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1、 考前自我保持状态参考题1 考前 10 天1 (本小题共 14 分)设 ,函数 ( 是自然对数的底数)aR2()xfeae.若 ,求曲线 在点 处的切线方程a()yfx,.判断 在 上的单调性()fx解: Q2)eax= _3 分()()xxf e(2)xea(1)当 时 , , _5 分a)3f 14f1fe切线方程为 即 ,_7 分4(1yex0ey(2)令 得 ,()0fx2a当 即 时, 在 , 单调递增a2()fx()f,2,a在 单调递减_10 分,当 即 时, 在 , 单调递增20()0fx()f,0,在 单调递减_12 分,a当 ,即 时, , 在 上单调递增_14 分22()
2、xfe()fxR2 (本小题共 14 分)已知两点 ,平面上动点 满足(0,1)M,)N(,)Pxy|0NMPNurur.求动点 的轨迹 的方程;PxyC.设 , ( )是 轴上两点,过 作直线与曲线 交于 、 两(,)Qm(,)R0yQCAB点,试证:直线 、 与 轴所成的锐角相等;AB.在的条件中,若 ,直线 的斜率为 , 1求 面积的最大值.V解:. ,|NMur|0PNur_2 分22(1)0,1xyxy化简整理得 4动点 的轨迹 为抛物线,其方程为: _4 分(,)PxyC24xy. 过 作直线 与抛物线 交于 、 两点, 的斜率 存在QlABlk设直线 : 与 联立,lykxm24
3、y24kxmy消去 得 _6 分240则此方程有两个不相等的实数根, ,*2160kV设 , ,则 , _7 分1,Axy2,By124x2xm要证直线 、 与 轴所成的锐角相等,只要证明 , _8 分RRABk,Q214xy212RABmykx22112244xmxx, 命题成立. _10 分121212()() 04x.若直线 的斜率 , 直线 ,由.知消去 得 , ABkymy240xm由*式 得 , ,且 ,01m0124x12,221|()4()kx记点 到 的距离为 , , _12 分RABd|RABm,设321| |2S V 32()fm令 知 在 递增,在 递减,()3fm()
4、0fx()f1,0当 时 有最大值,故 最大值为 ._14 分2()fRABS8392 考前 9 天1已知函数 ,其中 为大于零的常数.()lnaxfx(I)若曲线 在点( 1, )处的切线与直线 平行,求 的值;y()f 1-2yxa(II)求函数 在区间1, 2上的最小值.()fx解: ( ) .4 分221) axaf0(I)因为曲线 在点(1, )处的切线与直线 平行,(yfx)f 1-2yx所以 ,即 6 分(1)-f ,3.a解 得(II)当 时, 在(1,2)上恒成立,0()0fx这时 在1,2上为增函数()f.8 分min1xa当 时,由 得,2()0fx(1,2)a对于 有
5、在1 ,a上为减函数,(,)x,()f对于 有 在 a, 2上为增函数,a(fx.11 分min()lfx当 时, 在(1,2)上恒成立,2(0f这时 在1,2上为减函数,)fx.min(l2a综上, 在1, 2上的最小值为)fx当 时, ,01amin(1a当 时, ,2i)lfx当 时, .13 分min(22已知椭圆 C: 的长轴长为 ,离心率 . 21(0)xyab22e(I)求椭圆 C 的标准方程;(II)若过点 B(2,0)的直线 (斜率不等于零)与椭圆 C 交于不同的两点 E、F(El在 B、F 之间) ,且 OBE 与 OBF 的面积之比为 ,求直线 的方程.12l解:(I)椭
6、圆 C 的方程为 ,由已知得 .3 分)0(12bayx 22ceab解得 2, 1,abc所求椭圆的方程为 5 分2yx(II)由题意知 的斜率存在且不为零,l设 方程为 ,将代入 ,整理得l2(0)xmy12yx,由 得 .7 分2()4.m设 , ,则 8 分),(1yxE),(2yxF124y由已知, , 则 2OBEFS|12由此可知, ,即 .9 分1y代入得, ,消去 得1243my12269()m解得, ,满足2872.即 .12 分314m所以,所求直线 的方程为 .13 分l7314073140xyxy或3 考前 8 天1已知椭圆 的离心率为 ,短轴的一个端点到右焦点的距离
