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1、. 平面弯曲变形的基本知识,2,4,. 平面弯曲变形的基本知识,. 弯曲内力（剪力、弯矩）,. 梁纯弯曲时的强度条件,. 梁的刚度概念,下一页,返回,. 平面弯曲变形的基本知识,. 平面弯曲的概念 弯曲变形是杆件常见的一种变形形式，如桥梁，火车轮轴、车刀等，在外力的作用下其轴线发生了弯曲。这种形式的变形称为弯曲变形。 其受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力（即横向力）作用。其变形特点是：杆的轴线被弯成一条平面曲线。在外力作用下弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁，如图所示。,下一页,返回,. 平面弯曲变形的基本知识,. 常见梁的力学模型 在力学模型简化中，通常以
2、梁的轴线表示梁，根据梁所受支座约束的不同，梁平面弯曲时的力学模型可以分为以下种形式。 简支梁：如图（）所示，一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座 外伸梁：如图（）所示，一端或两端伸出支座外的简支梁 悬臂梁：如图（）所示，一端为固定端，另一端为自由端的梁。 作用在梁上的载荷，一般可以简化为种形式，如图所示。,上一页,下一页,返回,. 平面弯曲变形的基本知识,（）集中力。当力的作用范围相对梁的长度很小时，可简化为作用于一点的集中力。如直齿圆柱齿轮上的径向力与圆周力、轴承的约束反力和车刀所受的切削力。 （）集中力偶。当力偶作用的范围远小于梁的长度时，可简化为作用在某一横截面上的集中力偶。 （）分
3、布载荷。当载荷连续分布在梁的全长或部分长 度上时，形成分布载荷。分布载荷的大小用载荷集度表示，单位为。沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。均布载荷的载荷集度为常数，如均质等截面梁的自重属均布载荷。,上一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,当作用在梁上全部的外力（包括载荷和支座反力） 确定后，应用截面法可以求出任一横截面上的内力。 . 用截面法求剪力和弯矩 例 如图所示的悬臂梁，长为，受均布载荷的作用，求梁各横截面上的内力。 解：由平衡方程得：，为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为处沿截面将梁切开，分成左右两段，任取其中一段（如取左段梁） 为研究对象，如图（）所示。右段梁对
4、左段梁的作用可以用截面上的内力来代替。由于整根梁处于平衡，所以左段梁也应处于平衡。,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,由于外力有使左段梁沿铅垂方向移动的趋势，根据左段梁的平衡可知，截面上必有一个切于截面的内力，这种内力称为剪力。由静力平衡方程 得 （）（此式称为剪力方程）。 显然，外力还有使梁绕截面的形心逆时针转动的趋势（剪力 对点的矩为），可见截面上必然还有一个内力偶矩，这个内力偶矩称为弯矩。由静力平衡方程 ， ， 得 （ ）（此式称为弯矩方程）,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,由上述所得的剪力方程和弯矩方程，代入相应数据可以求得梁各横截面上的内力剪力和
5、弯矩。 由此可见，梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内的剪力 和位于纵向对称面内的弯矩。 计算截面上的剪力和弯矩时，也可取右段为研究对象（这时应首先由静力平衡条件求出约束反力和约束反力偶），其求得的剪力和弯矩的大小与取左段为研究对象求得的剪力和弯矩大小相等、方向相反，它们是作用与反作用关系。 横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲称为剪切弯曲（或横力弯曲）。有些情况下，梁的横截面上只有弯矩而没有剪力，则称为纯弯曲。,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,工程上一般梁（跨度与横截面高度之比），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，
6、故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。因此，下面仅讨论有关弯矩的问题。 为了使以两段梁分别为研究对象求得的同一截面上的弯矩不仅大小相等，而且正、负号一致，特作如下规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上 图 弯矩符号规定凸形状时，弯矩为负，如图所示。 根据上述弯矩正、负号的规定及例题 中弯矩方程可以看出，弯矩的计算有以下规律：若取梁的左段为研究对象，横截面上的弯矩的大小等于此截面左边梁上所有外力（包括力偶）对截面形心力矩的代数和，外力矩为顺时针时，截面上的弯矩为正，反之为负。,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,若取梁的右段为研究对象，横截面
