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1、课程学习 最短路径问题练习一、选择基础知识运用1如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则AOB的度数是（）A25B30C35D402如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）ABCD3如图，AOB=30，点P是AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则CPD周长的最小值为（）A10cmB15cmC20c
2、mD40cm4如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A（-2，0）B（4，0）C（2，0）D（0，0）5如图，已知AOB的大小为，P是AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若PEF周长的最小值等于2，则=（）A30B45C60D90二、解答知识提高运用6如图：已知四边形ABCD，BAD=120，CBAB，CDAD且AB=AD=3，点E，F分别在BC，CD边上，那么AEF的周长最短是 。7如图，已知A、B是锐角的OM边上的两个定点，P在ON边上运动问P点在什么位置时，PA2+P
3、B2的值最小？。8如图ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使DPQ的周长最小？并求出这个最值。9如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小。如图建立直角坐标系。（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0a2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式。（2）在0a2范围内，a取何
4、值时直线输送带总长最小，并求其最小值。参考答案一、选择基础知识运用1【答案】B【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，PM=DM，OP=OD，DOA=POA；点P关于OB的对称点为C，PN=CN，OP=OC，COB=POB，OC=OP=OD，AOB= COD，PMN周长的最小值是5cm，PM+PN+MN=5，DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，OC=OD=CD，即OCD是等边三角形，COD=60，AOB=30；故选：B。2【答案】B【解析】作点A关于直线
5、l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M。根据最短路线问题，B选项图形方案符合。故选B。3【答案】C【解析】如图，作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP，由轴对称确定最短路线问题，PP分别与OA、OB的交点即为C、D，CPD周长的最小值=PP，由轴对称的性质，POA=POA，POB=POB，OP=OP=OP=20cm，所以，POP=2AOB=230=60，所以，OPP是等边三角形，PP=OP=20cm。故选：C。4【答案】C【解析】作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B
6、的距离之和最小，A（-2，4），C（-2，-4），设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入得：24k+b42k+b，解得：k=1，b=-2，y=x-2，把y=0代入得：0=x-2，x=2，即P的坐标是（2，0），故选C。5【答案】A【解析】如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F此时，PEF的周长最小。连接OC，OD，PE，PF。点P与点C关于OA对称，OA垂直平分PC，COA=AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得DOB=BOP，PF=DF，OD=OPCOA+DOB=AOP+BOP=AOB=，OC=OD=OP=2，COD=2又PEF的
7、周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，OC=OD=CD=2，COD是等边三角形，2=60，=30。故选A。二、解答知识提高运用6【答案】延长AB至M，使AB=BM，延长AD至N，使AD=DN，分别交BC于E，DC于F，CBAB，CDAD，BC，CD是AM和AN的垂直平分线，AE=ME，AF=FN，AEF的周长=AE+AF+EF=ME+EF+FN=MN，此时AEF的周长最短为线段MN的长，AB=AD=3，AM=AN，BAD=120，M=N=30，MN=2AMcos30=12=6，故答案为67【答案】设OA=a，OB=b，OP=x，PA2=a2+x2-2axcos，PB2=b2+x2
8、-2bxcos，PA2+PB2=a2+x2-2axcos+b2+x2-2bxcos=2x2-2（a+b）cosx+a2+b2，当x=cos时，PA2+PB2的值最小8【答案】作D关于BC、AC的对称点D、D，连接DD，DQ，DP。DQ=DQ，DP=DP，DPQ的周长为PQ+DQ+DP=PQ+DQ+DP=DD，根据两点之间线段最短，DD的长即为三角形周长的最小值。A=B=60，BED=AFD=90，=90-60=30，DDD=180-30-30=120，D为AB的中点，DF=ADcos30=1 =，AF= ，易得ADFQDF，QF=AF=，AQ=1，BP=1，Q、P为AC、BC的中点DD=2=，同理，DD=2=，DDD为等腰三角形，D=D= =30，DD=2DDcos30=2=39【答案】（1）如图所示：过B作直线BEy轴于E点，A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，AB=6千米，AE=4-2=2千米，BE=，A（0，4）、B（，2），过点B作关于直线l1的对称点B，则BF=BF=2-a，B点的坐标为（，-2+2a），S=AB= =2；（2）由（1）可知，S=2，0a2，当a=2时S有最小值，则S=2=6（千米）。