7、21(0)xyab63为 , 直线 交椭圆于不同的两点 , 3:lkmAB()求椭圆的方程;()若 ,且 ,求 的值( 点为坐标原点) ;0OABkO()若坐标原点 到直线 的距离为 ,求 面积的最大值 l32AB解:()设椭圆的半焦距为 ,依题意 ,解得 .c63ca2c2 分22ab由 得 , =1.所求椭圆方程为 3 分2.3xy() .,mk(1)kx,其坐标满足方程 消去 并整理得12(,)(,)AxyB设21,3().ykxy, 4 分22(3)630kxk5 分241()则故 . 6 分21212,33kkxx,0OAB7 分121212()()xyxkx21k 222363(1
8、) 0131kk8 分3. .kk经 检 验 满 足 式 式 (*)() 可得 . 9 分2,1m由 已 知 2314k, .ykx将 代 入 椭 圆 方 程22()630xkm整 理 得226430k. 10 分212123,mxxk222161()()()3mABk k11 分2222213)39()mk12 分242114(0)9623696k kk, . 2k当 且 仅 当3即 时 等 号 成 立.3经 检 验 满 足 (*)式,13 分0.kAB当 时 , max2综 上 可 知. 14 分132OS当 最 大 时 的 面 积 取 最 大 值,2已知函数 .()lnpfx()若 ,求
9、曲线 在点 处的切线方程;p()f1,()f()若函数 在其定义域内为增函数,求正实数 的取值范围;()f p()设函数 ,若在 上至少存在一点 ,使得 成立,求实2egx,0x0()fx0g数 的取值范围.p解:()当 时,函数 , 2p2()lnfxx(1)2ln10f, ()fx曲线 在点 处的切线的斜率为 1 分(1,)f ()f从而曲线 在点 处的切线方程为 ,f 021)yx即 2 分 2yx() 3 分22()pxpf 令 ,要使 在定义域 内是增函数,只需 在h()f(0,)()0hx内恒成立. 4 分(0,)由题意 0, 的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为p2()xpx,
10、 ,1,xmin1h只需 ,即 ,p()0,()xf时 , 在 内为增函数,正实数 的取值范围是 . 6 分()fx0,)p1,)() 在 上是减函数,2eg1, 时, ; 时, ,即 , 7 分xmin()xxmax()2ge()2,gxe当 0 时, ,其图象为开口向下的抛物线,对称轴 在p2hp 1xp轴的左侧,且 ,所以 在 内是减函数 y()0()fx1,e当 时, ,因为 ,所以 0, 0,0p2hx,()hx2()xf此时, 在 内是减函数 ()f1,e故当 时, 在 上单调递减 ,不合题意;fxmax()(1)ff9 分当 0 1 时,由 ,p1,0ex所以 ()2ln2lnf
11、x又由()知当 时, 在 上是增函数,()fx1,e ,不合题意; 11 分1112ln2ln2xee当 时,由()知 在 上是增函数, ,p()fx,(1)02f又 在 上是减函数,()gx1,e故只需 , ,maxfin()g1,xe而 , ,()2lepmin()2gx即 , 12lp解得 ,4e所以实数 的取值范围是 . 13 分24()1e,4 考前 7 天1已知 ,函数 , 1,0x)2ln()(2xxf axg43(2()求函数 的单调区间和值域;)(f()设 若 ,总存在 ,使得 成立,求 的取,a1,0x1,0x)(10xf值范围解:() 1 分/()2fx令 ()0f解得: (舍去) 2 分1,2x列表: x0 2,11,21)(/f- 0 +x2ln 41 23ln1可知 的单调减区间是 ,增区间是 ; 5 分)(f )1,0(),2(因为 ,13ln2(l1)ln24所以 当 时, 的值域为 6 分,0xxfl,4() )(3)2/ ag因为 , 所以 , 8 分1,0x/()0gx为0,1上的减函数,)(x )(1所以 9 分4,32ag因为 当 时, 的值域为1,0x)(xf2ln,由题意知: 4,32ln,42a