7、上的弯矩的大小等于此截面右边梁上所有外力（包括力偶）对截面形心力矩的代数和，外力矩为逆时针时，截面上的弯矩为正，反之为负。 熟悉上述规律后，在实际运算中就不必用假想截面将梁截开，再用平衡方程去求弯矩，而可以直接利用上述规律求出任意截面上弯矩的值及其转向。 . 用剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图 一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随横截面位置的变化而变化的，若取梁的轴线为轴，以坐标表示截面的位置，则剪力和弯矩可以表示为的连续函数，即,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当, （） （） 此两式分别称为剪力方程和弯矩方程。为了能够直观地表明梁上各截面上的剪力和弯矩的大小及正负，通常把剪力
8、方程和弯矩方程用图像表示，称为剪力图和弯矩图。 例 简支梁如图所示，已知、 ；试列出梁的弯矩方程。 解：（）求约束反力。 ， ,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当, ， .， 得 ， / （）建立弯矩方程。 本例在梁的段处有均部载荷作用，所以梁应分成、及三段分别建立弯矩方程。 段：取左端为研究对象， （） 段：取左端为研究对象，（） （） 段：取右端为研究对象， （）,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,例 图（）所示的简支梁，在点处受到集中力作用，尺寸、和均为已知，试作出梁的弯矩图。 解：（）求约束反力。 （）建立弯矩方程,上一页,下一页,返回,. 弯
9、曲内力（剪力 、弯矩） 当,本例在梁的点处有集中力的作用，所以梁应分成和两段分别建立弯矩方程。 段 ： ， / （ ） 段 ： （） （ ） / / （ ） （）画弯矩图。 两个弯矩方程均为直线方程，各段内先定出两点即可连出直线,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,当 时，；时，/。当 时，/；当 时，。于是可作出弯矩图，如图（）所示。 例 图所示简支梁，在点处受集中力偶作用，尺寸、和均为已知，试作此梁的弯矩图。 解：（）求约束反力。,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,（）建立弯矩方程。 由于梁在点处有集中力偶作用，所以梁应分和两段分别建立弯矩方程。段
10、： ， / （ ） 段： ， / （ ） （）画弯矩图。 两个弯矩方程均为直线方程。当时，；当时，；当时，；当时，。于是可作出梁的弯矩图如图（）所示。,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,例 如图所示悬臂梁作用均布载荷，画出梁的弯矩图解：（）求约束反力。 （）建立弯矩方程。 / （ ） . 剪力、弯矩与外力间的关系（简易作图法） 由以上计算结果可得弯矩图的规律： （）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,（）梁受到均布载荷作
11、用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。 （）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。我们可以利用上面规律绘制弯矩图。 例 使用关系式画弯矩图（图），已知，。 解：（）求、处支反力。 .； .,上一页,下一页,返回,. 弯曲内力（剪力 、弯矩） 当,（）弯矩图。 ：，直线， ：，抛物线， ，顶点处弯矩为. （顶点即为剪力为零处的点） ：，开口向下，,上一页,返回,. 梁纯弯曲时的强度条件,. 梁纯弯曲的概念 在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲为纯弯曲
12、。 . 梁纯弯曲时横截面上的正应力 .变形特点 横向线仍为直线，只是相对变形前转过了一个角度，但仍与纵向线正交。纵向线弯曲成弧线，且靠近凹边的线缩短了，靠近凸边的线伸长了，而位于中间的一条纵向线既不缩短，也不伸长。,下一页,返回,. 梁纯弯曲时的强度条件,平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。 如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保持平面，说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，其中必定有一个既不缩短也不伸长的中性层（不受压又不受拉）。 中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性层与横截面的交线，称为中性轴，如图所示。变形时横截
13、面是绕中性轴旋转的。 .梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律,上一页,下一页,返回,. 梁纯弯曲时的强度条件,由平面假设可知，纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。分布如图所示。 .梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为,上一页,下一页,返回,. 梁纯弯曲时的强度条件,式中，为截面上的弯矩（）；为计算点到中性轴距离（）；为横截面对中性 轴惯性矩；为抗弯截面模量。 最大正应力为（）,上一页,下一页,返回,. 梁纯弯曲时的强度条件,和均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处是受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。 .惯性矩和抗弯截面模量 截面对中性轴的惯性矩，表示截面的几何性质，是
