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1、第一章 信号的分类及其表示,信号处理的对象是各类物理信号.研究信号,首先要研究各类信号的表示方法.举一个简单的例子:,1-1 信号频域表示的意义,随时间变化的电压可以用如下一元函数表示:,其中v是电压,t是时间变量,（1-1-1）,设v(t)是周期函数(周期为2),则在一定条件下可表为傅立叶级数:,其中：,为v(t)的傅立叶级数。,（1-1-2）,（1-1-3）,可以看出，傅立叶系数 是周期信号v(t)的一种表示方法。在物理上， 和 称为周期信号v(t)的频谱。式（1-1-2）称为该信号的频域表示。,用傅立叶级数来表示一个周期信号函数，在信号处理过程中具有很重要的意义。概括起来可列为以下四种含
2、义：,1 用简单表示复杂,2 可以转化为正交坐标表示,3 能量误差最小的最佳表示,信号的频域表示有明显的物理意义,并能显示出信号包含信息的某些规律,可以看出，信号函数的频域表示能给我们在研究和处理时带来许多方便和有利之处.利用傅立叶展开来表示和分析函数，在数学中称为调和分析。,各种物理信号有不同的特殊规定性，也有着不同的数学形式。分类简述如下：,一、连续型变量与离散型变量,根据时间变量取值的状况，信号有连续型变量和离散型变量两种类型。前者可用函数表示：,（1-1-4）,后者则用无穷序列来表示：,（1-1-5）,其中,二、无限长信号与有限长信号,顾名思义，无限长、有限长信号主要是根据表示信号的自
3、变量t和k的变化范围是否有限来判断的。我们实际处理的信号通常是有限长的。离散型有限长信号通常用列向量来表示：其中T表示向量（或矩阵）的转置。,有的无限长信号本身就是周期信号。对于有限长信号x(t), 0tT,常在信号处理中将其延拓成周期信号：,三、周期信号与非周期信号,其他,也可通过“零延拓”将x(t)延拓为非周期无限长信号：,其他,对于有限长离散信号（向量） ，常将其延拓成无穷周期序列 ：,K+mN取值为0,1,N-1,m为某一整数,四、一维信号与多维信号,一个一元函数通常表示时间信号,对于空间信号则需要用多元函数来表示。,在面对实际问题时，我们通常研究的是随机信号；而确定性信号往往是为了研
4、究方便而所假定出的信号。,例如，彩色电视图像可用三维的向量函数来描述，其中f、g、h分别表示在(x,y)位置t时刻的红、绿、蓝三色的色度。,五、确定性信号与随机信号,设信号x(t)是周期函数，周期为：,1-2 连续型时间变量的周期信号,x(t+T) = x(t) (1-2-1),相应的频谱表示为,(1-2-2),其中：,为x(t)的频谱(傅立叶系数)。也可以用傅立叶级数表示该信号(可以是复函数)：,（1-2-3）,（1-2-4）,其中：,（1-2-5）,式中符号“”表示“相应于”。因为从数学上讲并不是所有周期函数的傅立叶级数都收敛于该函数本身，故没有使用“=”。下面介绍一些上式等号成立的有关研
5、究概况。,收敛定理-狄里克莱(Dirichlet)判别法,若x(t)是以为周期的逐段单调函数,且在0,T)内仅有有限个不连续点，则,（1-2-）,如果x(t)在0,T)内逐段连续，则它的三角函数形式的傅立叶级数式(1-2-2)与指数形式的傅立叶级数式(1-2-4)同时收敛或同时发散。如果收敛，则二者的和相等。,关于三角函数形式与指数形式的傅立 叶级数之间的相关命题,设x(t)是以为周期，在0,T)上句段可微的连续函数，则其傅立叶级数在整个数轴上一直收敛于x(t)。,若x(t)平方可积：则：,（1-2-7）,（1-2-8）,一致收敛性定理,傅立叶级数的平方收敛性,对于任意一点 ，总可以找到一个连
