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1、球面曲线的性质与应用刘滨赫摘 要 本文是在前人工作的基础上，对前人条件的总结，归纳，改进，研究了球面曲线的充要条件，又给出了球面曲线的性质，进而又对一类特殊的球面曲线（球面曲线为闭曲线）进行了讨论并对球面曲线的应用做了一些简单的介绍.关键词 球面曲线 充要条件 闭曲线1引言球面曲线的充要条件，一直为人们所关注.1963年Y C Wong 给出了一个充要条件，1971年S Breuer and D Gottlieb又给出一个充要条件.1972年Y Wong对1971年的文献的结果作了改进.1975年ishop又给出一个充要条件.然而这个充要条件不便于用来检验给定曲线是否为球面曲线.那么对于寻找一
2、种容易判断的方法是有必要地.在对球面曲线充要条件研究的基础上，原来空间曲线的一些性质如曲率，挠率等在这种特殊的空间曲线上又有什么其他的结论？我们有必要给出. 2.球面曲线的充要条件及性质曲率与挠率是描述曲线特征重要的两个量，而且容易求得，对于以前的那些充要条件，容易理解但不便于应用，那么接下来我们就通过曲线的曲率与挠率来给出曲线为球面曲线的条件及其推论并讨论球面曲线的性质. 2.1球面曲线的充要条件引理2.1.1 设为中心在原点半径为R的球面上的C的弧长参数表示.选取C的单位切向量，单位半径向量，.称(s)；(S)；为曲线在S处的相对平行框架4.用“”表示对弧长参数s的导数，用(s)，表示曲线
3、C的曲率和挠率，则有证：因为 ，俩边求导得到.t=0，令，则(，)为右旋的相互正交的三个单位向量.因为，令则，=，即得 （2.1.1）下面的定理中设=(S)，0为弧长参数表示的类正则曲线. 定理2.1.1 (s)为球面曲线的充要条件是存在常数R使得或者且满足这条件的曲线在半径为R的球面上. 证：必要性 若X(S)为球面曲线，可设球心在原点，半径为R，设(s)为(s)的单位向量，令，则由引理得到 积分得 (2.1.2)由（2.1.1），（2.1.2）式得到由（2.1.1）式得故得 充分性 若 ，首先有(s)存在.使得()，则上式无意义.上边俩边对s求导，得到=0即令f(s)=则f.；=-令 (s
4、)=(s)+则故(s)为常向量，且=故(s)在以C为中心半径为R的球面上 定理2.1.2 (s)为球面曲线的充要条件是存在常数A，B，使得A且满足这条件的曲线在半径为的球面上.证：必要性 若(s)为球面曲线，可设球心在原点半径为R，选取相对平行标架，由引理得到 (2.1.3) (2.1.4) 积分(2.1.4)式得R (2.1.5)因为，可设，(s),(s),(s)，(s)为(s)在s处的Frenet标架，俩边求导得到-比较俩边系数，得 (2.1.6) (2.1.7)积分（2.1.7）式，得到 (2.1.8)由（2.1.6）式得 =(2.1.8)式代入（2.1.6）式得 (2.1.9)由（2.
