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1、1,导数与微分在经济学中的简单应用,. 边际,二. 弹性,要求：掌握边际和弹性的定义； 给具体问题后会计算边际和弹性； 并能够给出相应的经济解释；,2,.边际分析,在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念,它反映一种经济变量y对另一种经济变量x的变化率.以导数为工具研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。,3,1.总成本、平均成本、边际成本,“总成本”是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成，用C(x)表示，其中x表示产品的产量，C(x)表示当产量为x时的总成本。,不生产时，x=0，这时C(0)就是固定成本。,4,“平均成本”是生产每个单位产品
2、的成本，若产量由 变化到,则：,成本C（x）在 内的平均变化率。,把 称为“平均成本函数”，表示产量为x时平均单位产品的成本。,5,例1： 设某种商品的成本函数为,其中x表示产量（单位：吨），C（x）表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：,6,如果产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率为：,它表示当产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。,7,表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。,当产量为400吨时再减少1吨，即,类似的可以计算当产量为400吨时再增加1吨，即,表示在产量为400吨时，再减少1吨产量
3、所减少的成本。,8,在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位时所增加或减少的总成本。即有如下定义：,设总成本函数为C=C(x),且其它条件不变，产量为x0,时，增加（减少）1个单位所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本，即：,9,定义：设成本函数C（x）为一可导函数，称,为产量是 时的边际成本。,其经济意义是：,10,例2：已知某商品的成本函数为：,求（1）当Q=10时的平均成本； （2）当Q=10时的边际成本并解释其经济意义。,解（1）平均成本函数为,当Q=10时：,11,（2）由,得边际成本函数为：,当产量Q=10时的边际成本为5，其经济意义为：当产量为10时，若增加（减少
4、）一个单位产品，总成本将近似增加（减少）5个单位。,12,2.总收益、平均收益、边际收益,“总收益”是生产者出售一定量产品所得到的全部收入，表示为R(x)，其中x表示为销售量（在以下的讨论中，我们总是假定销售量、产量、需求量均相等）,称为平均收益函数，表示销售量为x时“平均收益” 。,在经济学中，“边际收益”指生产者每增加(减少)销售一个单位产品所增加(减少)的销售收入。,按照如上边际成本的讨论，可得如下定义：,13,定义：设收益函数 R(x)为一可导函数，称,其经济意义是：,为边际收益函数（x在某区间取值）。,为销售量量是 时的边际收益。,14,例3.设某产品的需求函数为,其中P为,价格，x
5、为需求量，求边际收益函数以及x=20、50、70时的边际收益，并解释所得结果的经济意义。,解：由题设有：,总收益函数为,于是边际收益函数为：,15,经济意义：当销售量为20个单位时，在增加销售量可使总收入增加，多销售一个单位产品，总收益约增加12个单位；当销售量为50个单位时，总收益的变化率为零，增加一个单位的销售量，总收益基本保持不变；当销售量为70单位时，在多销售一个单位产品，反而使总收益约减少8个单位，或者说，再少销售一个单位产品，将使总收益少损失8个单位。,16,3.总利润、平均利润、边际利润,“总利润”是指销售x单位产品所得到的全部净收入，即总收益与总成本之差，记为L（x）为总利润，
6、则,L（x）=R（x）- C（x）,为“平均利润函数”,定义：设利润函数L（x）为一可导函数，称,为销售量是 时的“边际利润”。,17,其经济意义是：,18,例4.设某工厂每月生产产品的固定成本为1000元.生产x单位产品的可变成本为0.01x2+10x(元),如果每单位产品的售价30元,试求:边际成本,利润函数,边际利润为零时的产量.,解,C(x)= 0.01x2+10x+1000,所以,边际成本函数为,总收入函数为,总利润函数为：L(x)=R(x)-C(x)=-0.01x2+20x-1000,于是,边际利润函数为L(x)=0.02(1000-x),C (x)=0.02x+10,R(x)=p