6、 续函数，其傅立叶级数在该点 处是 发散的。,存在绝对可积的函数x(t),其傅立叶级数 处处发散。,当函数x(t)平方可积时，其傅立叶级数 处处收敛。,对于一些傅立叶级数收敛性不好的连续 函数，在某种平均意义下具有很好的收 敛性。,例如,若记 为连续周期函数x(t)的傅立叶级数的前2N+1项部分和，则一致收敛于x(t)。,对于给定数列 , （或者 ），当 满足条件：,(或者 ),则它可以作为某个周期信号函数的频谱，即级数或收敛于某个和函数。,1-3 傅立叶积分变换,1-3-1 非周期信号与傅立叶积分变换,对于定义在 上的非周期信号函数x(t)，如果它满足绝对可积条件：则存在下面的傅立叶积分变换
7、,（1-3-1）,（1-3-2）,其反变换为：其中X(f)称为x(t)的频谱。,（1-3-3）,若采用角频率 作为频域变量，则变换对x和X分别为,（1-3-4）,（1-3-5）,傅立叶积分变换有许多重要性质，在对非周期信号的处理过程中也起着非常重要的作用。关于傅立叶变换的性质，常用傅立叶变换对以及一些重要公式，在课本中都有相应的介绍和列举。具体内容可见书本。 关于傅立叶积分变换的知识内容在信号处理中十分常见和重要，希望大家能够熟记并清楚各个公式、性质的推演和联系。,所谓单位脉冲 ，通常被用来表示瞬间存在的冲激信号。该冲击信号的物理特征是在t=0处取值为无穷大，而在其他时刻取值均为零；或者是具有
8、一定特性的函数序列的极限。 由于其自身所具有的特性， 函数有着不同的数学解释。在课本中介绍了几种常被科技工作者使用的关于 的解释。,1-3-2 单位脉冲和线性系统,单位脉冲的一个基本应用是用于线性系统的描述。 系统的概念很广泛。这里，我们把变一个信号(称之为系统的输入信号)为另一个信号(称之为系统的输出信号)的装置或设备称为系统。在数学上这种装置或设备称为算子。若将系统记为T，输入和输出分别记为x和y，则相应的关系式为,（1-3-6）,如果T满足线性迭加性质：其中a和b为任意常数，则T为线性系统。,如果输入输出都是连续型信号函数：x=x(t),y=y(t),则称T为连续型系统。如果条件Tx(t
9、)=y(t)导致Tx(t-t)=y(t-t)，其中t为任意，则称T是移（时）不变系统。,（1-3-7）,对于线性时不变系统，相应于任意输入的x(t)输出y(t)是与单位脉冲响应h(t)的卷积：,针对线性时不变系统T，令单位脉冲 为输入信号，相应的输出信号记为h(t)它称为系统T的单位脉冲响应：,（1-3-9）,（1-3-8）,式(1-3-9)含有卷积运算，这在许多场合中是不方便的。应用傅立叶变换的卷积定理，在对应的频域中，有或,由上式可以看出，线性时不变系统可以用单位脉冲响应h(t)来描述。,（1-3-11）,（1-3-10）,H(f)或H(w)称为系统T的频率响应。,考察函数的傅立叶变换：,
10、1-3-3 正交滤波器与希尔伯特变换,（1-3-12）,（1-3-13）,（1-3-14）,如果一个系统具有形式为(1-3-14)的频率响应，其输出y(t)与x(t)的幅度相同，而相位相差 。例如当输入为正弦波时，输出为余弦波。这样的系统称为正交滤波器。在时域中考察这个问题，有,（1-3-15）,在数学上，称y(t) 为x(t)的希尔伯特变换.因此对信号作希尔伯特变换,就相当于将该信号通过一个正交滤波器。,x(t)的希尔伯特变换记为 ：,（1-3-16）,希尔伯特变换的各种性质及其证明在课本中均有详细介绍。希尔伯特变换也是信号处理中的一种重要变换。它对于研究因果信号，带限信号，再带随机过程以及
