()(bfaf当当当 h0时,,bax,有 + )( )()( xf h xfhxf . 因此,当, 0 bax h0,, 0 bahx+时,有 )( )()()()( )( )()( 0 0000 0 00 xf h hxfhhxf h hxfhhxf hxf xfhxf + + + += + )( )()( )( )()( 0 00 0 00 xf h xfhxf hxf h hxfhhxf + + + 2. 即在连续,由的任意性知命题成立. )(xf 0 x 0 x