5、1.3）式得 (2.1.10)由（2.1.5）和（2.1.6）消去 得 （2.1.11）即其中 A=B=又（2.1.8）和（2.1.10）得 充分性 若存在常数A，B，使得A上式对任意，记求导，得到A即（）令 f(s)=则f. (2.1.12) =- (2.1.13)令(s)=(s)+应用（2.1.12），（2.1.13），得到故C(S)为常向量，为常数，(s)在以C(s)为中心半径为=的球面上. 定理2.1.3 =(s)为球面曲线的充要条件是存在常数R，使得-R (2.1.14)且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：必要性 若X(S)为球面曲线，可设球心在原点半径为R，选取相对平行标架设
6、(s),(s),(s)，(s)为(s)在s处的Frenet标架.由引理知则由引理得到比较俩边系数得到-R 充分性 若-R则-R俩边求导，得到-R令f(s)=则 f.令则，故(s)为常向量，+=，即X(S)在以C为中心半径为R的球面上由定理2.1.3容易得到.推论 2.1.1 =(s)为球面曲线的充要条件是存在常数R，使得 R (2.1.15)且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：在定理2.1.3的证明中，令，并注意可由f.和R=得到R=推论2.1.2 X=X(S)为球面曲线的充要条件是存在常数A，B，使得 （2.1.16）且满足这条件的曲线在半径为的球面上.证：将（2.1.14）展开且令-
7、R推论 2.1.3 X=X(S)为球面曲线的充要条件是存在常数R，使得 R (2.1.17)且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：在（2.1.16）中，令即得（2.1.17）2.2.球面曲线的性质 性质 2.2.1 类曲线=(s)为球面曲线则其曲率(s)和挠率满足（A）其中A，B为常数，且满足上式的曲线位于半径为的球面上.证明：设曲线=(s)位于半径为a(0)的球面上，球心向径为(常向量)，则= (2.2.1)设沿曲线的Frenet标架为（）将（2.2.1）俩端对s求导，得（）=0这说明（）与 正交，因此（）与 共面.若设顺着 的正向看时，到的有向角为，则有此俩端对s求导，并利用Frene
8、t公式，整理得(-a()+a()=由于是线性无关的，故有（1- a），()=0 （2.2.2）由（2.2.2）的第一式可见再由（2.2.2）的第二式有=0积分得 (2.2.3)其中为常数.将（2.2.3）代入（2.2.2）的第一式，得 a(S)即a(-(s)=1令A=a则有（A）且(球面半径)3 球面曲线为封闭曲线的条件和性质上面我们对球面曲线进行了讨论，那么球面曲线加上什么条件变为封闭曲线呢？该类曲线又有什么性质呢，接下来我们一起来探讨3.1 球面曲线为封闭曲线的条件 准备工作 考虑平面曲线)在球极投影逆映射下的像：=（），其中s，分别代表弧长参数，为切线方向角函数，单位球心为即.熟知有 (
9、3.1.1)将此式对s求导并取模长，经直接计算可知 = (3.1.2)记为球面曲线所对应的函数使曲率且挠率，则已知 (3.1.3)引理 3.1.1 =-证明 由3.3.1）（3.3.2）可得(x，y)=()=代入（3.1.3）易得=-=注 引理 3.1.2取球面内法向，则的测地曲率证明 由公式易得球面曲线封闭的条件设：（-）是单位球面上的一条曲线，其曲率和挠率都是弧长周期函数，为正数，由3可知，所对应的函数周期函数，其中=，注意到引理1.2，亦为周期函数，若 封闭，以为封闭周期，则任取一点为北极向南极切平面作球极投影所得平面曲线一定是封闭的，且适当选取弧长起点后有确定的方向函数和封闭周期L，其
10、中s为的弧长参数.由平面闭曲线切线的旋转指标定理和平面曲线基本定理易知，的封闭条件等价于 (3.1.4)其中为的切线的旋转指标，记满足（1）式的非常值光滑函数的全体为，则是以L为封闭周期（未必是最小周期）的平面闭曲线的方向角函数族.注意到和分别是和内在确定的量，且反之在刚性运动等意义下和分别唯一确定和，由引理3.1.1易得下述结论.定理 3.1.1 设单位球面上具有弧长参数的曲线所对应的函数为，则封闭的充要条件是存在使（i）=(ii)=-注 若球面不是单位的 ，则有类似结果.为简明起见，以后也总考虑单位球面曲线.3.2 球面闭曲线的性质预备知识定义 一条空间闭曲线（C）: =(s)，0称为曲线
11、（C）的总挠率（或全挠率）.一般地，空间闭曲线的总挠率的取值范围是：-设（C）是半径为R上的球面曲线，将（C）相似映射到单位球面（s）上，像曲线为（）.设（）：引理 3.2.1 (c)=证()=，(c)=由于 (3.2.1)故(c)=引理3.2.2 证 ，(s)=注意到，利用（3.2.1）式即得(s)=推论3.2.1 （c）与（）有相同的总挠率.证 由于相似映射是保形映射，所以俩球面上第一基本形式成比例，比例系数为R，因而曲线（c）的弧长=RS，d，所以有引理 3.2.3 单位球面上的曲线（），若，则 ，其中. （3.2.2）证 设（）：，由于从而有=0上式俩段求导，注意到，=，有即1+=0 (=1)再对上式求导，得+利用弗雷内公式，化