11、引入信号的包络、瞬时频率、瞬时相位等都是必不可少的工具。,1-3-4 子波变换,无限长离散型信号 可认为是通过对信号函数x(t)进行采样而得到的.它是一个双边无限序列.其频谱定义为：,1-4 序列的频谱与采样定理,1-4-1 非周期信号与傅立叶积分变换,（1-4-1）,该级数的收敛条件是：,（1-4-2）,容易验证，X(f)是以 为周期的周期函数：,（1-4-3）,因此，式(1-4-1)可以看成是周期函数X(f)的傅立叶级数展开式。我们可以同时得到反演公式：,（1-4-4）,1-4-1 采样定理与频谱混叠,在序列 的频谱表达式(1-4-1)中令可以得到一个简洁形式,1-5 Z 变换,1-5-1
12、 双边Z变换与离散线性系统,（1-5-1）,（1-5-2）,从复变函数的角度考虑，这是一个罗朗级数，其收敛域是一个环域：,在此收敛域内，级数(1-5-2)收敛于一个复函数X(z)：,（1-5-3）,（1-5-4）,此复函数称为序列 的Z变换。可以看出Z变换的频域表示比傅立叶频谱更简单。,由式(1-5-2)可知序列的频谱是Z变换X(z)在单位圆上的取值，因此Z变换比频谱更广。本质上讲两者是同一类概念,但频谱的物理意义更明确，而Z变换在进行数学处理时更为方便。 Z变换的逆变换可经过反演得到：,（1-5-5）,其中 为任一将 和 隔开的简单闭合曲线。,一般地，对于因果序列 ，其中我们称复函数 为 的
13、单边Z变换。因此，凡是说到单边Z变换，我们总是认为对满足条件式(1-5-6)的序列而言的。,1-5-2 单边Z变换与差分方程,（1-5-6）,（1-5-7）,1-5-3 离散线性系统的稳定性,1-6 随机信号的表示,随机信号x(t)是一个随机过程，即依赖于参数 t（通常是时间变量）的一簇随机变量。对于固定的t， x(t)是一个随机变量。T在某一范围 内变化。根据t的变化特点，随机信号x(t)可分为连续随机过程和离散随机过程（随机序列）。如果 为有限集0,1,N-1,则x(t)称为一个N维随机向量。,1-6-1 概述,实随机信号x(t)的主要数字特征描述如下：,数学期望（均值）,（1-6-1）,
14、2. 方差,（1-6-2）,3. 均方值,（1-6-3）,与随机变量一样，方差表示随机信号x(t)在时刻t对于均值的偏离程度。而x(t)的自相关函数和协方差函数则是刻划了该随机过程本身在两个不同时刻的状态之间的线性相关程度。,4. 自相关函数,（1-6-4）,5. 协方差函数,（1-6-5）,上述诸数字特征之间的关系为：,（1-6-7）,（1-6-6）,（1-6-8）,由此可见，均值和自相关函数是这些数字特征中最主要的。,当描述两个随机信号x(t)和 y(t)之间的关系时，应用的数字特征是：,7. 互协方差函数,6.互相关函数,信号x(t)和 y(t)互不相关的条件是： 即,（1-6-9）,（1-6-10）,（1-6-11）,如果随机过程满足如下两个条件：,1-6-2 平稳过程及自相关函数,1 均值与t无关,（1-6-12）,2 自相关函数仅仅依赖于参数的平移,（1-6-13）,则称x(t)为广义随机过程或宽平稳随机过程，简称平稳过程。,自相关函数是平稳过程的主要特征，它又可写为：,（1-6-14）,平稳过程x(t)的另一个重要的数字特征是功率谱密度，它定义为自相关函数的傅立叶变换：,（1-6-16）,（1-6-15）,由于 均是偶函数，且式(1-6-15)和(1-6-16)可写成：,（1-6-17）,
