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1、非 线 性 迭 代 实 验 报 告一、实验背景与实验目的 迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。 蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。 本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。二、实验材料2.
2、1迭代序列与不动点 给定实数域上光滑的实值函数以及初值，定义数列 ， （2.2.1）称为的一个迭代序列。函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数的不动点。 对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序： Clearf fx_ := (25*x - 85)/(x + 3); （实验时需改变函数） Solvefx=x , x （求出函数的不动点） g1=Plotfx, x, -10, 20, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction - Identity; g2=Pl
3、otx, x, -10, 10, PlotStyle - RGBColor0, 1, 0, DisplayFunction - Identity; x0=5.5; r = ; r0=GraphicsRGBColor0, 0, 1, Linex0, 0, x0, x0; Fori = 1, i -1, 20, （PlotRange控制图形上下范围） DisplayFunction - $DisplayFunction x0=x0; xi_:=fxi-1; （定义序列） t=Tablexi,i,1,10/N ListPlott （散点图）观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？如果只需迭代次产生
4、相应的序列，用下列Mathematica程序： Iteratef_,x0_,n_Integer:= Module t=,temp= x0,AppendTot,temp; Fori=1,i Identity; AppendTopointlist, x0, 0; Fori = 1, i True, DisplayFunction - Identity; Showp1, p2, DisplayFunction - $DisplayFunction IterGeo2.6, 0.3将区间（0，4以某个步长离散化，对每个离散的值做迭代（2.2.2），忽略前50个迭代值，而把点，显示在坐标平面上，最后形成的
5、图形称为Feigenbaum图。Mathematica程序： Clearf, a, x; fa_, x_ := a*x*(1 - x); x0 = 0.5; r = ; Do Fori = 1, i 100, r = Appendr, a, x0 , a, 3.0, 4.0, 0.01; ListPlotr 从极限分支点之后，Feigenbaum图显得很杂乱，似乎没有任何规律。实际上，对任何初始值做迭代都会得到同样的结果。这就是所谓的混沌现象。迄今为止，混沌并没有确切的数学定义，但它具有一些基本的特性，如对初值的敏感性以及某种无序性，由此产生类似于随机的现象。所谓一个迭代对初值是敏感的意思是，
6、无论两个初值如何接近，在迭代过程中它们将渐渐分开。这是任何一个混沌系统都具有的特性之一，这种特性使得混沌系统会产生似乎是随机的、没有规律的现象。在Logistic映射中，取，任取两个初值使得它们之间的差的绝对值不超过0.l，运行下列程序，观察结果后回答问题：在迭代过程中它们逐渐分开吗？如果两个初值之间的差的绝对值不超过0.01，0.001，结果会如何？由此得出，函数的迭代对初值是否敏感？其Mathematica程序： Sensitivityn_Integer, x01_, x02_ := Module pilist = , i, temp1=x01, temp2=x02, Fori=1, i
7、True Sensitivity50, 0.1, 0.1001一个简单的、确定的二次选代可以产生非常复杂的、看似随机的行为。但是，混沌不等于随机。实际上，在混沌区域之内，蕴涵着许多有序的规律。这正验证了哲学上的名言：有序中包含了无序，无序中包含着有序。其Mathematica程序：distribn_Integer,m_Integer,x0_:=Modulei,temp=x0,g1,f,k,c=Table0,i,m,Fori=1,in,i+,temp=4*temp*(1-temp); Iftemp1,cm+,cFloortemp*m+1+; fk_:=GraphicsGrayLevel0.5,R
8、ectanglek-0.5,0,k+0.5,ck; g1=Tablefk,k,1,m;Showg1,AxesTrue,PlotLabel-x0=0.4;n=100;m=20;x0=0.4;distribn,m,x0 另一个说明混沌不是随机的事实是，混沌区域有许多有序的窗口。将这些窗口放大可以看到令人振奋的自相似现象，同时还有许多周期轨道。在 Feigenbaum图的右部，你应当能看到一个由三条曲线穿过的空白带，它是一个“周期为 3的窗口”。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口跟上题的第二问中的周期轨道有什么关系？ 运行下列程序，听一听混沌的声音 PlayChaosn
9、_Integer, x0_ := Module t = , i, temp = x0, Fori = 1, i 0, 100, SampleRate - 5 和函数一样有着混沌行为的函数还很多。其中较简单的有“帐篷函数”和“锯齿函数”。“帐篷函数” 定义为 “锯齿函数”定义为 容易验证，帐篷函数和锯齿函数有下列关系： 令，帐篷函数与有下列关系： 2.3 方程求根对于代数方程g(x)=0，其根可用下列程序求得 Solveg(x)= = 0 , x也可用下列程序求得 gx_:=expr Plotgx,x,a,b FindRootg(x)= = 0 , x,x0将方程改写为等价的方程，然后选取一初值利用(2.2.1)作迭代，迭代数列收敛的极限就是方程的解。即求方程的根等价于求函数的不动点。注意：由可得不同的等价的方程。例如取，而可取为，也可取为。由于不动点分吸引型和排斥型，因此的根为的排斥不
