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1、数列通项公式的十种求法类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知数列满足，求。变式: 已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，求。例2:已知， ，求。变式:（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，求.变式:（
2、2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）证明：类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征
3、根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。例:已知数列中，,，求。变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 2.已知数列中，,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。类型6 递推公式为与的关系
4、式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 变式: (2005,江西,文,22本小题满分14分）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解
5、出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列中，求数列变式:（2005，江西,理,21本小题满分12分）已知数列（1）证明 （2）求数列的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证
6、明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。3、已知数列满足时，求通项公式。4、已知数列an满足：，求数列an的通项公式。5、若数列a中，a=1，a= n
7、N，求通项a 类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 例：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列记（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和类型11 或解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。例：（I）在数列中，求 （II）在数列中，求类型12 归纳猜
8、想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式 类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列满足，若，则的值为_。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD一、公式法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的
9、通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。公式法：已知（即）求，用作差法：。例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解：由当时，有，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并练一练：已知的前项和满足，求；数列满足，求；二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。由得则所以评注：本题解题的关键是
10、把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。累加法：若求：。例3. 已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，如已知数列满足，则=_ ；三、累乘法例5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则故所
11、以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。累乘法：已知求，用累乘法：。例4. 已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，如已知数列中，前项和，若，求四、待定系数法例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8 已知数列满足，求数列的通项公
12、式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得 由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。五、对数变换法例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数
13、得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。六、迭代法例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。七、数学归纳法例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）
14、假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。九、不动点法例14 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评