7、x=30x,L(x)=0.02(1000-x)=0 x=1000,19,可见,当月产量为1000个单位时,边际利润为零,说明当月产量为1000个单位时,再多生产一个单位产品也不会增加利润.,20,前面所谈到的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率.但是仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率还是不够的.例如商品甲每单位价格10元,涨价1元;商品乙每单位价格1000元,也涨价1元.两种商品价格的绝对改变量都是1元,但各与其原价相比,两者涨价的百分比却有很大的不同,商品甲涨了10%,而商品乙涨了0.1%.因此我们还有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.,二.弹性,1.点弹性与弧弹性,21,例
8、如 y=x2 ,当x 由10改变到12时,y由100改变到144,此时自变量与因变量的绝对改变量分别为x=2, y=44而,这表示当x=10改变到X=12,x产生了20%的改变, y产生了44%的改变.这就是相对改变量.,这表示在(10,12)内,从x=10,x改变1%时,y平均改变2.2%,我们称它为从x=10到x=12,函数y=x2的平均相对变化率.,22,定义设函数y=f(x)在点x=x0,称为函数f(x)从x=x0到点x=x0+x两点间的平均相对变化率,经济上也叫做这两点间的“弧弹性”.,的某邻域内有定义，,且 ，如果极限,存在,则称此极限为函数y=f(x)在点 处的点弹性， 记为,而
9、称比值,表示f(x)在x=x0处的相对变化率,23,由定义可知,如果函数y=f(x)在(a,b)内可导,且f(x)0，则称,为函数y=f(x)在(a,b)内的点弹性函数，简称为弹性函数。,相对变化率,平均相对变化率,24,由定义可知，函数的弹性是一个与度量单位无关的量，这使得弹性概念在经济学中得到广泛的应用，因为在经济中各种经济变量的计量单位是不尽相同的，比较不同商品的弹性时不受计量单位的限制。,弹性的经济意义：,1%的改变时,:表示在点x=x0处,当x产生,f(x)近似地改变,25,2.需求对价格的弹性,定义：设某商品的市场需求量为Q，价格为P，需求函数为Q=Q(P)可导，则称,为该商品的需
10、求价格弹性，简称为需求弹性，通常记为,26,需求弹性 表示某商品需求量对价格p变动反应的灵敏程度，由于需求量与价格反方向变动，即需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值，即 0，因此需求价格弹性表明当商品的价格上涨（下降）1%时，其需求量将减少（增加）约,在经济学中，为了便于比较弹性的大小，通常取 的绝对值 并根据 的大小，将需求弹性划分为以下几个范围：,27,（1）当 时,称为单位弹性，这时当商品价格增加(减少)1%时，需求量相应地减少(增加)1%，即需求量与价格变动的百分比相等。,（3）当 时，称为低弹性，这时当商品价格增加(减少)1%时,需求量相应地减少(增加) %, 即需求量变动的百分
11、比小于1%，价格变动对需求量的影响不大。,28,在商品经济中，商品经营者关心的是提价 或降价 对总收益的影响，下面我们利用弹性的概念来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的关系。,事实上,由于,可见价格P的微小变化 引起的销售收益R=PQ的改变量的近似值为,29,即,当 时，当价格发生1% 的改变时，对收益没有明显的影响；,当 时，需求量增加(减少)的百分比大于价格下降(上浮)的百分比,降低价格 会使消费者用于购买商品的支出增加，这时销售者的收益增加 可以采取薄利多销多收益的经济策略；,30,当 时，需求量增加(减少)的百分比小于价格下降(上浮)的百分比，降低价格 会使消费者用于购买商品的支出
12、减少，这时销售者的收益减少 ,提高价格会使总收益增加。,综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，高弹性商品适合采取薄利多销经济策略；低弹性商品采取提高价格增加经济收益的策略。,31,例1 设某商品的需求函数为Q=400-100p,求p=1,2,3 时的需求价格弹性,并给以适当的经济解释.,解,当p=1时, 1/31,为低弹性,此时降价将使总收益减少,提价使总收益增加.,当p=2时, 1,为单位弹性,此时降价或提价对 总收益没有明显影响.,当p=3时, 31,为高弹性,此时降价将使总收益增加,提价使总收益减少.,32,例2：已知某种产品的需求弹性在1.3-2.1之间,如果该企业准备明年将价格降低10%，问这种商品的需求量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？,解：,),33,当,当,明年企业降价10%，需求量预期将增加约13%-21%；总收益预期将增加约3%-11%。,
