《重点初中数学竞赛精品标准教程及练习55：未知数比方程个数多的方程组解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重点初中数学竞赛精品标准教程及练习55：未知数比方程个数多的方程组解法（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初中数学竞赛精品标准教程及练习(55)未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数. 解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等.二、例题例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组：；x2+xy+y23x3y+3=0； 解： 根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不
2、等于零.得不等式组 解得x2=1而x1, 整理为关于x的二次方程，利用方程有实数根，则判别式 0.x2+(y3)x+(y23y+3)=0.x是实数，0.即( y3)24(y23y+3)0 . 解得 (y1)20 . 而(y1)20. y=1.是原方程的解.消去一元后，利用实数平方是非负数性质. 由得z=2xy . 代入得2xy(2xy)24=0. 整理配方，得(x2)2+(y2)2=0.相加得0的两个数，只有是互为相反数.而 x, y 是实数，(x2)20，(y2)20.满足等式的条件只能是：.方程组的解是 本题在消去z后，也可以仿，写成关于 x的二次方程，用判别式求解.例2. 一个自然数除以
3、4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.分析：本题有多种解法：交集法， 设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，设二元，求二元一次方程的整数解.解法一：除以4余1的自然数集合：1，5，9，13，17，21，37；除以5余2的自然数集合：2，7，12，17，37；除以11余4的自然数集合：4，15，26，37，.三个集合的公共元素中最小的自然数是37. 解法二：设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c都是自然数). 得方程组 由(1)得 a=. 设 (k为正整数)， 那么 b=4k1， a=5k1.由(2)得 c=.要使为整数，k取最小正整数2.这时c
4、=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37.解法三：设所求的自然数为x, 则， 都是自然数. . + 也是自然数. 设y=+ . 去分母，得 200y=31x47.x=.y取最小正整数5，能使为整数.x=37, 即最小的自然数是37.例3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？解：设甲，乙，丙每件分别为x,y,z元.根据题意，得 ( 依题意只要求出x+y+z的值)(1)3(2)2：x+y+z=1.05（元）. 答：买甲、乙、 丙各1件共需1.05元.例4. 甲、乙两车分别
5、从A、B两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B站15公里.求A、B两站的距离.解：设A、B两站的距离为x公里，并引入辅助未知数V甲，V乙分别表示甲、乙两车的速度. 根据题意，得 ( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.) 方程(2)左、右不等于零 (1)(2)得.解得， x=40；或 x=12 (不合题意 舍去). 答：A、B两站的距离为40公里.三、练习551. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购
6、买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6元，厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有
7、1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7. 人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7. 求下列方程的实数解： 5x2+6xy+2y214x8y+10=0 (x2+1)(y2+4)=8xy 8. 一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做，完成这件工程所需时间的b倍.(其中ba1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120公里遇丙车，再行20公里遇丁车；乙车在离西站126公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距
8、离.10. 三辆车A，B，C从甲到乙.B比C迟开5分钟，出发后20分钟追上C；A比B迟开10分钟，出发后50分钟追上C.求A出发后追上B的时间.11. 学生若干人住宿，如果每间4人，有20人没房住；如果每间8人，则有一间不满也不空.求学生人数.12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。问一木排从甲码头顺水漂流到乙码头要用几小时？练习55参考答案：1.3小时，2.53尺，3.1700米.4.时速1.5公里.5.6，3；4，46.97人8.9.引入各车的速度，解方程组144，210.10.250.11.44人.12.35小时.袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈
9、芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁
10、莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁
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