《2018届高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线 文（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课标版,节 直线与圆锥曲线,1.直线与圆锥曲线位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0 (A,B不同时为0)与圆锥曲线r的方程F(x,y)=0联立,消去y(也可以消去x) 得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即联立 消去y(或x) 后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).,教材研读,(1)当a0时,若 0 ,则直线l与曲线r相交;若 =0 ,则直线l 与曲线r相切;若 0 ,则直线l与曲线r相离. (2)当a=0时,得到一个一次方程,则直线l与曲线r相交,且只有一个交点, 此时,若r为双曲线,则直线l与双曲线的 渐近线 平行;若r为
2、抛物线, 则直线l与抛物线的 对称轴 平行或重合.,直线l:f(x,y)=0,圆锥曲线r:F(x,y)=0,l与r有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2), 则A、B两点的坐标是方程组 的两组解,方程组消元后化为 关于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判别式=b2-4ac, 应有0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的两个根. 由根与系数的关系得x1+x2=- ,x1x2= ,以此结合 弦长公式可整体代入求值.A、B两点间的距离|AB|= |x1-x2| = (其中k为直线l的斜率),也可以写成关于
3、y的形式, 即|AB|= |y1-y2| = (k0).特殊地,如果,2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题,直线l过抛物线的焦点,抛物线方程以y2=2px(p0)为例,那么|AB|= x1+x2+p .,3.弦AB的中点与直线AB斜率的关系 (1)已知AB是椭圆 + =1(ab0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运 用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B都在椭圆上, 两式相减得 + =0, + =0, =- =- ,故kAB=- . (2)已知AB是双曲线 - =1(a0,b0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x,2,弦中点
4、M(x0,y0),则与(1)同理可知kAB= . (3)已知AB是抛物线y2=2px(p0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦中 点M(x0,y0). 则 两式相减得 - =2p(x1-x2), (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), = = ,即kAB= .,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)直线l与抛物线y2=2px只有一个公共点,则l与抛物线相切. () (2)若直线l与抛物线y2=2px相交,则一定有两个公共点. () (3)直线y=kx(k0)与双曲线x2-y2=1一定相交. () (4)若直线与双曲线相交,则一定有两个公共
5、点. () (5)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点. () (6)直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切. (),1.直线y=kx-k+1与椭圆 + =1的位置关系为 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案 A 由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),又(1,1)在椭圆内,故 直线与椭圆必相交.,2.直线y= x+3与双曲线 - =1的交点个数是 ( ) A.1 B.2 C.1或2 D.0 答案 A 因为直线y= x+3与双曲线的渐近线y= x平行,所以它与双 曲线只有1个交点.,3.双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点为F,直线l过焦
6、点F,且斜率为k,则 直线l与双曲线C的左,右两支都相交的充要条件是 ( ) A.k- B.k 或k- D.- k 答案 D 由双曲线的渐近线的几何意义知- k .,4.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有 条. 答案 3 解析 当过点(0,1)的直线的斜率不存在时,方程为x=0,与抛物线y2=4x 仅有一个公共点,符合题意. 当过点(0,1)的直线的斜率存在时,设为k,此时直线为y=kx+1,由 得k2x2+(2k-4)x+1=0, (*),当k=0时,方程(*)只有一解,即直线与抛物线只有一个公共点,符合题意, 当k0时,由=(2k-4)2-4k2=0,
7、解得k=1,即直线y=x+1与抛物线相切,综上, 符合条件的直线有3条.,考点一 直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 典例1 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(ab0)的左焦 点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程. 解析 (1)由题意得a2-b2=1,b=1,则a= , 椭圆C1的方程为 +y2=1. (2)易得直线l的斜率存在且不为零,则可设l的方程为y=kx+b(k0).,考点突破,由 消去y整理得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0,1=16k2b2-
8、8(b2-1)(2k2+ 1)=16k2+8-8b2=0,即b2=2k2+1. 由 消去y整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1, ,由得b= ,代入得 =2k2+1,即2k4+k2-1=0. 令t=k2,则2t2+t-1=0,解得t1= 或t2=-1(舍), 或 l的方程为y= x+ 或y=- x- .,方法技巧 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交 点坐标,也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定,需注意利 用判别式的前提是二次项系数不为0. (2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联
9、立方程并消元,得到一 元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次 方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.,1-1 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取 值范围为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由 消去y,得(1-k2)x2-4kx-10=0, 直线与双曲线右支交于不同的两点, 解得- k-1.,考点二 弦长问题 典例2 (2016课标全国,21,12分)已知A是椭圆E: + =1的左顶点, 斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA. (1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积
10、; (2)当2|AM|=|AN|时,证明: 0. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 . 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.,将x=y-2代入 + =1得7y2-12y=0. 解得y=0或y= ,所以y1= . 因此AMN的面积SAMN=2 = . (2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入 + =1得,(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 由x1(-2)= 得x1= , 故|AM|=|x1+2| = . 由题设,直线AN的方程为y=- (x+2), 故同理可得|AN|= .,设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f
11、 (t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t) 在(0,+)内单调递增. 又f( )=15 -260,因此f(t)在(0,+)内有唯一的零点,且零点 k在( ,2)内,所以 k2.,由2|AM|=|AN|得 = ,即4k3-6k2+3k-8=0.,方法技巧 弦长的求解 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1), B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|= = |x1-x2|= |y1-y2|(k0). (3)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.,2-1 (2016贵州贵
12、阳摸底)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 + =1 (ab0)的离心率为 ,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当 直线AB的斜率为0时,AB=4. (1)求椭圆的方程; (2)若|AB|+|CD|= ,求直线AB的方程.,将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 则x1+x2= ,x1x2= , 所以|AB|= |x1-x2| = = . 同理,|CD|= = , 所以|AB|+|CD|= + = = ,解得k=1, 所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.,考点三 中点弦问题 典例3 (2016福建福州质检)抛物线C的顶
13、点为原点,焦点在x轴上,直线x -y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方 程为 ( ) A.y=2x2 B.y2=2x C.x2=2y D.y2=-2x 答案 B 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px(p0),则 两式相 减可得2p= (y1+y2)=kAB2=2,可得p=1, 抛物线C的方程为y2=2x.,方法技巧 处理中点弦问题的常用方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减, 式中含有x1+x2,y1+y2, 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线 的斜率,借用中点公式即可求得斜率.
14、(2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程,将其转化为一元二 次方程后由根与系数的关系求解.,3-1 已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线l:y=-kx+ 对称, 求k的取值范围. 解析 解法一:由题意知k0,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的方程为y= x+b(b 0),代入y=x2,得x2- x-b=0, 所以= +4b0, x1+x2= . 设MN中点的坐标为(x0,y0),则x0= ,y0= +b, 因为(x0,y0)在直线l:y=-kx+ 上, 所以 +b=-k + ,所以b=4- .,将代入,得 +16- 0, 所以 ,所以k 或k ,即4 ,所以k2 ,即k 或k- , 故k的取值范围为 .,
